第四章 一次函数 习题课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第2课时　一次函数的图象与性质 1．关于函数y＝3x＋1，下列结论正确的是( ) A．函数图象过第一、二、三象限 B．函数图象是一条线段 C．y随x增大而减小 D．点(1，3)在函数图象上 2．对于一次函数y＝－2x＋4，图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法正确的是( ) A．图象经过点(4，0) B．图象经过第一、二、四象限 C．将它向下平移2个单位经过原点 D．当x1>x2时，y1>y2 3．[2025·无锡期末]将一次函数y＝2x－4的图象向上平移2个单位长度，平移后图象经过点( ) A．(2，0) B．(1，0) C．(0，－4) D．(0，－6) 4．[2025·合肥期末]已知一次函数y＝－3x＋b的图象经过三个点A(2，y1)，B(1，y2)，C(－1，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1>y2>y3 B．y3>y2>y1 C．y3>y1>y2 D．y2>y3>y1 5．[2024·贵港期末]已知一次函数y＝mnx与y＝mx＋n(m，n为常数，且mn≠0)，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为( ) 7．[2024·邵阳期末]已知直线y＝4x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积为(O为坐标原点)( ) A．8 B．6 C．4 D．2 8．已知一次函数y＝(2－m)x＋2的图象上两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是____． 9．直线y＝ax＋4和直线y＝bx－6相交于x轴上的同一点， 则 的值为____． m>2 10．已知一次函数y＝(m－1)x＋2m＋3. (1)若图象平行于直线y＝2x，求m的值； (2)若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 11．已知一次函数y＝3－2x. (1)求图象与两条坐标轴的交点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)从图象看，y随着x的增大而增大，还是随x的增大而减小？ (3)x取何值时，y>0. 12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x－6与x轴交于点A， 与y轴交于点B. (1)直接写出A，B两点的坐标及AB的长； (2)若P为y轴上一点，将直线AB沿AP翻折，使得点B刚好落在坐 标轴上，直接写出点P的坐标． 解：(1)B(0，－6)，A(8，0)，AB＝10； (2)设B点关于AP的对称点为B′，P(0，t)， 当B′在x轴负半轴时，如图1所示， 当B′在x轴正半轴时，如图2所示， 因为AB＝AB′＝10，A(8，0)， 所以B′(18，0)， 所以B′P2＝182＋t2，PB＝t－(－6)＝t＋6， 因为PB＝PB′， 所以t2＋182＝(t＋6)2， 解得t＝24， 所以P(0，24)； 13．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝－|x|＋2的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当x＝0时，y＝－|x|＋2＝ ； ②当x＞0时，y＝－|x|＋2＝ ； ③当x＜0时，y＝－|x|＋2＝ ； (2)在平面直角坐标系中作出函数y＝－|x|＋2的图象； (3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论； (4)进一步探究函数图象发现， ①函数图象与x轴有 个交点，方程－|x|＋2＝0有 个 解； ②方程－|x|＋2＝2有 个解； ③若关于x的方程－|x|＋2＝a无解，则a的取值范围是 ． 解：(1)①当x＝0时，y＝－|x|＋2＝2； ②当x＞0时，y＝－|x|＋2＝－x＋2； ③当x＜0时，y＝－|x|＋2＝x＋2； 故答案为：2；－x＋2；x＋2； (2)函数y＝－|x|＋2的图象如图所示； (3)由图象，得 ①函数图象关于y轴对称； ②当x＝0时，y有最大值2；(答案不唯一) (4)①2，2； ②1； ③a＞2. 6．[2025·广州一模]在平面直角坐标系中，将函数y＝3x＋1的 图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标 为( ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－6)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－5)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－4)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－3)) eq \f(b,a) －eq \f(3,2) 解：(1)因为一次函数y＝(m－1)x＋2m＋3的图象平行于直线y＝2x， 所以m－1＝2， 解得m＝3； (2)因为一次函数y＝(m－1)x＋2m＋3的图象交y轴于正半轴， 所以2m＋3＞0，且m－1≠0， 所以m>－eq \f(3,2)且m≠1； (3)因为一次函数y＝(m－1)x＋2m＋3的图象不过第三象限， 所以m－1＜0，且2m＋3≥0， 解得－eq \f(3,2)≤m<1. 解：(1)由一次函数的关系式y＝3－2x， 得当y＝0时，x＝eq \f(3,2)； 当x＝0时，y＝3. 所以图象与x轴的交点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，与y轴的交点坐标(0，3)． 函数图象如图； (2)y随着x的增大而减小； (3)当x<eq \f(3,2)时，y>0. eq \f(3,4) 因为AB＝AB′＝10，A(8，0)， 所以B′(－2，0)， 所以B′P2＝(－2)2＋t2＝t2＋4， PB＝t－(－6)＝t＋6， 因为PB＝PB′， 所以t2＋4＝(t＋6)2， 解得t＝－eq \f(8,3)， 所以P(0，－eq \f(8,3))； 当B′在y轴正半轴时，如图3所示， OB＝OB′＝6， 所以P点与O点重合，即P(0，0)， 综上所述，P(0，－eq \f(8,3))或(0，0)或(0，24)． $$4　一次函数的应用 第1课时　一次函数的应用(1) 3．一次函数y＝kx＋b(k≠0，b为常数)的部分对应值如表所示： 则该一次函数的表达式为( ) A．y＝x＋1 B．y＝2x＋1 C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1 x 0 1 2 y 1 2a 2a＋3 6．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．某弹簧不挂物体时长为15 cm；当所挂物体质量为3 kg时，弹簧长为16.8 cm，则弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为( ) A．y＝－0.6x＋15 B．y＝0.6x－15 C．y＝－0.6x－15 D．y＝0.6x＋15 7．直线y＝kx＋b与直线y＝－x平行，与直线y＝x＋10相交于 点(0,10)，则直线y＝kx＋b的关系式为___________． 8．[2025·烟台期末]已知y是x的一次函数，下表是其中部分 对应数据： 则表中a的值为__． y＝－x＋10 7 5 10．[2025·西安期末改编]直线y＝kx＋4与y轴，直线y＝－2围 成的三角形的面积为12，则k＝____． 11．一辆轿车离某城市的距离y(km)与行驶时间t(h)之间的关系 式为y＝kt＋30，其图象如图所示．在1 h到3 h之间，轿车行驶 的路程是____km. 120 12．已知某直线经过点A(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面 2积为2，则该直线的一次函数关系式是___________________． y＝x＋2或y＝－x＋2 13．摄氏温度(℃)和华氏温度(℉)是两种不同的温度计量方法， 二者之间的对应关系如表所示： (1)观察表格发现，y与x之间有一次函数关系，求该函数的关系式； (2)求华氏5 ℉时所对应的摄氏温度； (3)华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果 有，请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由． 摄氏温度x(℃) 0 10 20 30 40 50 华氏温度y(℉) 32 50 68 86 104 122 14．[2024·成都期末]上游A地与下游B地相距80 km，一艘游船计划先从A地出发顺水航行到达B地，然后立即返回A地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．如图是这艘游船离A地的距离y(km)与航行时间x(h)之间的关系图象． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若一艘货船在A地下游24 km处，货船与A地 的游船同时前往B地，已知货船的静水速度为 6 km/h，求游船在前往B地的航行途中与货船相遇的时间． 解：(1)因为上游A地与下游B地相距80 km， 所以当x＝4时，y＝80. ①当0≤x<4时，设y＝k1x， 因为当x＝4时，y＝80， 所以4k1＝80， 解得k1＝20， 所以y＝20x； (2)设游船在静水中的速度为a km/h，水流速度为v km/h， 根据题意，得a＋v＝20，a－v＝16， 解得a＝18，v＝2， 所以游船在静水中的速度为18 km/h，水流速度为2 km/h. 设经过t h，货船与游船相遇，此时0≤t≤4， 由题意，得20t＝24＋8t， 解得t＝2. 所以游船在前往B地的航行途中与货船相遇的时间为2 h. (1)点D坐标为 ；点C到直线AB的距离为 ； (2)若直线l⊥AB于点E，交x轴与点C，求l的关系式． 1．[2025·保定期末]已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为( ) A．y＝3x B．y＝－3x C．y＝eq \f(x,3) D．y＝－eq \f(x,3) 2．[2025·阿克苏一模]已知直线y＝kx－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠0))经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))，则k的值为( ) A．6 B．3 C．－3 D．－6 4．[2024·东莞期中]将直线y＝kx－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠0))向右平移1个单位后，正好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4))，则k的值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 5．[2025·合肥期末]已知一次函数y＝kx－2的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是( ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－4)) x … eq \a\vs4\al\co1(－1) eq \a\vs4\al\co1(0) eq \a\vs4\al\co1(1) eq \a\vs4\al\co1(2) … y … eq \a\vs4\al\co1(－2) eq \a\vs4\al\co1(1) eq \a\vs4\al\co1(4) a … 9．[2025·沧州一模]如图，已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1))，一次函数 y＝－x＋b图象经过线段AB的中点，则b的值为 ． ±eq \f(3,2) 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k，b为常数， 且k≠0)． 将x＝0，y＝32和x＝10，y＝50代入y＝kx＋b， 得b＝32，10k＋b＝50， 解得k＝eq \f(9,5)，b＝32， 所以y与x之间的函数关系式为y＝eq \f(9,5)x＋32； (2)当y＝5时，即5＝eq \f(9,5)x＋32， 解得x＝－15， 所以华氏5 ℉时所对应的摄氏温度为－15 ℃； (3)可能． 当y＝x时，x＝eq \f(9,5)x＋32， 解得x＝－40， 所以此时的摄氏温度为－40 ℃. ②当4≤x≤9时，设y＝k2x＋b， 将(4，80)，(9，0)代入y＝k2x＋b，得 4k2＋b＝80，9k2＋b＝0， 解得k2＝－16，b＝144， 所以y＝－16x＋144； 综上所述，y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x（0≤x<4），,－16x＋144（4≤x≤9）；)) 15.[跨学科][2025·威海期末]规定：①若两条直线y1＝k1x＋b1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k1≠0))，y2＝k2x＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2≠0))平行，则k1＝k2，b1≠b2； ②若两条直线y1＝k1x＋b1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k1≠0))，y2＝k2x＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2≠0))垂直，则k1k2 ＝－1； ③点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))到直线y＝kx＋b(k≠0)的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(kx1＋b－y1)),\r(1＋k2)). 如图所示，已知直线AB：y＝2x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，CD∥AB分别交x轴、y轴于点C，D，且点C坐标为(3，0)． 解：(1)(0，－6)，2eq \r(5)； (2)因为直线l⊥AB于点E，直线AB：y＝2x＋4， 所以可设直线l为y＝－eq \f(1,2)x＋n， 把点C坐标(3，0)代入，得0＝－eq \f(3,2)＋n， 所以n＝eq \f(3,2)， 所以l的关系式为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2). $$第四章　章末能力突破 一、选择题 1．直线y＝3x＋b经过点(m，n)，且n－3m＝8，则b的值是( ) A．－4 B．4 C．－8 D．8 2．[2023·蒲城县期末]有一个装有水的容器，如图所示，注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，则容器注满水之前，将容器内的水面高度y(cm)与时间x(s)记录如表，则★的值是( ) A．16 B．17 C．18 D．19 x/s 5 10 25 30 y/cm 11 12 15 ★ 4．[2023·平顶山期末]若kb＞0，则正比例函数y＝kx与一次函数y＝bx＋k在同一坐标系中的图象可能是( ) 二、填空题 7．如图，已知直线y＝3x＋b与y＝ax－2的交点的横坐标为－2， 则关于x的方程3x＋b＝ax－2的解为x＝____． －2 8．[2025·毕节期末]如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点 A(1，5)，则关于a的一元一次方程ka＋b＝5的解为_____． a＝1 9．[2023·泗洪县二模]若直线y＝kx＋2与两坐标轴围成的三角 形的面积是6个平方单位，则k＝____． 不变 三、解答题 12．