精品解析：2025年湖南省株洲市第十三中学中考一模数学试题

湖南省株洲市芦淞区第十三中学2024-2025学年中考一模 数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数问题，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：如图，正六边形的对称轴有6条． 故选：C． 2. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 3. 一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程除以时间结合函数图象即可求解． 【详解】解：依题意，小船从码头到码头的速度为， 从码头返回码头的速度为， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0＝1，以点M1为直角顶点，OM1为一直角边作等腰直角三角形OM1M2，再以点M2为直角顶点，OM2为直角边作等腰直角三角形OM2M3，……，依此规律，则点M2021的坐标是（ ） A. (，0) B. (，0) C. (，) D. (，) 【答案】C 【解析】 【分析】本题点M坐标变化规律要分别从旋转次数与点M所在象限或坐标轴、点M到原点的距离与旋转次数的对应关系． 【详解】解：由已知，点M每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点M到原点的距离变为转动前的倍， ∵2021=252×8+5， ∴点M2021的在第三象限的角平分线上， OM2020=（）2020=21010， 故选：C． 【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 根据立方根、平方根、算术平方根的定义和性质回答即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、 ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确. 故选D. 6. 甲、乙、丙、丁四名学生5次百米赛跑的平均成绩（单位：秒）及其方差如下表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ） 甲 乙 丙 丁 12 11.5 12 11.5 0.2 1.3 1.5 0.2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知时间越短，成绩越好，根据平均数确定成绩好坏，根据方差越小越稳定分析判断即可． 【详解】解：∵ ∴从平均成绩看，乙、丁成绩好于甲、丙成绩； ∵ ∴丁同学的成绩比丙同学更稳定， ∴应选的同学是丁． 7. 公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，用改变后的花坛的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， ∴这个花坛的面积将增加：， 故选：A． 8. 下列方程的变形，符合等式性质的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. ，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】等式性质1:等式两边同时加或减去一个数,等式仍成立；等式性质2:等式两边同时乘以或除以一个不为0的数,等式仍成立,根据等式性质即可判断. 【详解】A选项,由，根据等式性质2可得，因此A选项错误； B选项,由，根据等式性质1可得，因此B选项错误； C选项，，根据等式的性质2可得,因此C选项错误； D选项，由，根据等式的性质可得，因.此D选项正确; 故选D 【点睛】本题主要考查等式的基本性质,解决本题的关键是要熟练掌握等式的基本性质. 9. 在中，的角平分线交于点，点分为4和5两部分，则的周长为(　　) A. 24 B. 26 C. 28 D. 26或28 【答案】D 【解析】 【分析】如图：由，根据平行四边形的对边相等且平行，可得AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，即可得∠AEB＝∠CBE，又因为BE是∠ABC的平分线，则∠ABE＝∠CBE，∠ABE＝∠AEB，故AB＝AE，∠ABC的平分线分对边AD为5和4两部分，所以AE可能等于5或等于4，然后即可得出答案． 【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵∠ABC的平分线分对边AD为5和4两部分， 如果AE＝4，则四边形周长为26； 如果AE＝5，则AB＝DC＝5，AD＝BC＝9， ∴的周长为28； ∴的周长为26或28． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现．解题时还要注意分类讨论思想的应用． 10. 已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解． 【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误； ②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确； ③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确； ④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确； 综上所述，正确的有②③④⑤共4个． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键. 二、填空题：（本题共8小题，每题3分，共24分．） 11. 如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是_____________．（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率值估计概率，解题的关键在于熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值．根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值求解即可． 【详解】解：∵大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值， ∴抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是， 故答案为：． 12. 已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，8， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为，，，，， ∴满足条件的值的和为， 故答案为：． 13. 已知满足，则的值____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及绝对值非负性、平方非负性及非负数和为零的条件等知识，根据绝对值及平方的非负性，由两个非负数的和为零确定每一个非负数都等于零，可求出的值，然后代入，由有理数的乘方运算计算即可得到答案．熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：，且，， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知是方程的一个实数根，求的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 15. 若实数a，b使与互为相反数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的和为0，和绝对值的非负性进行解题即可． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查相反数的定义，绝对值的非负性，熟练掌握想关知识点是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点N．若点N在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，先求得N点的坐标，即可求得k的值． 【详解】解：把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 17. 如图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 18. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，点到圆上的距离，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接．利用三角形的中位线定理证明，求出的最大值，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值， ∴的最大值为3， 答案为：3． 三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 已知是锐角，且，计算的值． 【答案】3 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值得出，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中． 【详解】解：， ， ， ∴ ． 20. 先化简，后求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握同分母分式减法是关键．利用同分母分式减法计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 22. 如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）如图（1），若点D是的中点，求证：； （2）如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论； （3）如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立．理由见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出，推出，根据等边三角形性质求出，即可得出答案； （2）这仍成立，过D作，交于F，证，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）如图3，过点D作，交的延长线于点P，证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵D为中点， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，过D作，交于F， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：． 证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P， ∵是等边三角形， ∴也是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质． 23. 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． （1）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． （2）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 【答案】（1） （2）①；；②元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，理解题意是解题关键． （1）设平均增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用日收益==总租金−-各类费用，可列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设平均增长率为，则， ，（舍）． ∴平均增长率为； 【小问2详解】 ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车， 故答案为：；； ②， ，（舍）， ∴每辆汽车的日租金上涨70元． 24. 2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 关注人数 42 30 （1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数； （2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？ （3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 【答案】（1），， （2）4000人 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计表和扇形统计图，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体，树状图求概率等知识，正确识图是解题的关键． （1）先算出总人数，再运用总人数乘上，得出的值，再求出的值，然后计算D的占比，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，得出共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人）， ∴（人）， ∴（人）， ∴D所在扇形圆心角的度数为：， 【小问2详解】 解：依题意，（人） 答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人． 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图如下图： 根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果， 其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：． 25. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，的解集为或． 【小问3详解】 解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 26. 【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解； （2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图， 连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接， 根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市芦淞区第十三中学2024-2025学年中考一模 数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 2. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0＝1，以点M1为直角顶点，OM1为一直角边作等腰直角三角形OM1M2，再以点M2为直角顶点，OM2为直角边作等腰直角三角形OM2M3，……，依此规律，则点M2021的坐标是（ ） A. (，0) B. (，0) C. (，) D. (，) 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名学生5次百米赛跑的平均成绩（单位：秒）及其方差如下表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ） 甲 乙 丙 丁 12 11.5 12 11.5 0.2 1.3 1.5 0.2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加（） A. B. C. D. 8. 下列方程的变形，符合等式性质的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. ，得 D. 由，得 9. 在中，的角平分线交于点，点分为4和5两部分，则的周长为(　　) A. 24 B. 26 C. 28 D. 26或28 10. 已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：（本题共8小题，每题3分，共24分．） 11. 如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是_____________．（精确到）． 12. 已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为______． 13. 已知满足，则的值____． 14. 已知是方程的一个实数根，求的值为______． 15. 若实数a，b使与互为相反数，则________． 16. 在平面直角坐标系中，把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点N．若点N在反比例函数的图象上，则______． 17. 如图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，则的度数为_____． 18. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 _____． 三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 已知是锐角，且，计算的值． 20. 先化简，后求值：，其中 21. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 22. 如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）如图（1），若点D是的中点，求证：； （2）如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论； （3）如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 23. 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． （1）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． （2）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 24. 2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 关注人数 42 30 （1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数； （2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？ （3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 25. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 26. 【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $