4.4.3第3课时　相似三角形的判定定理3课件2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.4　探索三角形相似的条件 第3课时　相似三角形的判定定理3 如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？ A B C A′ B′ C′ 分别画△ABC 和△A′B′C′，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？△ABC 与△A′B′C′相似吗？ A B C C′ B′ A′ 探究1：三边成比例的两个三角形相似 思考 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，所以△ABC∽△A′B′C′. 猜想：三边成比例的两个三角形相似. A B C C′ B′ A′ ∴ C′ B′ A′ 证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . 证一证 三角形相似的判定定理3： 三边成比例的两个三角形相似． 几何语言： 如图，在△ABC与△DEF中， ∵ ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△DEF. B A C D F E 探究2 (1)如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ A B C 7 10 5 D E F 5 6 2.5 (1) A B C 6 4 7 E D F 3 2 3.5 (2) (2)一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，10 cm，12 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ ① 将三角形的边按大小顺序排列： 6 cm， 7.5 cm，9 cm 8 cm， 10 cm，12 cm ② 分别计算它们对应边的比： ③ 由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例： ，这两个三角形相似 已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，看最短(长)边与最短(长)的比是否成比例． 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 1. 把△ABC经过下列变形后得到新三角形，其中，与△ABC相似的是（C　） A. 各边长都加2 B. 各边长都减2 C. 各边长都乘2 D. 各边长都平方 C 2. 已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm.若要使这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能分别是（　C　） A. 2cm，3cm B. 4cm，5cm C. 5cm，6cm D. 6cm，7cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图， ＝ ＝ ，点B，D，E在同一条直线上，∠ADE＝40°，∠BAD＝18°，则∠CBE的度数为（　A　） A. 18° B. 20° C. 36° D. 40° 第3题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中有下列6个三角形： ① △ABC；② △BCD；③ △BDE；④ △BFG；⑤ △FGH；⑥ △EFK. 其中，②～⑥中与①相似的是（　B　） A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥ 第4题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 已知等腰三角形ABC的两边长分别为4，9，等腰三角形DEF的腰长为6，则当它的底边长为 时，等腰三角形ABC与等腰三角形DEF相似. 　 6. 如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中画出四边形ABCD， 连接BD，则∠BDC的度数是 ⁠. 第6题 135°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 在如图所示的部分象棋盘（每个小正方形的边长均为1）中，根据 “马走日”的规则，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三 角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似的“马” 的位置在 处（填序号）. 第7题 ②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，射线 AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ＝ ＝ .求证：∠AED＝∠B. 第8题 解：∵ ＝ ＝ ，∴ △ADF∽△ACG. ∴ ∠ADE＝∠C. 又∵ ∠DAE＝∠CAD，∴ △ADE∽△ACB. ∴ ∠AED＝∠B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图，AB＝25，BC＝40，AC＝20，AE＝12，AD＝15， DE＝24. 第9题 （1） 判断△ABC与△ADE是否相似； 解：（1） 由题意，得 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ .∴ △ABC∽△ADE （2） 若∠BAC＝125°，∠EAC＝90°，求∠CAD的度数. （2） ∵ △ABC∽△ADE，∴ ∠BAC＝∠DAE. ∵ ∠BAC＝125°， ∴ ∠DAE＝125°.又∵ ∠EAC＝90°，∴ ∠CAD＝35° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 10. 如图①，在△ABC和△A'B'C'中，D，D'分别是AB， A'B'上一点， ＝ . （1） 当 ＝ ＝ 时，求证：△ABC∽△A'B'C'（证明的途径可 以用框图②表示，请填写其中的空格）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第10题答案 （2） 当 ＝ ＝ 时，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说 明理由. 解：△ABC∽△A'B'C'　理由：如图①，过点D，D'分别作 DE∥BC，D'E'∥B'C'，DE交AC于点E，D'E'交A'C'于点E'. ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC. ∴ ＝ ＝ .同理，得 ＝ ＝ .又∵ ＝ ，∴ ＝ .∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 同理，得 ＝ .∴ ＝ ，即 ＝ .∴ ＝ .∵ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ .∴ △DCE∽△D'C'E'. ∴ ∠CED＝∠C'E'D'.∵ DE∥BC，∴ ∠CED＋∠ACB＝180°.同理，得∠C'E'D'＋∠A'C'B'＝180°.∴ ∠ACB＝∠A'C'B'.又∵ ＝ ，∴ △ABC∽△A'B'C'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$