5.3　一元一次方程的应用课件 2025-2026学年 北师大版（2024）七年级数学上册

一元一次方程的应用(1)—— 图形问题 学新知　知识导学 01 知识点一　等体积图形问题 (1)圆柱体的体积=底面积×高; (2)圆柱形储水箱的底面积变小,容积不变的情况下,高度会 变　 　;  (3)几何体变化前后的　 　不变,即 V前=V后。  大 体积 初中同步学习导与练·数学·BSD·七上(粤) 1.将内径(底面直径)为20 cm的圆柱形水桶中的水(水位高度未知)倒入一个长、宽、高分别为30 cm,20 cm,80 cm的长方体铁盒中,刚好倒满,若圆柱形水桶内水的高度为x cm,则可列 出方程为　 　。 2 2.教材 P154习题 T1改编 两个圆柱形容器如图所示,它们的直径分别为4 cm和8 cm,高分别为 39 cm 和10 cm。先在第一个容器中倒满水,然后将其倒入第二个容器中,若倒完以后,第二个容器的水面离容器口有　 　。 0.25 cm 3 知识点二　等周长(或等面积)图形问题 (1)长方形的周长=　 　×2;  (2)线段　 　不变,即C前=C后。  (长+宽) 总长度 4 3.一个长方形操场的长比宽长70 m。根据需要将它扩建,把它的宽增加20 m后,它的长就是宽的1.5倍。若设扩建前操场的宽为x m,则下列方程正确的是( ) A.x=1.5(x-70+20) B.x+70=1.5(x+20) C.x+70=1.5(x-20) D.x-70=1.5(x+20) B 5 4.一个长方形的周长是40 cm,若将长减少 8 cm,宽增加2 cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm B 6 5.教材 P154习题 T4变式 如图所示,小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是5 cm的长条,如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍,求原来正方形纸片的边长。 解:设小长条的长为x cm,则小长条的面积为5x cm2,大长条的面积为5(x+5) cm2, 根据题意,得1.2×5x=5(x+5),解得x=25, 所以原来正方形纸片的边长为x+5=25+5=30(cm)。 7 精评价　题组训练 02 典型例题 6.典例 要锻造一个直径为12 cm,高为8 cm的圆柱形毛坯,应截取直径为8 cm的圆钢多长(不计锻造时的损耗)? (1)本题建立方程的相等关系是　 　; (2)设截取直径为8 cm的圆钢x cm,根据题意列方程:　 . 　,  解得x=　 　。  因此,截取直径为8 cm的圆钢　 　cm。 所截圆钢体积=毛坯体积 π× 42·x=π×62×8 18 18 8 变式训练 7.如图所示,用直径为200 mm的钢柱锻造成一块长、宽、高分别为350 mm,314 mm,180 mm的长方体底板。应截取钢柱 　 　mm(不计耗损,π取 3.14)。 630 9 典型例题 8.典例 某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示。根据图中数据,如果长方体盒子的长比宽多4 cm,设宽为x cm,那 么可列出方程为　 　。 10 变式训练 9.图(1)是边长为30 cm的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图(2)所示的长方体盒子,已知该长方体盒子的宽是高的2倍,则长方体的体积为　 　 cm3。  1 000 11 典型例题 10.典例 教材 P149练习 T1变式　 如图所示的是用铁丝围成的一个梯形,将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形,那么长方形的长和宽分别为多少? 解:设长方形的宽为x,则长为2x。 根据题意,得2(x+2x)=5+6+9+13。 解得x=5.5。2×5.5=11。 则长方形的长为11,宽为5.5。 12 变式训练 11.如图所示,在长为14 m,宽为10 m的长方形展厅,划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放鲜花,求每个小长方形的周长。 解:设小长方形的长为x m,则宽为(14-2x)m, 根据题意,得x+2(14-2x)=10, 解得x=6,则宽为14-2x=2(m), 所以每个小长方形的周长为(6+2)×2=16(m)。 13 12.拓展 如图所示是我们生活中常用的卷筒卫生纸,从卫生纸的包装纸上得到以下资料:“两层300格,每格11.4 cm× 11 cm(长×宽)”。若整卷卫生纸的内外半径分别为2.3 cm和5.8 cm,则每层卫生纸的厚度为 　 cm(精确到0.001 cm, π取3.142)。 0.013 14 谢谢观赏！ 15 π()2·x=30×20×80 2(x+4)+x+(18-x)=37 $$一元一次方程的应用(2)—— 古代 数学问题 学新知　知识导学 01 知识点一　列一元一次方程求解古代数学“盈不足”问题 列一元一次方程求解古代数学“盈不足”问题,关键是正确理解题意,找出问题中的相等关系,适当设未知数并列出方程。 