为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品——水晶梨和鹰嘴桃——发展成品牌农业，形成“专业合作＋基地＋农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4 300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1 200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数表达式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 解：(1)设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为(x－1)元， 由题意，得500(x－1)＋300x＝4 300， 解得x＝6， 则6－1＝5(元)， 所以水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元和6元； (2)因为若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元， 所以购买水晶梨的数量为(1 200－n)斤， 由题意，得w＝(8－5)×(1 200－n)＋(10－6)n＝n＋3 600， 则w随着n的增大而增大， 因为经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤， 所以n≤600， 所以w关于n的函数表达式为w＝n＋3 600(n≤600)， 则当n＝600时，w有最大值，此时w＝600＋3 600＝4 200， 所以购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，最大利润为 4 200元． 14．[2023·秦淮区期末]甲、乙两家快递公司都要将货物从A地派送至B地．甲公司运输车要先在A地的集货中心拣货，然后直接发往B地．乙公司运输车从A地出发后，先到达位于A，B两地之间的C地休息，再以原速驶往B地．两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达B地． (1)A地与B地之间的距离为 km； (2)求线段MN对应的函数关系式； (3)已知C地距离A地160 km，当t为何值时，甲、乙两公司运输车相距80 km? 解：(1)360； (2)设线段MN对应的函数关系式为s＝kt＋b(k，b为常数，且k≠0)，将(2，360)，(8，0)代入s＝kt＋b，得 360＝2k＋b，0＝8k＋b， 所以k＝－60，b＝480， 所以线段MN对应的函数关系式为s＝－60t＋480(2≤t≤8)； 3．李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC的长为x米，AB的长为y米，则y与x之间的函数表达式是( ) A．y＝－2x＋24(0＜x＜12) B．y＝－eq \f(1,2)x＋12(0＜x＜24) C．y＝2x－24(0＜x＜12) D．y＝eq \f(1,2)x－12(0＜x＜24) 5．[2023·渭滨区期末]如图，点B在直线y＝2x上，过点B作BA⊥x轴于点A，作BC∥x轴与直线y＝kx(k≠0)交于点C，若AB∶BC＝1∶2，则k的值是( ) A.eq \f(2,7) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,5) 6．已知点A的坐标为(eq \r(2)，0 )，点B在直线y＝－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( ) A．(0，0) B．(eq \f(\r(2),2)，－eq \f(\r(2),2)) C．(1，－1) D．(－eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)) ±eq \f(1,3) 10．[2025·西安期末]如图，直线y＝－eq \f(1,2)x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，C为线段OB的中点，D(a，1)为线段AB上的一点，P为线 段OA上的一动点，PC＋PD的最小值为 ． 2eq \r(2) 11．如图，点A，B的坐标分别为(4，0)，(0，2)，点P是第一象限内直线y＝－eq \f(1,2)x＋4上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积 (填“变大”“变小”或“不变”)． 13．[2025·银川期末]如图，直线y＝－eq \f(3,4)x＋3与y轴、x轴交于点A，B，点C在直线AB上，点C的横坐标为m. (1)求点A，B的坐标； (2)当m＝1时，求△BOC的面积； (3)当S△BOC＝eq \f(1,2)S△AOB时，求m的值． 解：(1)当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，－eq \f(3,4)x＋3＝0， 解得x＝4， 所以A(0，3)，B(4，0)； (2)当m＝1时， y＝－eq \f(3,4)＋3＝eq \f(9,4)， 所以S△BOC＝eq \f(1,2)×eq \f(9,4)×4＝eq \f(9,2)； (3)由题意得S△AOB＝eq \f(1,2)×3×4＝6， S△BOC＝eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)m＋3))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)m＋3))， 因为S△BOC＝eq \f(1,2)S△AOB， 所以2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)m＋3))＝3， 解得m＝2或m＝6，故m的值为2或6. (3)由(2)，得甲公司运输车s关于t的函数关系式为 s＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(360（0≤t<2），,－60t＋480（2≤t≤8）.)) 因为C地距离A地160 km， 所以C地距离B地为360－160＝200(km)． 乙公司运输车的速度为eq \f(160,2)＝80(km/h)． 所以乙公司运输车从C地驶往B地用时eq \f(200,80)＝eq \f(5,2)(h)， 所以当t＝8－eq \f(5,2)＝eq \f(11,2)时，乙公司运输车从C地出发驶往B地． 设当0≤t＜2时，乙公司运输车s关于t的函数关系式为s＝－80t＋360， 同理(2)得当eq \f(11,2)≤t≤8时，乙公司运输车s关于t的函数关系式为s＝－80t＋640； 综上所述，当0≤t≤8时，乙公司运输车s关于t的函数关系式为 s＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－80t＋360，0≤t<2，,200，2≤t<\f(11,2) ，,－80t＋640，\f(11,2)≤t≤8；)) ①当0≤t＜2时，|－80t＋360－360|＝80， 解得t＝1(负值已舍去)； ②当2≤t＜eq \f(11,2)时，|－60t＋480－200|＝80， 解得t＝eq \f(10,3)或t＝6(不符合题意，舍去)； ③当eq \f(11,2)≤t≤8时，|－60t＋480－(－80t＋640)|＝80， 解得t＝12(不符合题意，舍去)或t＝4(不符合题意，舍去)； 综上所述，当t＝1或eq \f(10,3)时，甲、乙两公司运输车相距80 km. $$第四章 一次函数 1　函数 1．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝±x C．|y|＝x＋1 D．y2＝x 2．下列图形中不表示y是x的函数的是( ) 3．李强一家自驾到离家500 km的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．如表所示是记录了轿车行驶的路程x(km)与油箱剩余油量y(L)之间的部分数据： 轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是( ) A．该车的油箱容量为50 L B．该车每行驶100 km耗油8 L C．油箱剩余油量y(L)与行驶的路程x(km)之间的关系式为y＝50－8x D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余10 L油 4．小明从A地到B地(两地相距40千米)的骑车速度为10千米/小时，则小明离B地的距离y(千米)与骑车时间x(小时)之间的关系式(不写自变量的取值范围)为( ) A．