专题03 函数的性质（讲义）- 重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及重庆历年高职分类真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含八个模块共12个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的《模块三 函数》的第3个专题：函数的性质。本专题涵盖函数的单调性、奇偶性、周期性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 重庆市2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 函数的性质（讲义） 知识点1 函数的单调性 1、单调性 定义：在某个区间内，函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质叫作函数的单调性。 一般地，设函数的定义域为，区间。 （1）如果对任意的，当时，都有成立，那么就称函数在区间上单调递增，如图1所示。特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。 （2）如果对任意的，当时，都有成立，那么就称函数在区间上单调递减，如图2所示。特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。 2、单调区间 如果函数在区间上是单调递增或单调递减，那么称函数在区间上具有（严格）单调性，区间叫作函数的单调区间。 3、判断函数单调性的一般方法 证明（判断）函数在指定区间上的单调性的一般步骤是： （1）设元：设任意的，且，目的是使与在区间内，并规定与的大小关系； （2）作差：求，目的是将与0比较大小； （3）变形：将变形，一般只能提取出因式，变形到可以与0比较大小为止； （4）判号：确定大于0、等于0或小于0； （5）定论：根据（1）和（4）作出结论：两个变量的不等号“同号”则“增”；两个变量的不等号“异号”则“减”。 以上五个步骤可以简记为：设元、作差、变形、判号、定论。 知识点2 函数的奇偶性 1、奇偶性 （1）偶函数 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意，都有，且，那么函数就叫作偶函数，如图3所示。偶函数的图像关于轴对称。 （2）奇函数 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意，都有，且，那么函数就叫作奇函数，如图4所示。奇函数的图像关于原点中心对称，即当奇函数在0处有定义时，。 （3）用定义判断函数奇偶性的步骤 ① 先求定义域，看是否关于原点对称； ② 再判断或是否恒成立； ③ 作出相应结论。 注：奇函数奇函数奇函数； 奇函数偶函数非奇非偶函数； 奇函数奇函数偶函数； 奇函数偶函数奇函数； 偶函数偶函数偶函数. 知识点3 函数的周期性 1、周期现象 每隔一段时间会重复出现的现象称为周期现象。 2、周期性定义 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，当取定义域内的每一个值时，都有，并且满足，则称函数为周期函数，非零常数叫作这个函数的一个周期。 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，就称这个最小的正数为的最小正周期。 1.（2021年 重庆对口高职考）设为偶函数，且在上是单调增加的，下列判断一定正确的是（    ） A．当时，有 B．当时，有 C．当时，有 D． 当时，有 2.（2022年 重庆对口高职考）下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3.（2022年 重庆对口高职考）已知是定义在区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（    ） A．-0.5 B．0.5 C．3.5 D．1 4.（2023年 重庆对口高职考）函数是在上以4为周期的奇函数，在区间上为增函数， 的大小关系表达正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2024年 重庆对口高职考）设函数在区间的最大值与最小值分别为，且为奇函数，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 6.（2024年 重庆对口高职考）设函数， （1）判断的奇偶性； （2）证明为区间内的增函数. 7.（2025年 重庆对口高职考）若函数的图像过点. （1）求的值； （2）判断函数的单调性. 1. 已知函数，则函数是（    ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 2. 已知函数在上是奇函数，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. 设函数是上的偶函数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数是（    ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 5. 函数为减函数，则必有（    ） A． B． C． D． 6. 下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 7. 下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 8. 设函数定义在上的偶函数，且在区间为增函数，已知，则使得的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9. 函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 10. 函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．必为奇函数 B．必为偶函数 C．必为奇函数 D． 必为偶函数 11. 已知函数是上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 12. 若函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-3 C．2 D． -2 13. 已知函数定义在上的增函数，且，求实数的取值范围. 14. 