初中同步学习导与练·数学·BSD·七上(粤) 1.《九章算术》是我国古代数学名著,书中出现了一个“共买鸡问题”,原文是:今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数、鸡价各几何?设买鸡的人数为x人,则下面符合题意的方程是( ) A.9x+11=6x-16 B.9x-11=6x+16 C.9x+11=6x+16 D.9x-11=6x-16 B 2 2.《孙子算经》中有一道题:今有三人共车,二车空;二人共 车,九人步,问人车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问共有多少人,多少辆车?设共有x人,则x等于( ) A.38 B.39 C.40 D.41 B 3 知识点二　列一元一次方程求解古代数学其他问题 3.我国古代数学名著《张丘建算经》中记载:“今有清酒一斗直粟十斗,醑酒一斗直粟三斗,今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何?”意思是:现在一斗清酒价值10斗谷子,一斗醑酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清、醑酒各 几斗? 4 5 4.明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个“以碗知僧”的问题:“巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧。三百六十四只碗,恰合用尽不差争。三人共食一碗饭,四人共尝一碗羹。请问先生能算者,都来寺内几多僧?”其大意:山上有一座古寺叫都来寺。在这座寺庙里,3位和尚合吃一碗饭,4位和尚合分一碗汤,一共用了364只碗。问:都来寺里有多少位和尚? 6 7 精评价　题组训练 02 典型例题 5.典例 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗: “我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客空一房。”诗的后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间房住9人,那么就空出一间房。 8 (1)列方程解答下面问题:该店有客房多少间?到了多少房客? 解:(1)设该店有客房x间,由题意,得 7x+7=9(x-1),解得x=8, 7×8+7=63(人)。 答:该店有客房8间,到了63名房客。 9 (2)假设李三公将客房进行改造后,房间数大大增加,每间房收25钱,且每间房最多入住4人,一次性订房少于10间,不予优惠;不少于10间但少于20间,给予9折优惠;等于20间或是超过20间的,给予7折优惠。若诗中的“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?说明理由。 10 11 变式训练 6.《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。问人数、羊价各几何?”题意是:若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45 元;每人出7元,则差3元。求人数和羊价各是多少? 解:设共有x人, 根据题意,得5x+45=7x+3,解得x=21。 5×21+45=150(元), 答:买羊人数为21,羊价为150元。 12 7.《孙子算经》是一本十分著名的中国古代数学典籍,其中有这样一道题,原文如下:今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?大意为用一根绳子去量一根木条,绳子还剩余4.5尺,将绳子对折再量木条,木条还剩余1尺,问:木条长多少尺?请用方程解答上述问题。 13 14 8.拓展 “曹冲称象”是流传很广的故事,按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出,然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工。这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置。已知搬运工体重均为 130斤,则大象的体重为　 　斤。 5 590 15 谢谢观赏！ 16 解:设清酒x斗,则醑酒(5-x)斗, 根据题意,得10x+3(5-x)=30, 解得x=,5-x=5-=。 答:清酒斗,醑酒斗。 解:设都来寺里有x位和尚, 由题意,得+=364, 解得x=624。 答:都来寺里有624位和尚。 解:(2)由“每间房最多入住4人”得63÷4=15,则至少需要16间客房, 由不少于10间但少于20间,给予9折优惠,得订16间房需要付0.9×25×16=360(钱),由等于20间或是超过20间的,给予7折优惠,得订20间房需要付0.7×25×20=350(钱), 因为350<360, 所以诗中的“众客”再次一起入住,他们可以选择订20间房更合算。 解:设绳子长x尺,则木条长为(x-4.5)尺。 