y＝10x B．y＝10x－40 C．y＝40－10x D．y＝40－x 5．小明和妈妈3月19日自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是( ) 6．在地球某地，地表以下岩层的温度y(℃)与所处深度x(km)之 间的关系可以近似地用关系式y＝35x＋20来表示．当x的值为1时， 相应的y值是___；当x的值为6时，相应的y值是____． 55 230 7．如图，△ABC的高AD＝4，BC＝6，点E在BC上运动．若设BE 的长为x，△ACE的面积为y，则y与x的关系式为____________ __________． y＝－2x＋12 (0≤x≤6) 8．小颖准备乘出租车到距家超过3 km的某图书馆看书，出租车 的收费标准如表所示： 则小颖应付车费y(元)与行驶里程数x(x＞3)之间的关系式为 _____________． 里程数/ km 收费/元 3 km以内(含3 km) 7.00 3 km以外每增加1 km 1.50 y＝1.5x＋2.5 9．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中 的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后， 又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时 间为t(小时)，航行的路程为s(千米)， s与t之间的图象如图所示． (1)图中自变量是__，因变量是__；(用字 母表示) (2)甲、乙两地相距___千米，轮船在乙地停留了__小时． t s 60 6 10．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂 吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时 间之间的对应关系如图所示． 根据图象回答下列问题． (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ (3)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 解：(1)食堂离小明家0.6 km，小明从家到食堂用了8 min； (2)小明吃早餐用的时间为25－8＝17(min)，在图书馆停留的时间为58－28＝30(min)； (3)图书馆离小明家0.8 km，小明从图书馆回家的平均速度是0.8÷(68－58)＝0.08(km/min)． 11．有一种节能型轿车的储气箱最多可装天然气50 L，加满天然气后，储气箱中的剩余天然气量y(L)与轿车行驶路程x(km)之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题． (1)一箱天然气可供轿车行驶多少千米？ (2)求y与x之间的关系式； (3)轿车行驶200 km时，消耗天然气多少升？ 12．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s(千米)，客车出发的时间为t(小时)，它们之间的关系如图所示． 信息读取： (1)货车出发1小时走的路程为 千米； (2)客车到达终点所用的时间为 小时； 解决问题： (3)客车离开起点多少小时后，客车追上货车？ (4)客车到达终点时，两车相距多少千米？ (5)若将两车距离不超过40千米叫作“比较靠近”则两车“比较靠近”的时间持续多久？ 解：(1)60；(2)6； (3)货车的速度为60÷1＝60(千米/小时)，客车的速度为600÷6＝100(千米/小时)， 所以客车追上货车用了60÷(100－60)＝1.5(小时)． 答：客车离开起点1.5小时后，客车追上货车； (4)当客车到达终点时， 货车行驶的路程为60×(6＋1)＝420(千米)， 两车相距600－420＝180(千米)． 答：客车到达终点时，两车相距180千米； 13.[新定义][2025·威海期末]规定：对于y关于x的函数，当a<x1<x2<b，若y1<y2，则称当a<x<b时，y是x的增函数；反之，若y1>y2，则称当a<x<b时，y是x的减函数． 例如：证明y关于x的函数y＝－3x＋10在－2 025<x<2 025范围内为减函数． 证明：令－2 025<x1<x2<2 025， 则y2－y1＝－3x2＋10－(－3x1＋10)＝－3x2＋10＋3x1－10 ＝－3x2＋3x1＝－3(x2－x1)， 因为－2 025<x1<x2<2 025， 所以x2－x1>0， 所以－3(x2－x1)<0. 所以y2－y1<0，即y1>y2. 所以y＝－3x＋10在－2 025<x<2 025范围内为减函数． (2)函数y＝2x2－4x－1在2<x<2 025范围内是增函数，理由如下： 令2<x1<x2<2 025， 则y2－y1＝2x22－4x2－1－(2x12－4x1－1) ＝2x22－4x2－1－2x12＋4x1＋1 ＝2(x22－x12)－4(x2－x1) ＝2(x2＋x1)(x2－x1)－4(x2－x1) ＝2(x2－x1)(x2＋x1－2)， 因为2<x1<x2<2 025， 所以x2－x1>0，x2＋x1－2>0， 所以2(x2－x1)(x2＋x1－2)>0， 所以y2－y1>0，即y1<y2， 所以函数y＝2x2－4x－1在2<x<2 025范围内是增函数． 解：(1)一箱天然气可供轿车行驶1 000 km； (2)由图象，得该轿车50 L天然气可行驶1 000 km，所以1 L天然气可行驶1 000÷50＝20(km)， 所以y＝50－eq \f(x,20)， 所以y＝－eq \f(1,20)x＋50(0≤x≤1 000)； (3)令x＝200，y＝－eq \f(1,20)×200＋50＝40， 50－40＝10(L)，即消耗天然气10 L. (5)①当客车还未出发时，货车行驶了40千米时，此时eq \f(40,60)＝eq \f(2,3) (小时)； ②当客车还未到达终点，且两车相距40千米时， 当客车在货车后面40千米时，客车出发的时间为(60－40)÷ (100－60)＝eq \f(1,2)(小时)； 当客车在货车前面40千米时，客车出发的时间为(60＋40)÷ (100－60)＝eq \f(5,2)(小时)； ③当客车到达终点，货车从距终点40千米到终点用了40÷60 ＝eq \f(2,3)(小时)． eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(1,2)))＋eq \f(2,3)＝eq \f(10,3)(小时)， eq \f(10,3)小时＝3小时20分钟． 答：两车“比较靠近”的时间持续了3小时20分钟． 请完成下面问题： (1)当6<x<100时，y＝eq \f(2,x－2)为 (填“增”“减”或“不确定”)函数；(提示：eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b,ab)－eq \f(a,ab)＝eq \f(b－a,ab)) (2)判断y关于x的函数y＝2x2－4x－1在2<x<2 025范围是增函数还是减函数，并说明理由．[提示：a2－b2＝(a＋b)(a－b)] 解：(1)令6<x1<x2<100， 则y2－y1＝eq \f(2,x2－2)－eq \f(2,x1－2) ＝eq \f(2（x1－2）,（x1－2）（x2－2）)－eq \f(2（x2－2）,（x1－2）（x2－2）) ＝eq \f(2x1－4－2x2＋4,（x1－2）（x2－2）) ＝eq \f(2（x1－x2）,（x1－2）（x2－2）)， 因为6<x1<x2<100， 所以x1－x2<0，x1－2>0，x2－2>0， 所以eq \f(2（x1－x2）,（x1－2）（x2－2）)<0， 所以y2－y1<0，即y1>y2， 所以当6<x<100时，y＝eq \f(2,x－2)为减函数， 故答案为：减； $$2　认识一次函数 第1课时　一次函数 1．下列函数：①y＝－3x　②y＝－3x＋3　③y＝－3x2　 ④y＝ .其中一次函数的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．[2025·包头期末]若y关于x的函数y＝(a－2)x＋b是正比例函数，则a，b应满足的条件是( ) A．a≠2 B．b＝0 C．a≠2或b＝0 D．a≠2且b＝0 3．