第一章 集合与常用逻辑用语、不等式～第六章 数列（综合训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．若集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 所以. 故选：C. 2．已知复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，得到， 所以，其对应点为，位于第三象限. 故选：C. 3．下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 4．下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对A，当时，则，故A错误； 对B，当时，则，则，故B错误； 对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误； 对D，若，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：D. 5．历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 6．设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为， 又因为函数的值域为R， 所以，解得， 当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为，与题意矛盾， 综上所述，a的取值范围是. 故选：C. 7．已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于AB，取，此时，故AB错误； 对于D，取，此时，故D错误； 对于C，不妨设，则，欲证， 只需证明，即只需证明，即只需证明， 设，只需证明恒成立即可； 设，求导得，令， 解得， 所以的斜率为1的切线方程为， 而的图象是下凸的， 从而恒成立， 因为， 所以， 所以恒成立， 综上所述，恒成立，即恒成立，故C正确. 故选：C. 8．等比数列{}的首项为，公比为q，前n项和为，则“”是“{}是递增数列”的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在等比数列中，取，， 此时，为摆动数列，,故充分性不成立； 若等比数列的公比为，且是递增数列， 则，所以，数列为递增数列时，成立，故必要性成立. 所以，“”是“数列为递增数列”的必要而非充分条件. 故选：B. 9．已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为，则该函数的最小正周期为， 由可得， 所以，函数的对称轴方程为， 因为，则或， 故选：B. 10．已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】如图建立直角坐标系， 则， 设，则，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆， 又，所以，所以， 所以, 所以， 又点P在上，所以， 所以， 所以的最大值为5， 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【答案】 0 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则， 所以，， 故答案为：0； 12．已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ． 【答案】 /1.5 【详解】 ， 所以， 因为，，且的最小值为， 所以，即，解得. 故答案为：； 13．已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】易知为的零点，当时，令，得， 令，可得到，作出的图像， 如下图，依题意，只需与有两个交点即可. 由图可得. 故答案为：    14．已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】取，得， 因为， 所以，使得关于直线对称；故①对； 由， 所以， 若， 当时，令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以 在单调递减， 当时，令，则， 所以 在单调递减， 所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对， 如图    若，则当函数与直线的图象相切时， 设切点横坐标为，此时，则， 得到方程组，化简得，易得， 则此时有两个零点，图象见下图， AI   当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示， 则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示， AI   故④对， 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：对于复杂函数的零点个数问题我们常将其转化成两个函数的交点个数问题，其次就是相切的临界状态将是零点变化得关键位置. 15．已知数列满足，，给出下列四个结论： ①数列的前n项和； ②数列的每一项都满足； ③数列的每一项都满足； ④存在，使得成立． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】，，， ，①错误； ，为单调递减数列， 又因为，， 若，则， 所以当时，，所以，②正确； 由可得，即， 又，两边同时除以，可得： ，，… ，， 累加可得，即有， 当时，，所以，④错误； ，，，满足； 由④可知，且时， ， 可得，则，故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】思路点睛： 数列中出现大小比较时，若通过原数列或者构造新数列不能找到大小关系，常见思路为对数列进行放缩，通过将数列放缩为一个简单的通项公式再进行大小比较. 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程. 16．（13分）在中,. (1)求; (2)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由正弦定理得, 得, , 因为, 所以 则. 所以, 所以. （2）选条件①: 因为, 由正弦定理得, 由余弦定理得, 解得， 则, 解得， 所以存在且唯一确定, 则. 选条件②:, 已知 由正弦定理得, 因为, 所以,, 所以存在且唯一确定, 则. 选条件③:, 由余弦定理得, 即, 所以,即, 因为, 所以不存在使得存在. 17．（13分）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在. (1)求函数的解析式； (2)当，若函数恰有两个零点，求的取值范围. 条件①：； 条件②：的最小值为； 条件③：的图象的相邻两个对称中心之间的距离为. 【答案】(1)选择条件②③， (2) 【详解】（1）若选择条件①， 因为，所以， 由可得对恒成立，与矛盾， 所以选择条件②③. 由题意可得， 其中，， 因为的最小值为，所以，解得， 所以，设，则， 由的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，可得， 所以，解得， 所以. （2）当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 且，则， 令，解得，所以在上单调递减， 且，则， 因为函数恰有两个零点，所以与在上有两个交点， 所以，即实数的取值范围为. 18．（14分）已知数列满足，（）. （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）数列满足：（），求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，；(2). 【详解】(1)因数列满足，， 则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即， 所以数列是等比数列，，； (2)由(1)知， 则 于是得， ， 所以数列的前项和. 19．