6.1 数列的概念及其表示课件——河北省2026届高三对口单招数学复习

第一节　数列的概念及其表示 第六章　数　　列 第1页，共45页 第2页，共45页 2 第3页，共45页 1．数列的定义及表示 按照___________排成的一列数叫数列，数列中的每一个数叫数列的________.其中，反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n分别叫对应的项的________.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…(n∈N*)，此数列简记为{an}，其中a1叫数列的________，an叫数列的________(或______).例如：数列1，2，3，…，n，…简记为{n}．数列的项一般 一定的次序 项 项数 首项 第n项 通项 3 第4页，共45页 用字母加右下角码表示，其中右下角码为项的位置序号，例如上面数列中第3项a3＝3. 4 第5页，共45页 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an能够用关于项数n(n∈N*)的一个式子来表示，那么这个式子称为这个数列的通项公式． 注　(1)数列的通项公式揭示了数列第n项an与________之间的关系．如果知道了数列的________可以求出数列中的任意一项． 项数n 通项公式 5 第6页，共45页 (2)数列的通项公式是一个以__________或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数表达式． (3)________所有数列都有通项公式，有的数列通项公式不存在． (4)一些数列的通项公式形式_______，如：－1，1，－1，1，－1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n(n∈N*)或 an＝cos nπ(n∈N*)等． 正整数N* 不是 不唯一 6 第7页，共45页 常见数列的通项公式： ①1，2，3，4，5，…的一个通项公式是an＝n； ②1，3，5，7，9，…的一个通项公式是an＝2n－1； ③2，4，6，8，10，…的一个通项公式是an＝2n； ④2，4，8，16，32，…的一个通项公式是an＝2n； ⑤1，4，9，16，25，…的一个通项公式是an＝n2； ⑥2，6，12，20，30，…的一个通项公式是an＝n(n＋1)； 7 第8页，共45页 ⑦0，4，8，15，24，…的一个通项公式是an＝n2－1； ⑧9，99，999，9 999，…的一个通项公式是an＝10n－1. 8 第9页，共45页 3．数列的递推公式 用含有数列前面的若干项的表达式表示后面某一项的式子，称为数列的__________.递推公式是数列的一种表示法，它包含两部分，一是递推公式，二是初始条件，二者缺一不可．如an＋2＝2an＋1－an，a1＝5，a2＝3，已知a1，a2，可求出该数列的每一项． 递推公式 9 第10页，共45页 4. 数列的分类 (1)按照数列的项数分为________和________. 项数有限的数列称为________，如数列1，2，3，…，100； 项数无限的数列称为________，如数列1，2，3，…. 有穷数列 无穷数列 有穷数列 无穷数列 10 第11页，共45页 (2)按照数列前后两项的大小关系可分为________、________、________、________. 数列{an}中，若an________an＋1(n∈N*)，则数列为递增数列； 若an________an＋1(n∈N*)，则数列为递减数列； 若每项之间的大小关系________，则称数列为摆动数列； 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 < > 没有规律 11 第12页，共45页 若数列的每一项都是___________，即an＝A(A为常数)(n∈N*)，则数列为常数列． 同一个常数 第13页，共45页 5. 数列{an}的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. 13 第14页，共45页 6. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ ______________. 注　(1)an＝Sn－Sn－1的应用前提是n≥2； (2)若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 14 例1 变1 例2 考点1　已知通项公式(或递推公式)，求数列指定项 【例1】已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n· ，求该数列的前3项． 变2 第15页，共45页 【解析】a1＝(－1)1× ＝－1，a2＝(－1)2× ＝ ，a3＝(－1)3× ＝－ . 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第16页，共45页 【变式训练1】已知数列{an}的通项公式an＝2n(n－1)，求a2，a10. 例1 变1 例2 变2 解：∵an＝2n(n－1)，∴a2＝2×2×(2－1)＝4，a10＝2×10 ×(10－1)＝180. 【思路点拨】本题考查数列的通项公式．已知数列的通项公式，采用赋值法，求出指定项． 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第17页，共45页 【例2】在数列{an}中，已知a1＝4，an＋1＝an－2，求a5的值． 【解析】　a2＝a1－2＝2，a3＝a2－2＝0，a4＝a3－2＝－2，a5＝a4－2＝－4. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第18页，共45页 【变式训练2】　在数列{an}中，已知a1＝1，an＝3an－1＋2(n∈N*，n≥2)，试写出该数列的前5项． 解：∵a1＝1，an＝3an－1＋2(n∈N*，n≥2)， ∴a2＝3a1＋2＝5，a3＝3a2＋2＝17， a4＝3a3＋2＝53，a5＝3a4＋2＝161. 例1 变1 例2 变2 【思路点拨】本题考查数列的递推公式．本题未给出通项公式，可以逐步递推．由a1求出a2，a3，a4，a5. 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第19页，共45页 【变式训练3】　已知数列{an}的前6项是－ ，－ ， ，－ ， ，－ ，则这个数列的一个通项公式是an＝_____________. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第20页，共45页 【解析】　各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，各项的绝对值的分子分别比分母小3，原数列可 化为 ，－ ， ，－ ，…， 故an＝(－1)n＋1· . 【思路点拨】注意观察分子与分母的关系． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第21页，共45页 考点3　关于Sn，an，n之间的运算 【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－n，求an. 【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－ (n－1)]＝4n－3. 当n＝1时，a1＝S1＝2×12－1＝1，满足an＝4n－3，故an＝4n－3. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第22页，共45页 注　已知Sn求an时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)可求．