下列变量之间的关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是( ) A．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 B．正方形的面积S随着边长x的变化而变化 C．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化 D．水箱以0.5 L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V L随着放水时间t min的变化而变化 4．[2025·宁德期末]4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y(元)与学生人数x(人)之间的函数关系式是( ) A．y＝10x＋15 B．y＝10x＋40 C．y＝15x＋40 D．y＝10x＋60 5．若函数y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，则a＝__． 3 6．如图，将一个圆柱形平底玻璃杯放置于水平桌面上，杯中有 一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高 度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中，从投放第一枚棋子 开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的是_____ _____关系．(填“正比例函数”或“一次函数”) 一次 函数 7．[2025·咸阳一模]中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结 构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连 接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1， 若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的 关系式可以表示为_________． y＝5x＋1 9．[2023·兰州期中]写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； (2)刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； (3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 10．[2025·宁德期末]某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按0.15元/min计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按0.2元/min计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系； (2)若每月平均通话时间为300 min，你选择哪种套餐？并说明理由． 解：(1)由题意，得A套餐：y＝18＋0.15x， B套餐：y＝0.2x， 所以A，B两种套餐收费标准的每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系分别为y＝18＋0.15x，y＝0.2x； (2)选B套餐．理由：当x＝300时， A套餐花费y＝0.15×300＋18＝63(元)， B套餐花费y＝0.2×300＝60(元)， 因为60<63， 所以选B套餐更优惠． 11．[2023·雁塔区期中]杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，它制作轻巧、经典，使用便利，作为商品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4 cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1 kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8 cm. (1)当秤杆处于水平位置时，写出秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与秤钩所挂重物x(kg)之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)当秤钩所挂重物x为3 kg时，求秤砣到秤纽的水平距离y； (3)当秤砣到秤纽的水平距离y为20 cm时，求秤钩所挂重物x. 解：(1)当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4 cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1 kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8 cm， 所以y与x之间的函数关系式为 y＝8x＋4， y是x的一次函数； (2)当秤钩所挂重物x为3 kg时， 将x＝3代入，得y＝8×3＋4＝28， 所以当秤钩所挂重物x为3 kg时，秤砣到秤纽的水平距离为28 cm； (3)当秤砣到秤纽的水平距离y为20 cm 时，将y＝20代入，得 20＝8x＋4， 解得x＝2， 所以当秤砣到秤纽的水平距离y为20 cm 时，秤钩所挂重物为2 kg. －eq \f(3,x) 8．[2024·茂名期中]当m，n为何值时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－3))x|m|－2＋n－2. (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 解：(1)当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))－2＝1，m－3≠0时， y＝(m－3)x|m|－2＋n－2是一次函数， 所以m＝－3. 所以当m＝－3时， y＝(m－3)x|m|－2＋n－2是一次函数； (2)当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))－2＝1，m－3≠0，n－2＝0时， y＝(m－3)x|m|－2＋n－2是正比例函数， 所以m＝－3，n＝2， 所以m＝－3，n＝2时，y＝(m－3)x|m|－2＋n－2是正比例函数． 解：(1)y＝eq \f(3,x)，不是一次函数，也不是正比例函数； (2)y＝3.6x，y是x的一次函数，也是正比例函数； (3)y＝400－36x，y是x的一次函数，不是正比例函数； (4)y＝10 000＋500x，y是x的一次函数，不是正比例函数． 12.[新定义]定义：对于给定的两个函数，当x≥0时，它们对应函数值相等；当x<0时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数y＝－x＋2，它的相关函数为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥0))，,x－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x<0)).)) (1)已知点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，m))在一次函数y＝－x＋2的相关函数的图象上，则m的值为 ； (2)已知一次函数y＝2x－1. ①这个函数的相关函数为 ； ②若点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，3))在这个函数的相关函数的图象上，求n的值． 解：(1)－3； (2)①y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－1（x≥0），,－2x＋1（x<0）；))) ②n＝－1或2. $$第3课时　一次函数的应用(3) 1．[2025·重庆期末]在一场赛车比赛中，有两辆赛车甲和乙同时出发，赛车行驶过程中，随着时间推移，赛车的能量值会不断消耗．如图，线段AC表示甲车，线段AB表示乙车，在这段时间内，甲、乙两车的能量值y(单位)与行驶时间x(分钟)之间都近似满足一次函数关系，其函数图象 如图所示．根据图象信息，下列说法 错误的是( ) 2．[2024·贵州模拟]2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能＋”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图1是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是( ) A．客人距离厨房门口450 cm B．慧慧比聪聪晚出发15 s C．聪聪的速度为10 cm/s D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140 cm 3．[2023·崂山区期末]甲车从A城出发匀速行驶至B城，乙车从B城出发匀速行驶至A城，在整个行驶过程中，甲、乙两车距离A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t (h)之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是( ) A．A，B两城相距360 km B．乙车比甲车晚出发1小时 C．甲、乙两车相遇时甲车行驶了2.5小时 D．当甲、乙两车相距96千米时，t＝2 4．已知A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出 发到B地(先到达B地者在终点等待)，甲骑摩托车，乙骑自行车． 图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s(km)与时间t(h)的 函数关系的图象，则当两人之间的路程超过20 km时，时间t的 取值范围是______． 5．公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从 A村、B村同时出发匀速前往C村(到了C村不继续往前骑行，也不 返回)，如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s(km) 和骑行时间t(h)之间的函数关系，下列结论： ①A，B两村相距12 km ②小明每小时比小红多骑行8 km ③两人相距4 km时t＝1 h或2 h ④图中a＝1.65.其中正确的是_______．(填序号) ①②③ 6．[2025·银川期末]某经销商销售一种燃气加热器．如图，射线OA反映了该加热器的销售收入y1(元)与销售量x(台)的关系；射线BC反映了该加热器的销售成本y2(元)与销售量x(台)之间的关系，其中x≥0，根据图象解答下列问题： (1)射线OA对应的函数关系式为 ；射线BC对应的函数关系式为 ； (2)图象中射线OA与射线BC的交点P的坐标为 ，点P坐标表示的实际意义是 ； (3)若该经销商10月份销售此加热器35台，则10月份获利多少元？ 解：(1)y1＝600x，y2＝400x＋2 000； (2)点P处说明y1＝y2，即600x＝400x＋2 000， 解得x＝10，当x＝10，时y1＝y2＝6 000， 所以图象中射线OA与射线BC的交点P的坐标为(10，6 000)， 此时点P坐标表示的实际意义是当销售量为10台时，销售成本与销售收入相等，为6 000； 故答案为：(10，6 000)；当销售量为10台时，销售成本与销售收入相等，为6 000； (3)设销售利润为w，根据题意，得w＝y1－y2 ＝600x－(400x＋2 000)＝200x－2 000， 当x＝35时，w＝200×35－2 000＝5 000， 该经销商10月份销售此加热器35台，则10月份获利5 000元． 7．[2025·保定期末]甲车从A地出发匀速向B 地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶， 甲车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距A地的 路程y(千米)与行驶时间x(小时)的关系如图所示． (1)甲车速度为 km/h，乙车速度为 km/h； (2)分别求出行驶过程中，甲、乙两车的y与x的函数关系式； (3)在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？ 解：(1)100，60； (2)设甲车y与x的关系式为y＝k1x(k≠0)， 将(4.8，480)代入得4.8k1＝480，解得k1＝100， 所以y＝100x； 设乙车y与x的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，则 8k＋b＝0，b＝480，解得k＝－60，b＝480， 所以y与x的函数关系式为y＝－60x＋480； (3)当两车相距80千米时，则 (100＋60)x＋80＝480或(100＋60)x－80＝480， 解得x＝2.5或x＝3.5. 答：在行驶过程中，两车出发2.5小时或3.5小时时，两车相距80千米． 8．[2023·江都区期末]为了“还城市一片蓝天”，市政府倡导“低碳出行”，决定大力发展公共交通，鼓励市民乘公交车或地铁出行．设每天公交车和地铁的运营收入为y(百万元)，客流量为x(百万人)，以(x，y)为坐标的点都在图中对应的射线l1或l2上．其中，运营收入＝票价收入－运营成本．交通部门经过调研，采取了如表所示的调整方案． 调整前 调整后 公交车票价 1元/人 0.8元/人 地铁票价 3元/人 2元/人 引进新技术，日运营成本均降低2百万元 (1)在图中，代表地铁运营情况的(x，y)对应的点在射线 上， 地铁的日运营成本是 百万元，当客流量x＝ 百万人 时，地铁的运营收入为6百万元； (2)求调整后公交车每天的运营收入和客流量之间的函数关系， 不要求写自变量的取值范围． 解：(1)l1；6；4； (2)因为运营收入＝票价收入－运营成本，引进新技术，日运营 成本均降低2百万元， 所以调整后公交车日运营成本为6百万元， 所以图象过(0，－6)， 运营收入为0时的人数为6÷0.8＝7.5(百万人)， 所以图象过(7.5，0)， 设调整后公交车每天的运营收入和客流量之间的函数关系是 y＝kx＋b， 则b＝－6，7.5k＋b＝0， 解得b＝－6，k＝0.8， 所以y＝0.8x－6. 9．小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图1，包的跨带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使跨带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短．单层部分的长度x(cm)与双层部分的长度y(cm)满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的 长度x/cm … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的 长度y/cm … 40 35 30 25 20 15 … (1)请在图2的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连 接起来，画出函数图象，根据图象猜想y与x是否满足一次函数的 关系？如果是，请求出y关于x的函数关系式，并验证你的猜想； (2)当跨带的长度为110 cm时，此时双层部分的长度为 cm； (3)若小林的身高最合适的跨带长度为126 cm，请求怎样调节跨 带最合适． A．甲、乙两车的初始能量值均为90单位 B．甲车能量消耗更慢 C．乙车的能量值y与x的函数关系式为y＝－eq \f(1,10)x＋90 D．当甲车的能量值是60单位时，乙车的能量值是75单位 eq \f(3,4)<t<eq \f(6,5) 解：(1)如图， 因为图象是一条直线， 所以y是x的一次函数． 设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)．将坐标(60，40)，(70，35)代入y＝kx＋b， 解得b＝70，k＝－eq \f(1,2)，所以y＝－eq \f(1,2)x＋70. 验证：当x＝80时，y＝－eq \f(1,2)×80＋70＝30， 所以y关于x的函数关系式为y＝－eq \f(1,2)x＋70. (2)当跨带的长度为110 cm时，单层部分的长度为x＝(110－y) cm. 将x＝110－y代入y＝－eq \f(1,2)x＋70，得y＝－eq \f(1,2)(110－y)＋70， 解得y＝30. 此时双层部分的长度为30 cm. 故答案为：30； (3)当斜跨包跨带全为双层时x＝0，则y＝70，此时跨带长度为 0＋70＝70(cm)； 当斜跨包跨带全为单层时y＝0，得－eq \f(1,2)x＋70＝0，解得x＝140， 此时跨带长度为0＋140＝140(cm)； 所以跨带长度在70 cm～140 cm之间， 因为小林的身高最合适的跨带长度为126 cm， 所以跨带长度满足小林的身高要求． 设调节跨带长度使单层部分的长度为a cm，则双层部分的长度为(126－a)cm，－eq \f(1,2)a＋70＝126－a，解得a＝112， 所以调节跨带长度使单层部分的长度为112 cm. $$专题训练四　一次函数与方案设计问题 1．[2023·荆门期末]为了落实“乡村振兴”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送水泥建设美丽乡村，已知A，B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C，D两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240吨，D乡需要水泥260吨． (1)设从A城运往C乡的水泥x吨，总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费； (2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元，这时A城运往C乡的水泥多少吨时总运费最少？ 解：(1)设从A城运往C乡水泥x吨，则运往D乡(200－x)吨， 从B城运往C乡水泥(240－x)吨，则运往D乡(60＋x)吨， 设总运费为y元，根据题意， 得y＝20x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24(60＋x)＝4x＋10 040 (0≤x≤200)， 因为k＝4>0，所以y随x的增大而增大， 所以当x＝0时，总运费最少，且最少的总运费为10 040元． 答：y与x的函数关系式为y＝4x＋10 040(0≤x≤200)，最少总运费 为10 040元； (2)设减少运费后，总运费为w元， 则w＝(20－a)x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24(60＋x)＝ (4－a)x＋10 040(0≤x≤200)， 因为0<a<7， 所以分以下三种情况进行讨论： ①当0<a<4时，4－a>0， 此时w随x的增大而增大， 所以当x＝0时，w最小＝10 040； ②当a＝4时，w＝10 040， 所以不管怎样调运，费用一样多，均为10 040元； ③当4<a<7时，4－a<0， 此时w随x的增大而减小， 所以当x＝200时，w最小＝10 840－200a； 综上所述，当0<a<4时，A城运往C乡0吨，总运费最少； 当a＝4时，无论从A城运往C乡多少吨水泥(不超过200吨)，总运费都是10 040元； 当4<a<7时，A城运往C乡200吨，总运费最少． 2．哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性满载运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表： 绥化(元/辆) 鹤岗(元/辆) 大货车 620 700 小货车 400 550 (1)两种货车各有多少辆？ (2)若安排9辆货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中哪种方案运费最省钱？ 解：(1)设大货车有x辆，则小货车有(20－x)辆，根据题意得16x＋10(20－x)＝248， 解得x＝8， 20－x＝20－8＝12. 答：大货车用8辆，小货车用12辆； (2)前往绥化的大货车是a辆，那么前往鹤岗的大货车是(8－a)辆，前往绥化的小货车是(9－a)辆，前往鹤岗的小货车是(3＋a)辆，设总运费为w元， w＝620a＋700(8－a)＋400(9－a)＋550(3＋a)＝70a＋10 850， 则w＝70a＋10 850(0≤a≤8且为整数)． 根据题意得16a＋10(9－a)≥120， 解得a≥5，又因为0≤a≤8， 所以5≤a≤8且为整数． 所以a＝5，6，7，8共有4种方案， 因为w＝70a＋10 850， k＝70＞0，w随a的增大而增大， 所以当a＝5时，w最小． 答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗． 3．[2023·厦门期末]“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如表： 进价 售价 乒乓球拍(元/套) 35 45 羽毛球拍(元/套) 40 52 该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元(0<n<10)，羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？ (2)由题意得y＝(45－35＋n)x＋(52－40)(300－x)＝(n－2)x＋3 600， 因为0<n<10， 所以当0<n<2，即n－2<0时，y随x的增大而减小， 所以当x＝100时，y有最大值100(n－2)＋3 600， 所以当0<n<2时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大； 当2<n<10时，即n－2>0时，y随x的增大而增大， 所以当x＝150时，y有最大值150(n－2)＋3 600， 所以当2<n<10时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能 获利最大； 当n＝2时，无论购多少套，只要满足100≤x≤150，利润都是 3 600. 4．[2022·襄阳]为了振兴乡村经济，某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品．某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y(单位：元)与乙种产品进货量x(单位：kg)之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg. (1)求出0≤x≤2 000和x＞2 000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6 000 kg，并能全部售出． 其中乙种产品的进货量不低于1 600 kg，且不高于4 000 kg， 设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元(利润＝销售额－成 本)，请求出w(单位：元)与乙种产品进货量x(单位：kg)之间的 函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售． 在(2)中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别 降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15 000元， 求a的最大值． 解：(1)当0≤x≤2 000时，设y＝k′x，根据题意，得2 000k′ ＝30 000， 解得k′＝15，所以y＝15x； 当x>2 000时，设y＝kx＋b， 将(2 000，30 000)，(4 000，56 000)代入 y＝kx＋b，得 30 000＝2 000k＋b，56 000＝4 000k＋b， (2)根据题意，得购进甲种产品(6 000－x) kg， 因为1 600≤x≤4 000， 当1 600≤x≤2 000时，w＝(12－8)×(6 000－x)＋(18－15)· x＝－x＋24 000， 因为－1<0， 所以当x＝1 600时，w的最大值为－1×1 600＋24 000＝22 400； 当2 000<x≤4 000时，w＝(12－8)×(6 000－x)＋18x－(13x＋ 4 000)＝x＋20 000， (3)由(2)得降价后，w＝(12－8－a)×2 000＋(18－2a)×4 000－(13×4 000＋4 000)＝24 000－10 000a， 所以24 000－10 000a≥15 000，解得a≤0.9. 所以a的最大值为0.9. 