专题7.3平面向量的内积（练习题）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第七章平面向量的第3个专题：平面向量的内积.本专题涵盖平面向量的内积的知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题7.3 平面向量的内积（练习题） 知识点 平面向量的内积 1．已知向量 ，且，则实数m的值为（   ） A．-4 B．2 C．4 D．-2 2．向量，则（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（   ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个向量一定共线 C．两个非零向量互相垂直的充要条件是 D．两个相等向量的起点、方向、大小必须都相同 4．设，，则（    ） A．7 B． C．3 D． 5．设向量，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．28 6．已知向量，满足，，与的夹角为30°，则（   ） A．5 B． C．3 D． 7．已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．若向量，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 9．已知平面向量与的夹角为，，则（   ） A． B． C．4 D．12 10．给出下面的关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知，，，则 12．已知向量，，，且，则 ． 13．已知向量，均为单位向量，若夹角为，则 ． 14．已知向量，，则向量与向量的夹角为 ． 15．已知，，，则 ． 16．设向量，当为何值时， (1)与垂直； (2)与平行 17．判断下列各组向量是否互相垂直. (1)，； (2)，. 18．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 19．如图所示，在平行四边形中，，，． (1)； (2)； (3)． 20．已知向量，，求，，，，． 21．如图，在四边形中，平分，，，，． (1)求的值； (2)求的长度 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第七章平面向量的第3个专题：平面向量的内积.本专题涵盖平面向量的内积的知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题7.3 平面向量的内积（练习题） 知识点 平面向量的内积 1．已知向量 ，且，则实数m的值为（   ） A．-4 B．2 C．4 D．-2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题可知：，又， 所以，则. 故选：C 2．向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量平行与垂直的坐标表示即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，所以与不平行，故A错误； 对于BCD，因为， 所以，则，故BC错误，D正确. 故选：D. 3．下列说法错误的是（   ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个向量一定共线 C．两个非零向量互相垂直的充要条件是 D．两个相等向量的起点、方向、大小必须都相同 【答案】D 【分析】根据零向量、相反向量、向量垂直、相等向量的基本概念判断即可. 【详解】对A，零向量与任一向量平行，正确； 对B，方向相反的两个向量一定共线，正确； 对C，两个非零向量互相垂直的充要条件是，正确； 对D，方向相同，大小相等的两个向量相等，不一定要有相同的起点，错误. 故选：D 4．设，，则（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 5．设向量，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．28 【答案】C 【分析】根据向量线性运算和内积的坐标表示运算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6．已知向量，满足，，与的夹角为30°，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 则， 故选：B. 7．已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合内积的定义计算即可求解. 【详解】因为，， 所以， 又，则向量，的夹角为. 故选：A. 8．若向量，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量模的坐标表示结合同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】已知向量， 得. 故选：C. 9．已知平面向量与的夹角为，，则（   ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据向量的内积的定义和运算律计算即可. 【详解】已知平面向量与的夹角为，， ． 故选：B. 10．给出下面的关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的内积的运算律逐个分析即可. 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，即，故①正确， ，故②正确， ，故③正确， ，故④错误， ，其中为的夹角，故⑤错误. 故选：C. 11．已知，，，则 【答案】3 【分析】根据题意结合平面向量的内积公式，即可得解. 【详解】因为，，， 则， 故答案为：. 12．已知向量，，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量垂直可得，得到，然后根据二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由题可知：，所以， 又向量，，则， 所以. 故答案为： 13．已知向量，均为单位向量，若夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算及模长公式，代数求解即可. 【详解】因为向量，均为单位向量，所以， 所以 . 故答案为：. 14．已知向量，，则向量与向量的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示求得内积和模长，再根据内积的定义求得夹角的余弦，即可得到夹角. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以， 又因为， 则向量与向量的夹角为. 故答案为：. 15．已知，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据向量内积公式与向量的分配律求解即可； 【详解】因为，，， 所以 ． 故答案为：20 16．设向量，当为何值时， (1)与垂直； (2)与平行 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量垂直坐标表示计算即可； （2）根据平面向量平行坐标表示计算即可. 【详解】（1）由与垂直，则，所以. （2）由与平行，所以. 17．判断下列各组向量是否互相垂直. (1)，； (2)，. 【答案】(1) (2)与不垂直. 【分析】（1）根据向量垂直的条件进行验证即可. （2）根据向量垂直的条件进行验证即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以与不垂直. 18．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线，结合向量的内积公式求解即可； （2）根据向量内积与模长求解模长即可； （3）由条件结合向量的夹角公式求解即可； 【详解】（1）设向量与的夹角为． 当同向，即时，； 当反向，即时，． （2）因为，所以； 所以， 所以． （3）由，得， 所以， 又，所以． 19．如图所示，在平行四边形中，，，． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】根据向量内积的运算公式，结合几何图形，代数求解即可； 【详解】（1）因为四边形为平行四边形， 所以，且方向相同、， 所以和的夹角为， 所以. （2）因为四边形为平行四边形， 所以，但方向相反、， 所以和的夹角为， 所以. （3）因为， 所以和的夹角为， 又因为，， 所以. 20．已知向量，，求，，，，． 【答案】20；；；；. 【分析】根据向量内积的坐标表示，模长计算公式以及向量夹角的公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以， ， ， ， 又因为，所以. 21．如图，在四边形中，平分，，，，． (1)求的值； (2)求的长度 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据题意，结合三角形面积公式，可求得，结合同角三角函数的平方关系，可求出，结合向量的内积的定义，即可求解； （2）根据题意，结合第（1）问，可得的值，结合两角差的正弦公式，可求出，结合正弦定理，即可求解. 【详解】（1）在中，， ， 解得． ,又平分，即， ，， ． （2）因为在四边形中，平分，即, , ， ， 在中，由正弦定理得，即， 解得，即的长度是8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$