但一定要验证首项a1＝S1是否满足求出的通项公式an. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第23页，共45页 【变式训练4】(1)数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n＋1，则an＝ ____________； 【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－4.当n＝1时，a1＝S1 ＝－1，不满足an＝2n－4，故an＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第24页，共45页 (2)若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1，则a6＋a7＋a8＝________. 224 【解析】　a6＋a7＋a8＝S8－S5＝(28－1)－(25－1)＝224. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　本题考查已知数列的前n项和公式，如何求 数列的某一项或连续几项的和，即an＝ 第25页，共45页 【例5】在数列{an}中，an＝n(n－1)，则30是数列的第_____项． 【解析】本题考查根据数列的前n项和公式，求数列的某一项．令an＝n(n－1)＝30，∵30＝5×6，n≥1，∴n－1＝5，n＝6. 6 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 第26页，共45页 【变式训练5】下列四个数，是数列{n(n＋1)}中的一项的是 (　　) A．3 B．11 C．40 D．72 【解析】　72＝8×(8＋1)，故选D. D 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】 代入验证即可，注意n∈N*. 第27页，共45页 一、单项选择题 1．下列说法中，正确的是(　　) A．{1，3，5，7，9}是有穷数列 B．所有自然数能构成数列 C．数列中的数是有次序的，不能重复出现 D．数列2，4，6，8，…，2n是无穷数列 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第28页，共45页 【解析】　{1，3，5，7，9}是集合而不是数列，故A错误；所有自然数能构成数列，故B正确；数列中的数有次序，可以重复出现，故C错误；数列2，4，6，8，…，2n共有n项，是有穷数列，故D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第29页，共45页 2．数列－ ， ，－ ， ，…的一个通项公式是an＝(　　) A．(－1)n＋1 B．(－1)n＋1 C．(－1)n D．(－1)n C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第30页，共45页 【解析】　奇数项负，偶数项正可以用(－1)n表示，各项的 分子比项数大1，各项的分母分别是(1＋2)2－1，(2＋2)2－1， (3＋2)2－1，…，因此an＝(－1)n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第31页，共45页 3．已知数列1，3，5，7，…，则排在第10项的数是(　　) A．15 B．19 C．20 D．21 B 【解析】∵数列的通项公式an＝2n－1，∴a10＝2×10－1＝19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第32页，共45页 4．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n，则a2＝(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 C 【解析】通过观察发现a2＝S2－S1＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第33页，共45页 5．已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则a3＝(　　) A．10 B．5 C． D．4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 【解析】a3＝ ＝ . 4 第34页，共45页 6．已知数列1，1，2，3，5，8，…，则55是该数列的第________项．(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C 【解析】由数列的前几项可知，其满足an＋2＝an＋1＋an，55是其第10项． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第35页，共45页 7．已知数列{an}的首项a1＝－2，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)，则a3＝(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 D 【解析】　a2＝2a1＋3＝2×(－2)＋3＝－1，a3＝2a2＋3＝2×(－1)＋3＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第36页，共45页 8．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－3n，则a4的值为(　　) A．－11 B．11 C．－29 D．29 B 【解析】a4＝S4－S3＝(2×42－3×4)－(2×32－3×3)＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第37页，共45页 9．已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则S50＝(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 【解析】an＝ ＝ － ，S50＝a1＋a2＋…＋a50＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＝ . 4 第38页，共45页 二、判断题(正确的填“√”，错误的填“×”) 1．所有的数列都有通项公式，且其通项公式只有一个． (　　) × 【解析】不是所有的数列都有通项公式，且有的数列通项公式不唯一． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第39页，共45页 2．若数列{an}为0，1，－1，2，－3，x，－8，…，则x为5. (　　) √ 【解析】由数列的前几项可知：an＋2＝an－an＋1，所以x＝2－(－3)＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第40页，共45页 3．已知an＝n2－2n，则48不是数列的一项．(　　) × 【解析】令48＝n2－2n，解得n＝－6(舍)，n＝8，故48是数列的第8项． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 第41页，共45页 4．数列－1，1与方程|x|＝1的解组成的数列是同一数列． (　　) × 【解析】∵方程|x|＝1的解组成的数列是－1，1或1，－1，∴数列－1，1与方程|x|＝1的解组成的数列不一定是同一数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 单选 判断 4 谢谢观看！ $$