精品解析：湖南省永兴县树德初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题

2025年上期七年级阶段性综合测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（30分） 1. 在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列各式中，计算结果正确是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（　　） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是±5 B. 的值小于6 C. 的算术平方根是3 D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. －1 D. －5 7. 实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 二、填空题（24分） 11. 的平方根是_______． 12. 已知如图是关于不等式的解集，则的值为______． 13. 已知，a、b互倒数，c、d互为相反数，求＝_____． 14. 已知m，n为正整数，若，则_____ ． 15. 若，则值为___________. 16. 已知，则______． 17. 某精品水果店准备将进价为40元/斤，标价为55元/斤的优质车厘子进行打折销售，为了保证利润率不低于10%，则该车厘子最多打__________折． 18. 若一个整数能表示成 (a、b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以5是一个完美数.已知是整数，k是常数)，要使M为“完美数”，则k的值为_____________． 三、解答题（66分） 19. 计算： 20. 求不等式组：，并把解集在数轴上表示出来. 21. 先化简，再求值．计算下列各式的值： ，其中 ，满足． 22. 已知关于x、y的方程组 （1）若此方程组的解满足，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于m的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 23. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的算术平方根． 24. “一盔一带”安全守护行动在我县开展以来，市场上头盔出现了热销，某商场购进了一批头盔，已知购进6个A型头盔和4个B型头盔需要440元，购进4个A型头盔和6个B型头盔需要510元． （1）购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，那么最多可购买B型头盔多少个？ 25. 如图是一个宽为，长为长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）． （1）观察图，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； （2）根据（）中的结论．如果，，求代数式的值； （3）如果，求的值． 26. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为 这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b 为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空： ① ； ② ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上期七年级阶段性综合测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（30分） 1. 在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：无理数有：，共2个． 故选：A． 2. 下列各式中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据合并同类项法则，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算法则以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意； B、，原计算错误，故本选项不符合题意； C、，计算正确，故本选项符合题意； D、，原计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知正确，不符合题意； B、根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知正确，不符合题意； C、根据不等式性质，由于的正负不确定，可知错误，符合题意； D、由于，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查不等式性质，熟记不等式加减乘除的性质是解决问题的关键． 4. 已知，则的值为（　　） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式：，直接平方差公式求出即可．熟记公式结构是解题关键． 【详解】解：，， ． 故选：A． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是±5 B. 的值小于6 C. 的算术平方根是3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的计算，无理数的估算，能够熟练运用公式计算是解题关系． 利用平方根，算术平方根的定义，无理数的估算计算即可． 【详解】解：A．的平方根是，故选项错误， B．∵ ∴，故选项错误， C．的算术平方根是3，正确， D．，故选项错误， 故选：C． 6. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. －1 D. －5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与求代数式值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据多项式乘多项式运算法则化简整理变形，再利用已知条件代入即可求解． 【详解】解：， 当，时， 原式． 故选：C． 7. 实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 8. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 这里首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的乘积的倍，据此求解即可． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故选：C． 9. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式组求解，掌握不等式的性质，不等式组取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质求解，再结合不等式组的取值方法，结合不等式组的取值方法即可求解． 【详解】解：， 由①得，， ∵关于的不等式组的整数解共有个， ∴， ∴的值可以是， 故选：C ． 10. 如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． 由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 二、填空题（24分） 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 已知如图是关于的不等式的解集，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 13. 已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求＝_____． 【答案】0． 【解析】 【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可． 【详解】∵a、b互为倒数， ∴ab＝1， ∵c、d互为相反数， ∴c+d＝0， ∴＝﹣1+0+1＝0． 故答案为：0． 【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 14. 已知m，n为正整数，若，则_____ ． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，由已知得出，再根据同底数幂的乘法法则计算代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 15. 