专题04 对数函数（讲义）- 重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及重庆历年高职分类真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含八个模块共12个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的《模块四 指数函数和对数函数》的第4个专题：对数函数。本专题涵盖对数函数的定义以及图像与性质等式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 重庆市2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 对数函数（讲义） 知识点1 对数函数的定义 一般地，形如的函数，叫作对数函数。 知识点2 对数函数的图像与性质 对数函数在其底数及时的图像和性质如图所示： 底数 图像 定义域 值域 定点 奇偶性 非奇非偶函数 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数正负情况 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 1.（2023年 重庆对口高职考）设函数. （1）求的定义域； （2）当为何值时，取得最大值？并求出其最大值. 【答案】（1）；（2）当时，. 【分析】根据对数函数的定义以及单调性，即可求解. 【详解】（1）要使有意义，则：，用区间表示为：； 故的定义域为； （2）； 令，因此； 由于中，底数，所以当取最大值时，有最大值； 是二次函数，开口方向向下； 因此当时，，即； 故当时，. 2.（2025年 重庆对口高职考）若函数的图像过点. （1）求的值； （2）判断函数的单调性. 【答案】（1）；（2）单调递减. 【分析】根据函数图像上的点与函数解析式的关系、对数函数的性质以及函数单调性的定义，即可求解. 【详解】因为函数的图像过点； 将，代入函数中，可得，即. 由（1）知，所以，则，其定义域为； 设 ，且； 则； 因为且，所以； 又因为对数函数（其中），底数； 根据对数函数的单调性，当 时，，即，所以，也就是； 由函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 综上：（1）；（2）函数在上单调递减. 3.（2024年 重庆模拟）已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）证明函数在区间上单调递增. 【答案】（1）函数 是偶函数；函数在区间上单调递增. 【分析】根据函数奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】（1）对于函数，要使对数有意义； 则，即，可得 或 ； 定义域为，关于原点对称； ； 所以函数是偶函数； （2）设，且； ； 对进行变形，； 因为，所以，，且 ，； 那么 ，即； 因为对数函数在上单调递增； 当 时，，即； 所以，函数在区间 上单调递增. 4.（2024年 重庆模拟）已知函数. （1）求该函数的定义域； （2）当为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）函数的定义域为；（2）当时，函数有最小值，最小值是. 【分析】根据对数函数的定义域、对数函数的单调性、二次函数的最值以及复合函数的性质，即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义，即： ；用区间表示为：； 所以该函数的定义域为 （2）； 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴为； 因为 的取值范围是，所以当 时，； 又因为对数函数，底数，所以在上是减函数； 当取最大值9时，取最小值，即； 综上：（1）函数的定义域是；（2）当时，函数有最小值，最小值为. 5.（2024年 重庆模拟）已知函数. （1）判断在其定义域内的奇偶性； （2）证明在区间上是减函数. 【答案】（1）函数是定义域内的偶函数；（2）见详解. 【分析】根据函数奇偶性的判断以及函数单调性的证明，即可求解. 【详解】（1）对于函数，要使对数有意义，则； 根据余弦函数的性质，可得，该定义域关于原点对称； ； 所以，函数在其定义域内是偶函数. （2）设，且； ； 因为在上单调递减，且； 所以，那么； 又因为对数函数在上单调递增； 当时，，即，所以； 所以函数 在上是减函数. 1. 函数的定义域是（ ） A.  B.   C. D.  【答案】A 【分析】根据对数函数真数大于0，即可求解. 【详解】对数函数（），其定义域为，所以的定义域是. 故选：A. 2. 若对数函数（）的图象过点，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C.  D. 【答案】A 【分析】根据对数式与指数式的转化，即可求解. 【详解】因为对数函数的图象过点，将点代入函数可得，即（），解得. 故选：A. 3. 函数 的图象一定经过点（ ） A. B. C. D.  【答案】B 【分析】根据对数函数过定点，即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象一定经过点. 故选：B. 4．函数的单调递减区间是（ ） A.  B. C.    D.  【答案】B 【分析】根据复合函数单调性判断方法，即可求解. 【详解】令，则原函数变为； 由得，即定义域为 ； 在上单调递减，在上单调递增； 根据复合函数 “同增异减” 原则，原函数的单调递减区间是. 故选：B. 5．若 ，则（ ） A.    B.    C.    D. 无法确定 的大小 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对数函数在 上单调递增，由，可得. 