4.3　相似多边形课件2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.3　相似多边形 探究1：相似多边形的概念和性质 1．在这两个多边形中，是否有相等的内角？ 夹相等内角的两边是否成比例？ A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 归纳总结 相似多边形的定义： 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 2．相似用“∽”表示，读作“相似于”．例如在图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF ∽六边形A1B1C1D1E1F1.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 3．相似多边形对应边的比叫做相似比．例如，五边形ABCDE∽五边形A1B2C1D1E1，对应边的比 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，因此五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比为k1＝ ，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比为k2＝ . 讨论：下面每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ (1)正三角形ABC与正三角形DEF (2)正方形ABCD与正方形EFGH 解：(1)由于正三角形每个内角都等于60°，所以∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝60°；由于正三角形三边相等，所以 (2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝90°，∠C＝∠G＝90°，∠D＝∠H＝90°；由于正方形四边相等，所以 相似多边形的特征： 相似多边形的对应边成比例，对应角相等. 探究2：相似多边形的判定 1．想一想： (1)任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？ (2)任意两个菱形相似吗？ 2．观察下面两组图形，提出问题： 图①中的两个图形相似吗？为什么？ 图②中的两个图形呢？ 如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？ 1 1 图① 正方形 1 1 0.8 图② 正方形 相似多边形必须同时具备两点： 对应角相等、对应边成比例. 对应角相等，对应边成比例 相似多边形对应边的比叫做相似比 相似多边形 相似图形 形状相同的图形叫做相似图形 相似多边形 相似图形的大小不一定相同 1. 如图所示的网格中各个小正方形的边长均为1，涂色部分图形分别记作甲、乙、丙、丁.其中，是相似图形的为（　D　） 第1题 A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 下列图形中，属于相似多边形的一组是（　B　） A B C D B 3. 如图，正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE. 若AB∶FG＝2∶3， 则下列结论正确的是（　B　） A. 2DE＝3MN B. 3DE＝2MN C. 3∠A＝2∠F D. 2∠A＝3∠F 第3题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★如图，取一张长为a、宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一 张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a，b 应满足的条件是（　B　） A. a＝ b B. a＝2b C. a＝2 b D. a＝4b 第4题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，矩形OABC∽矩形OA'B'C'，点B'的坐标为（10，5），AA'＝ 1，则CC'的长为 ⁠. 第5题 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 书画经装裱后更便于收藏.如图，四边形ABCD为长90cm、宽30cm的 矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两个矩形的对应边互相平行，且 AB与A'B'的距离、CD与C'D'的距离都等于4cm.当AD与A'D'的距离、 BC与B'C'距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'时，整幅书画 最美观.此时，a的值为 ⁠. 第6题 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. ★如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在边BC上取一点E，沿AE将 △ABE向上折叠，使点B落在边AD上的点F处.若四边形EFDC与矩形 ABCD相似，则AD＝ ⁠. 第7题 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，梯形ABCD∽梯形A'B'C'D'，求CD，AB，B'C'的长 和∠α，∠β的度数. 第8题 解：∵ 梯形ABCD∽梯形A'B'C'D'，∴ ＝ ＝ ＝ ，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠D＝∠D'.∵ AD＝9.6，BC＝9，A'B'＝8，C'D'＝4，A'D'＝6.4，∴ AB＝12，B'C'＝6，CD＝6.又∵ 四边形ABCD是梯形，∴ CD∥AB. ∴ ∠α＝∠D＝180°－62°＝118°，∠β＝∠B'＝180°－110°＝70°.综上所述，CD＝6，AB＝12，B'C'＝6，∠α＝118°，∠β＝70° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （16分）如图，E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点， 以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比 是 ，连接EB，GD. 第9题 （1） 求证：EB＝GD； 解：（1） ∵ 菱形AEFG∽菱形ABCD， ∴ AE＝AG，AB＝AD，∠EAG＝∠BAD. ∴ ∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB. ∴ ∠EAB＝∠GAD. 在△AEB和△AGD中，∵ AE＝AG，∠EAB＝∠GAD，AB＝AD，∴ △AEB≌△AGD. ∴ EB＝GD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长. （2） 连接BD交AC于点P，则BP⊥AC. ∵ 四边形ABCD是菱形， ∠DAB＝60°，∴ 易得∠PAB＝30°.∴ BP＝ AB＝1.∴ AP＝ ＝ .∵ 菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 ，AB＝ 2，∴ AE＝ .∴ EP＝2 .∴ EB＝ ＝ ＝ .∵ EB＝GD，∴ GD＝ 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ＝＝； ＝＝＝. $$