若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】原式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出所求． 【详解】解：已知等式整理得：x2+（2-a）x-2a=x2+bx-10， 可得2-a=b，-2a=-10， 解得：a=5，b=-3， 则ab=-15， 故答案为-15. 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 已知，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】由，整理得，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， 故答案是：18． 【点睛】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是掌握完全平方公式． 17. 某精品水果店准备将进价为40元/斤，标价为55元/斤的优质车厘子进行打折销售，为了保证利润率不低于10%，则该车厘子最多打__________折． 【答案】8##八 【解析】 【分析】此题重点考查学生对不等式的实际应用，熟练掌握利润率是解题的关键.根据利润率的计算公式先列出不等式，再解不等式即可. 【详解】解：设此商品打x折出售，则 解得 此商品最多打8折 故答案为：8. 18. 若一个整数能表示成 (a、b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以5是一个完美数.已知是整数，k是常数)，要使M为“完美数”，则k的值为_____________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完美数”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， M为“完美数”， ， ， 故答案为：13． 三、解答题（66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘方运算，立方根，算术平方根和绝对值．先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号或绝对值先算括号或绝对值内的）进行计算．本题主要考查了乘方运算，立方根的计算，算术平方根的计算以及绝对值的运算，熟练掌握这些基本运算规则和运算的优先级是解题的关键． 【详解】解： 20. 求不等式组：，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】，表示解集见解析 【解析】 【分析】分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的交集得到不等式组的解集，最后将解集在数轴上表示．本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ）以及求不等式组解集的方法（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到 ）是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得 不等式组的解集为， 在数轴上表示为 21. 先化简，再求值．计算下列各式的值： ，其中 ，满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式，多项式乘以多项式，算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，由非负性求出，代数计算即可． 【详解】解：原式 ； ， ， 原式． 22. 已知关于x、y的方程组 （1）若此方程组的解满足，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于m的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【答案】（1） （2）、0 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式； （1）解方程组得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围； （2）结合（1），由为整数，可得的值． 小问1详解】 解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的的整数值是、0． 23. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用平方根、立方根、以及估算无理数的大小求出即可； （2）把的值代入即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得 而 则 所以 所以 【小问2详解】 解： 求的算术平方根为: 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的值是解题关键． 24. “一盔一带”安全守护行动在我县开展以来，市场上头盔出现了热销，某商场购进了一批头盔，已知购进6个A型头盔和4个B型头盔需要440元，购进4个A型头盔和6个B型头盔需要510元． （1）购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，那么最多可购买B型头盔多少个？ 【答案】（1）购进1个A型头盔30元，1个B型头盔65元； （2）最多可购买B型头盔120个； 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列方程组并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数． （1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设B型头盔b个，根据所需费用数量单价，计算A，B头盔总费用列不等式，求得B型头盔b的最大值． 【小问1详解】 解：设购进1个A型头盔需要元，购进1个B型头盔需要元． 根据题意，得， 解得，； 答：购进1个A型头盔需要30元，购进1个B型头盔需要65元； 【小问2详解】 解：设购买B型头盔个． 由题意可得， 解得， 答：最多可购买B型头盔120个． 25. 如图是一个宽为，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）． （1）观察图，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； （2）根据（）中的结论．如果，，求代数式的值； （3）如果，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论； （）由（）结论得，再整体代入即可； （）先由，再利用平方差公式得出，再根据即可求解； 本题考查完全平方公式的几何背景和平方差公式，用不同的方法表示图形的面积，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 由图可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，大正方形的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 由（）得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为 这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b 为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空： ① ； ② ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值 【答案】（1）①；②； （2） （3） 【解析】 【分析】本体需要利用复数的四则运算，理解题意掌握运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式、平方差公式展开，再根据复数的计算方法进行计算即可； （2）根据共轭复数求出的值，即可得到答案； （3）解出方程得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①原式， ②原式； 故答案为：①；②； 【小问2详解】 解：， 是的共轭复数， ， ； 【小问3详解】 解：由条件可知，， 即， ， 解得， ， ， 有个加数， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$