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 【答案】(1) (2)． (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； （2），， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； （3）①当时，由（2）知，在上单调递减， 令，则，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令， ，； 综上，对任意，都存在，使． 20．（15分）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. (1)直接写出的所有自邻集； (2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； (3)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，的所有自邻集有：； （2）对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以 ，， 或 ， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集. 因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数. （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集. 此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为， 含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以， 故时，得证. 【点睛】思路点睛：第二问取自邻集，和集合，，，，，先由定义判定，且集合也是自邻集，.即可证明结论；第三问记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，有，再分三类①自邻集含有，，这三个元素的自邻集的个数为，②自邻集含有，这两个元素的集合共有个，③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个来证明：即可. 21．（15分）已知数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得； ②对于中任意连续三项，，，均有． (1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由： （i）有穷数列：； （ⅱ）无穷数列：． (2)若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值； (3)若数列满足性质①和性质②，且，，，求的通项公式． 【答案】(1)（i）不满足，理由见详解；（ⅱ）满足，理由见详解 (2)3 (3) 【详解】（1）（i）不满足．令，则不是数列中的项，故有穷数列不满足性质①； （ⅱ）满足．对于任意，有， 由于，令即可，故无穷数列满足性质①． （2）对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为， 故令时，存在一项， 又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即； 再令时，存在一项， 又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即， 又，所以数列所有非零项的绝对值均为1， 又数列的各项均不相等，所以其至多有0，－1，1共3项，所以， 构造数列：0，－1，1， 其任意两项乘积均为0，－1，1之一，满足性质①； 其连续三项满足，满足性质②. 又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时， 综上，的最大值为3． （3）首先证明：当，时，数列满足，且， (*) 因为对于任意数列的连续三项，，，总有， 即或，不论是哪种情形， 均有 当时，，即； 当时，，亦有， 又，故性质(*)得证． 考虑，，三项，有或， 若，则，此时令，有， 由性质(*)知不存在k 使得，且， 故只有，此时， 因为，                         所以令时，， 由性质(*)知，只有或， 当 时，，，此时令，， 但，即， 由性质(*)知不存在k使得， 所以，即，从而， 经验证，数列：满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列， 假设是第一个不满足上述通项公式的项，， 当，时，只能为， 令，则 ，但， 由性质(*)，不存在k使得， 当，时，只能为， 则， 令，则，但， 由性质(*)，不存在k 使得， 故不存在不满足上述通项公式的项， 综上，数列的通项公式为． 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．若集合，，则=（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 6．设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 7．已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．等比数列{}的首项为，公比为q，前n项和为，则“”是“{}是递增数列”的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 10．已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D．6 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 12．已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ． 13．已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 14．已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 15．已知数列满足，，给出下列四个结论： ①数列的前n项和； ②数列的每一项都满足； ③数列的每一项都满足； ④存在，使得成立． 其中，所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程. 16．（13分）在中,. (1)求; (2)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 17．（13分）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在. (1)求函数的解析式； (2)当，若函数恰有两个零点，求的取值范围. 条件①：； 条件②：的最小值为； 条件③：的图象的相邻两个对称中心之间的距离为. 18．（14分）已知数列满足，（）. （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）数列满足：（），求数列的前项和. 19．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 20．（15分）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. (1)直接写出的所有自邻集； (2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； (3)若，求证：. 21．（15分）已知数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得； ②对于中任意连续三项，，，均有． (1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由： （i）有穷数列：； （ⅱ）无穷数列：． (2)若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值； (3)若数列满足性质①和性质②，且，，，求的通项公式． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$