第一章 集合与常用逻辑用语、不等式～第三章一元函数的导数及其应用（综合训练）（北京专用）2026年高考数学—轮复习讲练测

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第三章 一元函数的导数及其应用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解不等式可得，即； 又，因此． 故选：D 2．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，得，则，或， 由，得，显然选项ABC不满足，D满足. 故选：D 5．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 【答案】B 【详解】由题可知，函数， 令，则， 两边同时取对可得：，即， 即 . 故选：B. 6．下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，的定义域为，并在上单调递增，故A选项错误； 对于B选项，的定义域为，其开口向上，对称轴为，故函数在上单调递减，在上单调递增，故B选项错误； 对于C选项，由，其定义域为，且在上单调递减，故C选项错误； 对于D选项，，其定义域为，且在上单调递增，得其在区间为增函数，故D选项正确. 故选：D 7．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 8．已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 9．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 10．设的定义域为，若对任意实数，存在实数，，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数，使得， 所以对任意的，在上不单调时，有满足“性质”， 对于选项A，，当时，，易知在上单调递增， 所以不满足“性质”，故选项A错误 对于选项B，，则， 当时，，当时，， 所以在上不单调，则满足“性质”，故选项B正确， 对于选项C，， 当时，，则，此时在上单调递减， 则不满足“性质”，所以选项C错误， 对于选项D，，当时，， 则，此时在上单调递减，则不满足“性质”，所以选项D错误， 故选：B 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．已知，则的最大值为 ． 【答案】4 【详解】， ， 当且仅当， 即时等号成立. 故答案为： 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】2 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 则由，，即， 故答案为：2. 14．设函数. ①当时，的单调递增区间为 ； ②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围 . 【答案】 【详解】①当时，可得，函数的图象，如图所示， 可得函数的单调递增区间为.    ②由，可函数的图象关于对称， 若且，使得成立， 如图所示，则满足，即实数的取值范围为.    故答案为：；. 15．设，函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②存在， 使得只有一个零点； ③存在， 使得有三个不同零点； ④，在上是单调递增函数． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】因为， 当时，则函数在上单调递增， 又函数的对称轴为， 对于①：当时， 当时，所以，即，故①错误； 对于②：当零点位于时，则，解得， 此时， 若，即时在上单调递增， 此时只需，解得或，所以， 若，即时，此时，则在上至少还有个零点，故不符合题意， 所以； 当零点位于，此时在上无零点，则，解得， 此时且， 要使函数只有一个零点，则只需，解得， 又，显然无解，所以此种情况不符合题意； 综上可得当时只有一个零点，故②正确； 对于③：使得有三个不同零点，则必然是在上有一个零点，在上有两个零点， 则，解得， 所以当时有三个不同零点，故③正确； 对于④：若在上是单调递增函数，则，解得， 所以当时在上是单调递增函数，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】关键点点睛：第②问关键是分零点所在区间讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，求出参数的取值范围，第③问关键是分析得到在上有一个零点，在上有两个零点. 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程. 16．（13分）已知函数在处取得极大值为9. (1)求的值; (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)9． 【详解】（1）， 依题意得， 即，解得． 检验，当时， ∴ 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 满足题意，所以. （2）由（1）得，， 令，得；令，得或， 在上的单调递减区间是，单调递增区间为． ，函数在区间上的最大值为9． 17．（13分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 18．（14分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 当时，，得， 在区间小于0，函数单调递减， 在区间大于0，函数单调递增， 所以函数的最小值为， ，，显然，所以函数的最大值为， 综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）当时，，即证明不等式， 设，，， 设，，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 19．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2），则， 则， 当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数的定义域为， 所以此时函数无极值. 综上所述，当时，函数无极大值； 当时，的极大值为； （3）令，则， 当时，， 所以时，函数无零点； 当时，由，得，所以， 则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，且，当时，， 如图，作出函数的大致图象，    又，由图可知，所以函数的图象只有个交点， 即当时，函数只有个零点； 综上所述，若，函数有个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 20．（15分）对于函数，若存在m，n，使得，则称与 为“互补函数”，且,为“互补数”.已知函数和.若函数与为“互补函数”，且,为“互补数”. (1)是否存在,，满足，若存在，求出,的值，若不存在，请说明理由； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）因为函数与为“互补函数”， 则. 化简得，（*）， 因为，对两边取对数得，. 将代入（*）式得，. （2）因为 . 设，. 则，① ，② ①②得，， ①②得，， 令，. ，. 对上面两个式子消元得，，, 设， 则， 令， 则， 所以在区间上单调递减，， 所以在区间上单调递增， 所以， 即的最小值. 21．（15分）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第三章 一元函数的导数及其应用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 6．下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 7．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．设的定义域为，若对任意实数，存在实数，，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 12．已知，则的最大值为 ． 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 14．设函数. ①当时，的单调递增区间为 ； ②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围 . 15．设，函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②存在， 使得只有一个零点； ③存在， 使得有三个不同零点； ④，在上是单调递增函数． 其中所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程. 16．（13分）已知函数在处取得极大值为9. (1)求的值; (2)求函数在区间上的最大值. 17．（13分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 18．（14分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 19．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 20．（15分）对于函数，若存在m，n，使得，则称与 为“互补函数”，且,为“互补数”.已知函数和.若函数与为“互补函数”，且,为“互补数”. (1)是否存在,，满足，若存在，求出,的值，若不存在，请说明理由； (2)若，，求的最小值. 21．（15分）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$