根据题意,得x-4.5-x=1, 解得x=11, 所以x-4.5=11-4.5=6.5。 答:木条长为6.5尺。 $$一元一次方程的应用(3)—— 行程问题 学新知　知识导学 01 知识点一　相遇问题与追及问题 行程问题的数量关系: 类型 基本量之间的关系 相遇问题 追及问题 数量关系 路程=速度×时间 快车路程+慢车路程=原距 快车路程-慢车路程=原距 初中同步学习导与练·数学·BSD·七上(粤) 1.(2025广东模拟)深中通道于2024年6月30日正式通车试运 营,该通道全长24 km,这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇。已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行,已知甲车速度为85 km/h,乙车速度为92 km/h,甲车出发5 km后乙车才出发,设乙车出发x h后两车相遇,则可列方程为( ) A.85x+92x=24 B.85x+92x-5=24 C.92x-85x=24 D.85x+92x=24-5 D 2 2.某中学组织学生到校外参加义务植树活动。一部分学生骑自行车先走,速度为9 km/h;40 min后其余同学乘汽车出发,速度为 45 km/h,结果他们同时到达目的地。目的地距学校多少千米? 3 知识点二　顺水(风)问题与逆水(风)问题 (1)顺水(风)速度=静水(风)速度+水(风)速,逆水(风)速度=静水(风)速度-水(风)速; (2)要抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静水速)不变的特点考虑相等关系。 4 3.轮船在静水中速度为每小时30 km,水流速度为每小时6 km,从甲码头顺流航行到乙码头,再返回甲码头,共用5小时(不计停留时间),求甲、乙两码头间的距离。设两码头间的距离为 x km,则列出方程正确的是( ) D 5 4.在风速为24 km/h的条件下,一架飞机顺风从A机场到B机场要用2.8 h,它逆风飞行同样的航线要用3 h,求无风时这架飞机在这一航线的平均速度。 解:设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为 x km/h,根据题意,得 2.8(x+24)=3(x-24),解得x=696。 答:无风时这架飞机在这一航线的平均速度为 696 km/h。 6 精评价　题组训练 02 典型例题 5.典例 甲、乙两地相距270 km,从甲地开出一辆快车,速度为120 km/h,从乙地开出一辆慢车,速度为75 km/h。如果两车相向而行,慢车先开出1 h后,快车开出,那么再经过多长时间两车相遇。 7 解:设再经过x h两车相遇。 则根据题意列方程为 75×1+(120+75)x=270, 解得x=1。 答:再经过1 h两车相遇。 8 变式训练 6.甲骑摩托车、乙骑自行车同时从相距250 km 的两地相向而行,经过5 h相遇。已知甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶路程的3倍少6 km,求乙骑自行车的速度。 解:设乙骑自行车的速度为x km/h,则甲的速度为(3x-6) km/h。由题意,得 5x+5(3x-6)=250,解得x=14。 答:乙骑自行车的速度为14 km/h。 9 典型例题 7.典例 甲、乙两人从A地到B地。甲的速度为8 km/h,乙的速度为10 km/h,甲出发30 min 后,乙开始出发,结果两人同时到达B地。求A地到B地的距离。 10 变式训练 8.某学校七年级学生组织步行到郊外旅行,(1)班学生组成前队,速度为每小时4 km,(2)班同学组成后队,速度为每小时 6 km,前队出发1 h后,后队才出发,经过多少小时后队追上前队(队伍长度忽略不计)? 解:设后队追上前队所用时间为t h,则前队被追上时所走时间为(t+1)h。 根据题意,得6t=4(t+1),解得t=2。 所以后队出发2 h后可以追上前队。 11 9.拓展 小明每天早上7:30从家出发,到距家1 000 m的学校上学,一天,小明以80 m/min的速度上学,5 min后小明爸爸发现他忘带语文书,爸爸立即带上语文书去追赶小明。 (1)如果爸爸以160 m/min的速度追小明,爸爸追上小明时距离学校多远? 12 (2)爸爸以180 m/min的速度追赶小明,他把书给小明后及时原路原速返回(交书耽误的时间忽略不计),返回家的时间是多少? 解:(2)设爸爸需要y min可追上小明, 依题意,得180y=80(y+5), 解得y=4, 所以30+5+4+4=43。 答:爸爸返回家的时间是7:43。 13 谢谢观赏！ 14 解:设目的地离学校x km, 根据题意,得-=, 解这个方程,得x=7.5。 答:目的地距学校7.5 km。 A.(30+6)x+(30-6)x=5 B.30x+6x=5 C.+=5 D.+=5 解:设A地到B地的距离为x km。根据题意,得 -=,解得x=20。 答:A地到B地的距离为20 km。 解:(1)设爸爸追上小明时距离学校x m, 依题意,得-=5,解得x=200。 答:爸爸追上小明时距离学校200 m。 $$