精品解析：甘肃省兰州市某校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第二学期期末考试试题 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. 4 C. 0 D. 4或 2. 已知向量，则下列选项中与同向单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为 A. B. C. D. 5. 已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，，连接交于点，若，则的值为 A B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则在上的投影向量为 D. 两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 10. 下列式子化简后等于的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（ ） A. 该圆台体积为 B. 直线SA与直线所成角最大值为 C. 该圆台有内切球，且半径为 D. 直线与平面所成角正切值最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 13. 已知复数z满足，则的最小值是__________ 14. 在平行四边形ABCD中，，，，将沿BD折起到的位置，若二面角P－BD－C的大小为，则四面体PBCD的外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上． （1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求λ+μ的值． （2）若AB＝2，当1时，求DF的长． 16. 已知向量，且. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 17. 内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 19. 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. （1）求角A； （2）若，且的周长为9，求； （3）若的面积为，求的角平分线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末考试试题 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. 4 C. 0 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列出方程组，解之即得. 【详解】复数为纯虚数．所以，解得. 故选：B． 2. 已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示及单位向量的定义计算即可. 【详解】设与同向的单位向量为， 则，解得（负根舍去），所以. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的正切公式求解即可. 【详解】 故选：C. 4. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意可构造以为过一顶点的三条棱的长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由于长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此可得球半径，从而可求得球的体积． 详解：∵三棱锥中两两垂直， ∴以为过同一顶点三条棱构造长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球． 又是边长为的正三角形， ∴， ∴长方体的体对角线为，即球的直径为， ∴球的体积为． 故选A． 点睛：关于球的内接几何体的问题，往往涉及到求球的体积或表面积，求解的关键是确定球心的位置和求出球的半径．当球外接于正方体（或长方体），即正方体（或长方体）的顶点均在球面上时，则正方体（或长方体）的体对角线长等于球的直径． 5. 已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线BD，则点C应该在点D的两侧，进而得到答案. 【详解】如图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线，垂足为D，由题意可知， 若三角形有两个，则点C应在点D的两侧（如：），而AB=2，所以BC的范围是. 故选：B. 6. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，如图，在正方体中，记为，为，为， 平面为，则有， 但与平面不垂直，故A错误； 对于B，若，则，又，存在，满足， 因为，则，所以，故B正确； 对于C，如图，在正方体中，记为，平面为， 记为，平面为，则有， 但平面平面，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：B 7. 如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，，连接交于点，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵，则： ∵三点M，N，P共线． ∴， 解得： 本题选择C选项. 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，所以. 因为， 由余弦定理得， 即， 又，所以，所以， 由正弦定理得，所以. 设的外接圆的半径为， 所以，解得， 所以的外接圆的面积为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则在上的投影向量为 D. 两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 【答案】AC 【解析】 【分析】应用模长关系计算结合垂直的向量表示判断A，应用特殊值法计算判断B，D，根据投影向量及向量数量积公式计算判断C. 【详解】为非零向量，且，左右两边平方得出， 所以，则，A选项正确； 当，则，则不一定是等腰三角形，B选项错误； 因为，所以，则在上的投影向量为，C选项正确； 当两个非零向量的夹角是0时，，但是两个非零向量的夹角不是锐角，所以D选项错误； 故选：AC. 10. 下列式子化简后等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍角公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：ABC. 11. 如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（ ） A. 该圆台的体积为 B. 直线SA与直线所成角最大值为 C. 该圆台有内切球，且半径为 D. 直线与平面所成角正切值最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案； 对于B，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案； 对于C，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案， 对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A选项，，则A选项正确. 对于B选项，如图（1）， 过作垂直于下底面于点，则， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 即为所求，而， 由圆的性质得，， 所以，因为， 则B选项错误. 对于C选项，设上底面半径为，下底面半径为， 若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示， 梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为， 假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为， 所以圆台存在内切球，且内切球的半径为，则C选项正确； 对于D选项，如图（3）， 平面即平面，过点做交于点，因为垂直于下底面， 而含于下底面，所以，又，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为，且. 设，则， 所以， 其中，所以，当时，， 当时，. 根据复合函数的单调性，可知函数，在上单调递增， 所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】，， 由题意， 可得：， 得， 故答案为： 13. 已知复数z满足，则的最小值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义及给定等式的特点，是复平面内的一条线段，求出线段上的点与点(1，0)距离最小值得解. 【详解】由复数几何意义知，在复平面内，与分别表示复数z对应点M到定点A(0，3)与B(-2，0)的距离， 而，于是有，动点M在线段AB上，如图： 表示定点C(1，0)到动点M的距离，是锐角三角形， 点C到线段AB上动点M的距离最小值即是AB边上的高CD， ，由， 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：是两个复数，的几何意义是：复平面内，表示复数对应点与表示复数对应点的两点间距离. 14. 在平行四边形ABCD中，，，，将沿BD折起到的位置，若二面角P－BD－C的大小为，则四面体PBCD的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，证明为二面角的平面角，在平面内过点作直线与垂直，过作直线与垂直，设两垂线的交点为，证明为四面体PBCD的外接球的球心，求可得球的半径，由球的面积公式求球的表面积. 【详解】如图，因为四边形为平行四边形，，，， 所以，，， 在翻折后的图形中，， 取的中点，则， 故，所以为二面角的平面角， 由已知， 在平面内过点作直线与垂直，过作直线与垂直，设两垂线的交点为， 则，为直角三角形，又，，所以， 所以，，所以， 因为，平面，， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为为直角三角形，为斜边的中点，所以， 所以，同理可证， 所以点为四面体PBCD的外接球的球心， 因为，,，所以， 所以四面体PBCD的外接球的半径为，该球的表面积， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上． （1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求λ+μ的值． （2）若AB＝2，当1时，求DF的长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先转化得到，，再表示出，求出λ，μ，最后求λ+μ的值； （2）先得到和，再建立方程求解λ，最后求DF的长. 【详解】（1）∵点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点， ∴，， ∴， ∴λ，μ， 故λ+μ. （2）设λ，则λ， 又，0， ∴（）•（λ）＝﹣λ24λ+2＝1， 故λ， ∴DF＝（1﹣λ）×2． 【点睛】本题考查利用向量的运算求参数，是基础题 16. 已知向量，且. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数列积的坐标运算，化简整理得到，即可求出结果； （2）根据题中条件求出，， 再由，即可求出结果. 【详解】解：（1）因为， 所以. . 因为，所以，即. （2）因为，所以， 因为，所以. 因为，所以 所以 因为，所以，所以 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记两角和的余弦公式即可，属于常考题型. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、、，根据面面垂直的性质可知平面，从而，由勾股定理可求得，又，满足线面垂直的判定定理则平面，根据线面垂直的性质可知； （2）由（Ⅰ）可知，，根据二面角平面角的定义可知是二面角的平面角，然后在三角形中求出此角即可； （3）设点到平面的距离为，连接，则根据等体积得，建立关于的等式解之即可得到点到平面的距离． 【详解】（1）取的中点，连接、、． 为正三角形，， 平面平面，平面 四边形是矩形 、、均为直角三角形 由勾股定理可求得：，， 又平面 （2）由（1）可知， 是二面角的平面角 二面角为 （3）设点到平面的距离为，连接，则 ， 而， 在中，由勾股定理可求得 ，所以： 即点到平面的距离为. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找作证指求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根据体积相等求出点到平面的距离. 19. 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. （1）求角A； （2）若，且的周长为9，求； （3）若的面积为，求的角平分线的取值范围. 【答案】（1）； （2）9； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式计算得解. （2）则（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用数量积的定义计算即得. （3）由（2）中信息，利用三角形面积公式求出，再求出范围，借助函数单调性求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 又，则， 又，于是即，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由正的周长为，得， 依题意，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即，联立解得， 所以. 【小问3详解】 由正的面积为，得， 由（2）知，即， 由，得， 于是，又，则， 又，即，解得，因此， 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，从而，则， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $