专题7.2 平面向量的坐标表示（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第七章平面向量的第2个专题：平面向量的坐标表示.本专题涵盖平面向量的坐标表示的知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题7.2 平面向量的坐标表示（讲义） 知识点 平面向量的坐标表示 1.向量的坐标表示 设为坐标原点，点,则. 定位向量 自由向量 定义 起点为坐标原点的向量称为定位向量 起点为任意一点的向量为自由向量 图示 A(x,y) y x O O B(x2,y2) A(x1,y1) x y 坐标 模 2.向量的坐标运算 设向量 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）相等：若，则 3.平面向量共线的坐标表示 设，则（均不为0）或者（对应坐标成比例）. 4.平面向量垂直的坐标表示 设，则（对应坐标乘积的和等于0） 1．（2023湖南对口升学）已知向量，，则与向量平行的向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024湖南对口升学）已知向量，，且，则实数 ． 3．（2025四川高职单招）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025江苏职教高考）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025河南高职单招）已知向量， 则 1．已知向量，，，若，则m，n的值分别为（    ） A．3，1 B．3， C．，1 D．， 2．已知点，则平行四边形中点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 4．已知，，且，则x等于（    ）． A．2 B． C．1 D． 5．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 6．若平面向量与向量平行，且，则（    ） A． B． C． D．或 7．与向量平行的单位向量为（） A． B． C． D． 8．已知是两个不共线的向量，设，则（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，在四边形中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 10．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 11．已知， ， 则点D的坐标是 . 12．已知向量，，则 . 13．已知向量，若，则 ． 14．已知向量，，且，则实数 . 15．如图，在中，为一条对角线，若，，则 ． 16．设向量. (1)求； (2)若，，求的值. 17．已知向量，其中为坐标原点，点在第二象限. (1)求的取值范围； (2)解不等式. 18．已知求： (1)的坐标； (2)的坐标. 19．已知向量. (1)求； (2)若，求实数m的值； 20． 已知，且，求实数的值. 21．已知向量，，求： (1) (2)求、； (3)若，且，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第七章平面向量的第2个专题：平面向量的坐标表示.本专题涵盖平面向量的坐标表示的知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题7.2 平面向量的坐标表示（讲义） 知识点 平面向量的坐标表示 1.向量的坐标表示 设为坐标原点，点,则. 定位向量 自由向量 定义 起点为坐标原点的向量称为定位向量 起点为任意一点的向量为自由向量 图示 A(x,y) y x O O B(x2,y2) A(x1,y1) x y 坐标 模 2.向量的坐标运算 设向量 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）相等：若，则 3.平面向量共线的坐标表示 设，则（均不为0）或者（对应坐标成比例）. 4.平面向量垂直的坐标表示 设，则（对应坐标乘积的和等于0） 1．（2023湖南对口升学）已知向量，，则与向量平行的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由平行的条件即可选出正确答案. 【详解】因为向量，， 则， 因为，所以与向量平行的向量可以是. 故选：B. 2．（2024湖南对口升学）已知向量，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示结合向量垂直则内积为即可求解. 【详解】， . 因为， 所以. 解得. 故答案为：. 3．（2025四川高职单招）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的性质，即可求解. 【详解】因为，所以 又向量，， 则，， 所以，解得. 故选：D. 4．（2025江苏职教高考）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】已知，则， 又，所以. 故选：． 5．（2025河南高职单招）已知向量， 则 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量， 所以. 故答案为： 1．已知向量，，，若，则m，n的值分别为（    ） A．3，1 B．3， C．，1 D．， 【答案】A 【分析】根据向量线性的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，，，且， 即 ∴，解得. 故选：A. 2．已知点，则平行四边形中点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标为得，再根据平行四边形的性质即可求解. 【详解】设点坐标为， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点坐标为. 故选：D. 3．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据两个平面向量平行与垂直的关系求出的值，结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，，， 因为，则，解得，所以； 因为，则，解得，所以， 则， 所以， 故选：. 4．已知，，且，则x等于（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量平行时，有成立，即可代入求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故选：C. 5．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示，即可求解. 【详解】因为点，， 所以向量. 故选：D. 6．若平面向量与向量平行，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设，根据平行的坐标公式结合模长计算即可 【详解】设，则，解得或． 故选：D 7．与向量平行的单位向量为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可得与向量平行的单位向量为即可求出. 【详解】因为，所以与向量平行的单位向量为． 故选：D． 8．已知是两个不共线的向量，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算性质，计算得到答案. 【详解】已知， 则， 故选：C. 9．如图所示，在四边形中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的几何应用即可得解． 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A. 10．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，将向量用，表示出来，可得，的值，据此可得结果． 【详解】在中，为的中点，为的中点， 则， 所以，. 故选：B 11．已知， ， 则点D的坐标是 . 【答案】 【分析】根据相等向量的定义即可求解. 【详解】已知， ， 设，则， 因为则， 即，所以， 则的坐标为. 故答案为：. 12．已知向量，，则 . 【答案】 【分析】先计算的坐标，再根据向量模的坐标表示求解． 【详解】∵向量，，∴， ∴， 故答案为：． 13．已知向量，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量， 又，所以，解得． 故答案为：. 14．已知向量，，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算法则求出，代入平面向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，则， 因为，则，解得， 故答案为：. 15．如图，在中，为一条对角线，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据减法法则和加法法则得，，再由向量的线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】，， 则， ． 故答案为：. 16．设向量. (1)求； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由向量的坐标运算求得，然后求出.   （2）根据列方程组，化简求得，进而求得. 【详解】（1），； （2）， 所以，解得，所以. 17．已知向量，其中为坐标原点，点在第二象限. (1)求的取值范围； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量的坐标表示，即可列式求解； （2）根据题意，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为向量，其中为坐标原点，点在第二象限， 所以，解得，故的取值范围为； （2）由（1）知，又， 所以，解得， 即的取值范围为. 18．已知求： (1)的坐标； (2)的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. 19．已知向量. (1)求； (2)若，求实数m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量坐标的线性运算，即可求解； （2）根据题意，结合向量坐标的线性运算，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以； （2）因为向量，， 所以， 又， 所以，解得. 20．已知，且，求实数的值. 【答案】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以，解得. 21．已知向量，，求： (1) (2)求、； (3)若，且，求m的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. （2）根据向量模的定义，即可求解. （3）根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量，， 所以 （2）， ， （3）因为，，， 所以，得到. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$