精品解析：福建省连城县第一中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

连城一中2025-2026学年暑假月考 高三数学试卷 满分150 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，使得 3. 下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 若函数在R上为增函数，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 7. 已知函数，若不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数恰有一个零点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数为奇函数，则其图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 函数与是同一函数 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数，则 11. 已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若2为的周期，则为奇函数 B. 若为奇函数，则2为的周期 C. 若4为的周期，则为偶函数 D. 若为偶函数，则4为的周期 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知定义在上的函数满足，且，则的值为________. 13. 已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为______. 14. 已知函数，则下列命题正确的有__________ ①函数有且只有两个零点 ②函数在上为增函数 ③函数的最大值为 ④若方程有三个实根，则 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若函数f(x)＝loga(x＋a) (a>0且a≠1) 的图象过点A(－1,0)． （1）求a的值； （2）求函数的定义域． 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 17. 已知二次函数． （1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式（其中）． 18. 已知，. （1）当时，判断函数的单调性，并写出函数的单调区间； （2）当时，判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义进行证明； （3）当时，求函数在区间上的最小值. 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2025-2026学年暑假月考 高三数学试卷 满分150 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：D. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，都有”的否定为，使得. 故选：D 3. 下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义判断即可. 【详解】由“对任意的时，均有”，得函数在上单调递增， 对于A，在上不单调递增，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合间的包含关系可得. 【详解】解不等式得，，记； 解不等式得，，记. 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用“乘1法”即得. 【详解】因为，所以， ∴ ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为1. 故选：D. 6. 若函数在R上为增函数，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令， ，要使在上为增函数， 须有递增，递增，且， 即，解得. 故选：A. 7. 已知函数，若不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析的奇偶性与单调性,再求解不等式即可. 【详解】,故.故为奇函数. 又函数为增函数,故为减函数,故为增函数. 故 即,解得 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解不等式的方法,属于中档题. 8. 函数恰有一个零点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数恰有一个零点等价于在上有且只有一个根.令，由导数法求得，结合的图象变化即可得结果. 【详解】∵函数恰有一个零点，∴方程在上有且只有一个根，即在上有且只有一个根. 令，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. ∴. ∴当，令，即，则，由函数性质可得，即；又当. 故若使函数恰有一个零点，则. 故选：D. 【点睛】函数零点个数问题，可转化为两个函数图象的交点个数问题，此时需要明确函数图象的变化趋势，尤其对于指数、对数函数等复杂函数，才能由数形结合判断交点个数. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数为奇函数，则其图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 本题可通过判断图象是否关于原点对称得出结果. 【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称， 四个选项中仅有选项B和选项D中的图象满足关于原点对称， 故选：BD． 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 函数与是同一函数 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】解分式不等式判断A；根据同一函数对应法则、定义域相同判断B；由抽象函数定义域求法求函数定义域判断C；应用换元法求函数解析式，并注意定义域判断D. 【详解】对于A：由，则，可得或，故命题错； 对于B：由的定义域为，而的定义域为，显然不是同一函数，错； 对于C：由的定义域为，则，即函数的定义域为，对； 对于D：设，则， 故且，所以，对. 故选：CD 11. 已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若2为的周期，则为奇函数 B. 若为奇函数，则2为的周期 C. 若4为的周期，则为偶函数 D. 若为偶函数，则4为的周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由已知可得，结合周期可得可判断A；由奇函数可得，可判断B；结合已知可得结论，可判断C；由已知可得，可判断D. 【详解】对于A：若2是的周期，则， 由，可得， 所以，所以为奇函数；故A正确； 对于B：若为奇函数，则， 由，可得，所以2是的周期，故B正确； 若4是的周期，设，则， 该函数的最小周期为，故为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确； 对于D：若为偶函数，则， 由，可得，所以， 所以，所以4是的周期，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知定义在上的函数满足，且，则的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】用周期函数性质化简. 【详解】因为函数满足， 所以函数是周期为2的周期函数， 所以， 故答案为：2. 13. 已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 14. 已知函数，则下列命题正确的有__________ ①函数有且只有两个零点 ②函数在上为增函数 ③函数的最大值为 ④若方程有三个实根，则 【答案】①②④ 【解析】 【分析】解方程，求出函数的零点判断①；求函数的导函数，解不等式得函数的递增区间判断②；举例说明判断③；结合函数的单调性， 作函数的图象判断④. 【详解】对于①，令，则，解得，， 因此函数有且只有两个零点，①正确； 对于②，由已知求导得， 由，得， 由，得或， 因此在上单调递增，②正确； 对于③，由②知，在上单调递减，，， 而，③错误； 对于④，当时，恒有，作出函数的图象， 方程有三个实根，即与的图象有三个不同的交点，因此，④正确. 故答案为：①②④ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若函数f(x)＝loga(x＋a) (a>0且a≠1) 的图象过点A(－1,0)． （1）求a的值； （2）求函数的定义域． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入运算求解即可； （2）由（1）可得函数，根据对数的真数大于零和分母不为零运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可得：， 对于函数，可得，解得且， 故函数的定义域为. 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再根据线面垂直判定定理证明线面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则， 则， 所以， 所以， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 记直线与所成角为，则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 17. 已知二次函数． （1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式（其中）． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. （2）分类讨论求解含参数的不等式. 【小问1详解】 不等式， 当时，恒成立，而， 当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 18. 已知，. （1）当时，判断函数的单调性，并写出函数的单调区间； （2）当时，判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义进行证明； （3）当时，求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）判断见解析，减区间是，增区间是； （2）单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对勾函数单调性判断单调性，再写出单调区间. （2）先由函数式组成判断函数的单调性，再运用函数单调性定义进行证明. （3）根据给定区间及双勾函数的图象进行分类讨论，再进行合并表述即得. 【小问1详解】 当时，函数定义域为， ，函数是奇函数， 由对勾函数知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是；递增区间是. 【小问2详解】 当时，在上单调递增. 任取，有， 由，得，，则，即， 所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递增，则； ②当，即时，在上单调递减，则； ③当，即时，， 所以. 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ii） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【小问1详解】 ，得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $