江苏省天一中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性测试数学（强化班）试题

江苏省天一中学2024-2025学年第一学期10月阶段性测试 高二数学学科（强化班） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则 A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 2．圆的圆心到直线的距离为 A． B．2 C．3 D． 3．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则 A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则 A． B．或 C． D． 5．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为 A．1 B．2 C．4 D． 6．已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，则 A．9 B．36 C．72 D．84 7．已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则 A．1 B．3 C．6 D．9 8．已知数列满足，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9．已知圆的半径为2，则下列说法正确的是 A． B．点在圆的内部 C．圆与圆C外切 D．当直线平分圆C的周长时， 10．已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是 A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 11．设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是 A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 13．已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 14．已知在处有极大值，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知函数. (1)若，求的单调区间和极值. (2)若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 16．（本题满分15分） 已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 17．（本题满分15分） 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 18．（本题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度； (3)若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 19．（本题满分17分） 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若△ABC的面积为5，求直线AC的方程. 江苏省天一中学2024-2025学年第一学期阶段性测试 高二数学学科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C C B D C ACD ACD 题号 11 答案 ACD 1．B【详解】将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即，圆：的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离，直线与圆相交但不过圆心. 2．A【详解】圆的圆心到直线的距离 . 3．B【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则，由，则， 即，解得，又，则， 即，解得，所以. 4．C 【详解】设直线与x轴的交点为M，则．所以，． 因为，所以．由得，即，，． 所以，解得或．因为与C有两个交点，联立消y，解得．所以 5．C【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 6．B【详解】设的公比为， 因为，解得或（舍去）， 所以． 7．D【详解】设等差数列的公差为,显然， 所以可得，即，解得，或(舍)，因此. 8．C【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，，，而，C正确，D错误. 9．ACD【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为，可得， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上，可得，解得，所以D正确． 10．ACD【详解】 根据点到直线距离公式，，. 过点向做垂线，垂足为Q，因为，所以，又O为中点且，则.由，可得，， 在中，，解得， 又 所以：实轴长，故A对；离心率，故B错； 的面积，， 所以，故C对. 中，，，为中点，为中点，即， 又，，，又共线且方向相同，，故D对. 11．ACD 【详解】 对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则，因为，，所以， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 所以，过垂直于的直线方程为当时，代入，，所以，所以，因为，所以，故A正确； 对于B，由题意可知，则，所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，； 所以，即；所以存在直线，使得，故C正确； 对于D，，，所以，所以， 因为，，所以，因为，所以， ，所以，同理， 令，则，因为，则，所以，所以， 所以，其中， 所以，其中 ， 同理， 所以，故D正确， 12．【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则，所以. 13．【详解】设，则 ，整理得，，即点在圆上，又点在直线上，故直线与圆有交点，即，则，解得. 14．【详解】由题意， 已知在处有极大值，所以是的变号零点，显然，若，则，，，所以此时在单调递增，在单调递减，即此时在处有极大值，故满足题意， 当时，或，， 所以此时在上单调递增，在上单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时， （i）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极大值，故满足题意， （ii）当时，，等号成立当且仅当， 此时在上单调递减， 即此时在处无极大值，故不满足题意， （iii）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极小值，故不满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 15．【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，.令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增.因此在处取得极小值.综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. （2）.因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 16．【详解】（1）等差数列中，设公差为， 则由得：时， 时，为公比为2的等比数列， （2）数列中，．则 所以故 所以 17．【详解】（1）由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，    半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，符合条件；    当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即，则圆心到切线的距离，解得，    此时切线的方程为：，即，    综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 18．【详解】（1）因为底面为直角梯形，且，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，过点可以作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又，，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，由∥,得， 所以，所以∥，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，所以，可得， 又因为，所以，即. （3）以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， ，，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 点到平面的距离为，解得， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设与平面所成角为， 则，即与平面所成角的正弦值为. 19．【详解】（1）解：由题意得过点且垂直于x轴的直线方程为，代入椭圆，得， 又该直线所截得的线段长为，即， 椭圆的离心率， 又，故可列方程组为 ，解得，， 故椭圆W的方程为. （2）由题意知，直线AC不垂直于y轴，直线AC经过， 设直线AC的方程为，，，联立，消去x并整理得，由韦达定理得，，， . 点（坐标原点）到直线AC的距离，且是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d，所以. 由，令，则，上式变为，解得或，即或（舍去），，故直线AC的方程为，即或. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$