故选：B. 6．函数（）的图象恒过定点（ ） A.  B.    C.  D. 【答案】B 【分析】根据对数函数过定点的本质是令真数为1，即可求解. 【详解】令，即时，无论取何值（），，此时，所以函数图象恒过定点. 故选：B. 7．若 （ ），则 的取值范围是（ ） A. B. C.  D.  【答案】C 【分析】根据对数的性质，对的取值范围进行分类讨论，即可求解. 【详解】当时，对数函数单调递增，，则，所以； 当时，对数函数单调递减，，则; 综上，的取值范围是. 故选：C. 8．设，，，则（ ） A. B. C. D.  【答案】A 【分析】根据中间值（如等）以及对数函数的单调性比较对数的大小，即可求解. 【详解】因为；；； 所以. 故选：A. 9．已知函数，若，则的值为（ ） A.  B. C. 或 D. 1或 【答案】C 【分析】根据对的正负进行分类讨论，即可求解. 【详解】当时，，则； 当时，，则； 所以的值为或. 故选：C. 10. 函数，当时， ______ 【答案】2 【分析】根据对数运算，即可求解. 【详解】将代入，可得 . 11．函数的图象过定点________. 【答案】 【分析】根据令真数为1求定点，即可求解. 【详解】令，即时，，所以图象过定点. 12．若函数（）的图象与函数的图象关于______对称. 【答案】轴 【分析】根据不同底数对数函数图象的对称关系，即可求解. 【详解】设上一点，则； 而，所以函数与的图象关于轴对称. 13．已知函数，求________. 【答案】2 【分析】根据对数运算，即可求解. 【详解】将代入，可得. 14．已知函数（）的图象过点 （1）求的值； （2）求函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】根据对数的定义以及不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）因为函数的图象过点，将点代入函数可得，即，根据对数定义可得； （2）对于函数，要使其有意义，则，解得，所以函数的定义域为. 15．已知函数，求证：函数的定义域为，并判断其奇偶性. 【答案】（1）见详解；（2）当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数. 【分析】根据对数的定义以及函数奇偶性的判断方法，即可求解. 【详解】（1）由，因为平方数非负，所以对任意实数恒成立，故定义域为； （2）若，则，此时，函数为偶函数； 若，则，函数非奇非偶； 综上，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及重庆历年高职分类真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含八个模块共12个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的《模块四 指数函数和对数函数》的第4个专题：对数函数。本专题涵盖对数函数的定义以及图像与性质等式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 重庆市2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 对数函数（讲义） 知识点1 对数函数的定义 一般地，形如的函数，叫作对数函数。 知识点2 对数函数的图像与性质 对数函数在其底数及时的图像和性质如图所示： 底数 图像 定义域 值域 定点 奇偶性 非奇非偶函数 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数正负情况 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 1.（2023年 重庆对口高职考）设函数. （1）求的定义域； （2）当为何值时，取得最大值？并求出其最大值. 2.（2025年 重庆对口高职考）若函数的图像过点. （1）求的值； （2）判断函数的单调性. 3.（2024年 重庆模拟）已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）证明函数在区间上单调递增. 4.（2024年 重庆模拟）已知函数. （1）求该函数的定义域； （2）当为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 5.（2024年 重庆模拟）已知函数. （1）判断在其定义域内的奇偶性； （2）证明在区间上是减函数. 1. 函数的定义域是（ ） A.  B.   C. D.  2. 若对数函数（）的图象过点，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C.  D. 34．函数的单调递减区间是（ ） A.  B. C.    D.  4．函数的单调递减区间是（ ） A.  B. C.    D.  5．若 ，则（ ） A.    B.    C.    D. 无法确定 的大小 6．函数（）的图象恒过定点（ ） A.  B.    C.  D. 7．若 （ ），则 的取值范围是（ ） A. B. C.  D.  8．设，，，则（ ） A. B. C. D.  9．已知函数，若，则的值为（ ） A.  B. C. 或 D. 1或 10. 函数，当时， ______ 11．函数的图象过定点________. 12．若函数（）的图象与函数的图象关于______对称. 13．已知函数，求________. 14．已知函数（）的图象过点 （1）求的值； （2）求函数的定义域. 15．已知函数，求证：函数的定义域为，并判断其奇偶性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$