已知函数的定义域为，它的图像关于原点中心对称，且，，求的值. 15. 已知函数. （1）若是偶函数，求的值； （2）若是奇函数，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及重庆历年高职分类真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含八个模块共12个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的《模块三 函数》的第3个专题：函数的性质。本专题涵盖函数的单调性、奇偶性、周期性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 重庆市2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 函数的性质（讲义） 知识点1 函数的单调性 1、单调性 定义：在某个区间内，函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质叫作函数的单调性。 一般地，设函数的定义域为，区间。 （1）如果对任意的，当时，都有成立，那么就称函数在区间上单调递增，如图1所示。特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。 （2）如果对任意的，当时，都有成立，那么就称函数在区间上单调递减，如图2所示。特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。 2、单调区间 如果函数在区间上是单调递增或单调递减，那么称函数在区间上具有（严格）单调性，区间叫作函数的单调区间。 3、判断函数单调性的一般方法 证明（判断）函数在指定区间上的单调性的一般步骤是： （1）设元：设任意的，且，目的是使与在区间内，并规定与的大小关系； （2）作差：求，目的是将与0比较大小； （3）变形：将变形，一般只能提取出因式，变形到可以与0比较大小为止； （4）判号：确定大于0、等于0或小于0； （5）定论：根据（1）和（4）作出结论：两个变量的不等号“同号”则“增”；两个变量的不等号“异号”则“减”。 以上五个步骤可以简记为：设元、作差、变形、判号、定论。 知识点2 函数的奇偶性 1、奇偶性 （1）偶函数 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意，都有，且，那么函数就叫作偶函数，如图3所示。偶函数的图像关于轴对称。 （2）奇函数 定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意，都有，且，那么函数就叫作奇函数，如图4所示。奇函数的图像关于原点中心对称，即当奇函数在0处有定义时，。 （3）用定义判断函数奇偶性的步骤 ① 先求定义域，看是否关于原点对称； ② 再判断或是否恒成立； ③ 作出相应结论。 注：奇函数奇函数奇函数； 奇函数偶函数非奇非偶函数； 奇函数奇函数偶函数； 奇函数偶函数奇函数； 偶函数偶函数偶函数. 知识点3 函数的周期性 1、周期现象 每隔一段时间会重复出现的现象称为周期现象。 2、周期性定义 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，当取定义域内的每一个值时，都有，并且满足，则称函数为周期函数，非零常数叫作这个函数的一个周期。 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，就称这个最小的正数为的最小正周期。 1.（2021年 重庆对口高职考）设为偶函数，且在上是单调增加的，下列判断一定正确的是（    ） A．当时，有 B．当时，有 C．当时，有 D． 当时，有 【答案】D. 【分析】根据单调性以及奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减； 即当时，有，因此D项正确. 故选：D. 2.（2022年 重庆对口高职考）下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D. 【分析】根据各个函数的性质，即可求解. 【详解】对于A选择：的底数是0.5，在内，因此函数在上单调递减； 对于B选择：的底数是，在内，因此函数在上单调递减； 对于C选择：，当且逐渐增大时，在逐渐减小，因此在上单调递减； 对于D选择：的对称轴，且二次项系数大于0，即图像开口向上，因此函数在上单调递增； 因此D项正确. 故选：D. 3.（2022年 重庆对口高职考）已知是定义在区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（    ） A．-0.5 B．0.5 C．3.5 D．1 【答案】B. 【分析】根据函数周期性以及奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为以4为周期，所以； 又因为是偶函数，所以； 因为，所以满足，即； 即，因此B项正确. 故选：B. 4.（2023年 重庆对口高职考）函数是在上以4为周期的奇函数，在区间上为增函数， 的大小关系表达正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A. 【分析】根据函数周期性、奇偶性以及单调性的定义，即可求解. 【详解】因为函数是在上以4为周期，所以，同理 ； 又函数是奇函数，所以，即； 又函数在区间上为增函数，且，所以在上单调递增，即； 因此，因此A项正确. 故选：A. 5.（2024年 重庆对口高职考）设函数在区间的最大值与最小值分别为，且为奇函数，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A. 【分析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】令； 因为是奇函数，所以函数图像关于原点对称，因此的最大值与最小值互为相反数，即； 所以，即，因此A项正确. 故选：A. 6.（2024年 重庆对口高职考）设函数， （1）判断的奇偶性； （2）证明为区间内的增函数. 【答案】（1）奇函数；（2）略. 【分析】根据函数奇偶性以及增函数的定义，即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义，即； 所以函数的定义域为，关于原点对称； ， 所以函数是奇函数. （2）任取，且， ， 因为，即；，所以； 所以即； 因此为区间内的增函数，得证. 7.（2025年 重庆对口高职考）若函数的图像过点. （1）求的值； （2）判断函数的单调性. 【答案】（1）2；（2）单调递减. 【分析】根据函数值以及单调性的定义，即可求解. 【详解】（1）因为函数的图像过点，所以，即； （2）由（1）知，且； 任取，且 , 因为，所以，即； 所以，即； 因此函数是在上是减函数，即函数在上单调递减. 1. 已知函数，则函数是（    ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】A. 【分析】根据函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】由题意可得：的定义域为，关于原点对称； ； 所以是偶函数，因此A项正确. 故选：A. 2. 已知函数在上是奇函数，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A. 【分析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以； 又，所以，因此A项正确. 故选：A. 3. 设函数是上的偶函数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义，即可求解. 【详解】因为是偶函数，所以，即； 又，所以，因此D项正确. 故选：D. 4. 函数是（    ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】B. 【分析】根据函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】由题意可得：的定义域为，关于原点对称； 化简； ； 所以是奇函数，因此B项正确. 故选：B. 5. 函数为减函数，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C. 【分析】根据单调性的定义，即可求解. 【详解】任取，且， 因为函数是减函数，所以，即： ； 又，所以，，因此C项正确. 故选：C. 6. 下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C. 【分析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】对于A选项：定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数； 对于B选项：定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数； 对于C选项：定义域为，关于原点对称，，所以是非奇非偶函数； 对于D选项：定义域为，关于原点对称，，所以是非奇非偶函数； 因此A项正确. 故选：A. 7. 下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A. 【分析】根据偶函数的定义，即可求解. 【详解】由对于A选项：定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数； 对于B选项：定义域为，关于原点对称，，所以是非奇非偶函数； 对于C选项：定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数； 对于D选项：定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数； 因此A项正确. 故选：A. 8. 设函数定义在上的偶函数，且在区间为增函数，已知，则使得的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B. 【分析】根据偶函数的图像关于轴对称，即可求解. 【详解】因为函数定义在上的偶函数，且在区间为增函数，所以在区间为减函数； 又，所以； 所以当时，，用区间表示为，因此B项正确. 故选：B. 9. 函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D. 【分析】根据二次函数的图像以及函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由得，对称轴方程； 又二次项系数，所以图像开口向上，即增区间为： 因此D项正确. 故选：D. 10. 函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．必为奇函数 B．必为偶函数 C．必为奇函数 D． 必为偶函数 【答案】C. 【分析】根据函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】由题意知：，； 对于A、B选项：令，定义域为； 定义域为，关于原点对称；； 因此是非奇非偶函数； 对于C、D选项：令，定义域为； 定义域为，关于原点对称；； 因此是奇函数. 因此C项正确. 故选：C. 11. 已知函数是上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B. 【分析】根据偶函数的定义，即可求解. 【详解】当时，即，此时； 又函数是上的偶函数，所以； 即当时，，因此B项正确. 故选：B. 12. 若函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-3 C．2 D． -2 【答案】D. 【分析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以，即； 所以，即，因此D项正确. 故选：D. 13. 已知函数定义在上的增函数，且，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】根据函数单调性的定义，即可求解. 【详解】因为，所以； 又函数定义在上的增函数，所以； 故的取值范围为. 14. 已知函数的定义域为，它的图像关于原点中心对称，且，，求的值. 【答案】2或3. 【分析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】因为函数的图像关于原点中心对称，即； 所以； 因此，解得； 故的值为2或3. 15. 已知函数. （1）若是偶函数，求的值； （2）若是奇函数，求的值. 【答案】（1）0；（2）-1或3. 【分析】根据奇偶性的定义，即可求解. 【详解】（1）因为函数是偶函数，即； 所以； 解得. （2）因为函数是奇函数，即； 所以，即； 解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$