5．[2024·台州期中]阅读素材： 素材1：某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现 有A，B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如表所示： 套餐 类别 套餐 单价 团体订购优惠方案 A 30元 方案一：A套餐满20份及以上每份均打9折； 方案二：B套餐满12份及以上每份均打8折； 方案三：总费用满850元立减90元． (方案三不可与方案一、方案二叠加使用) B 25元 素材2：该班级共31位同学，每人都从A，B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 解决问题： (1)已知确定套餐的20人中，有 人选择A套餐， 人选择B套餐； (2)设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套餐人数不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式； (3)要使得该班订餐总费用最低，则A，B套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 解：(1)设20人中有x人选择A套餐， 由题意得30x＋25(20－x)＝565， 解得x＝13， 20－x＝20－13＝7， 即20人中有13人选择A套餐，7人选择B套餐， 故答案为：13，7； (2)因为两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐， 所以当A套餐人数不少于20人时，13＋m≥20， 所以m≥7， 则选择B套餐人数为7＋11－m＝18－m≤11，不满足优惠方案二的条件， 所以订餐总费用w＝30×0.9×(13＋m)＋25(7＋11－m)＝2m＋801； (3)两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐， ①当7≤m≤11时，由(2)，得w＝2m＋801， 因为k＝2>0， 所以w随m的增大而增大， 所以当m＝7时，w最小为2×7＋801＝815； ②当0≤m<7时，13＋m<20，18－m>11， 所以订餐总费用w＝30×(13＋m)＋25×0.8×(7＋11－m)＝10m＋750， 因为k＝10>0， 所以w随m的增大而增大， 所以m＝0时，w最小为750元； ③若选择优惠方案三，订餐总费用为w＝30×(13＋m)＋25× (7＋11－m)＝5m＋840， 因为总费用满850元立减90元， 所以5m＋840≥850， 解得m≥2， 因为k＝5＞0， 所以m＝2时，w最小为5×2＋840－90＝760， 综上所述，第二种方案，即当订购A套餐13份，订购B套餐18份 时，订餐总费用最低，为750元. 解：(1)由题意得 y＝(45－35)x＋(52－40)(300－x)＝－2x＋3 600， 因为购进乒乓球拍的套数不超过150套， 所以x≤150， 因为购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， 所以x≥eq \f(1,2)(300－x)，解得x≥100， 则x的取值范围为100≤x≤150， 所以y与x的函数关系式为y＝－2x＋3 600，x的取值范围为100≤x≤150； 解得k＝13，b＝4 000， 所以y＝13x＋4 000. 所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15x（0≤x≤2 000），,13x＋4 000（x>2 000）；)) 因为1>0， 所以当x＝4 000时，w的最大值为4 000＋20 000＝24 000(元)， 综上所述，w＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋24 000（1 600≤x≤2 000），,x＋20 000（2 000<x≤4 000）；)) 当购进甲产品2 000 kg，乙产品4 000 kg时，利润最大为24 000元； $$第2课时　一次函数与分档计费问题 1．[2025·淄博期中]某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1.2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米1.50元，那么3月份张老师家应缴燃气费( ) A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 2．[2024·台州一模]某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如表： 阶梯档次 年用电量 电价(单位：元/度) 第一阶梯 2 760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2 761度至4 800度部分 0.588 第三阶梯 4 801度及 以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为( ) A．5 250度 B．5 100度 C．4 900度 D．4 850度 3．保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2 000元，那么此人的汽车修理费是( ) A.2 687元 B．2 687.5元 C．2 688元 D．2 688.5元 汽车修理费x元 赔偿率 0＜x≤500 60% 500＜x≤1000 70% 1000＜x≤3000 80% … … 4．[2024·盐城期中]某市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴 纳的燃气费用均为4 200元，求该年乙户比甲户多用___立方米 的燃气． 75 5．亮亮家所在城市利用“分时阶梯”的方式计算电价，收费标 准如表： 亮亮家十二月份用电300千瓦时，并且谷时用电量是峰时用电 量的 ，则亮亮家十二月需要缴纳电费____元． 时段 峰时(8：00－21：00) 谷时(21：00－8：00) 每千瓦时电价 0.60元 0.40元 156 6．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)写出每户每月应交水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系式； (3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立方米的水费？(水量x为整数) (3)因为30>22， 所以令2.5x－3＝30， 解得x＝13.2， 因为水量x为整数， 所以最多能交13立方米的水费． 7．[2025·锦州期中]问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种玉米种子，经过多次协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克5元，并提出多买可优惠：如果一次性购买10千克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如表： 购买种子的 数量/千克 2 5 10 12 20 30 … 付款金额/元 10 50 58 130 … 任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？请直接写出； 任务二：爸爸说这次购买数量大于10千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一个数量关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为x(x>10)千克，付款金额为y元，请你为小李建立y与x的函数关系式； 任务三：小李爸爸计划第一次购买种子40千克，第二次再购买8千克，若考虑两次购买种子的数量合在一起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？ 解：任务一：因为5×5＝25，50＋5×(20－10)×0.8＝90， 故填表如表： 购买种子的 数量/千克 2 5 10 12 20 30 … 付款金额/元 10 25 50 58 90 130 … 任务二：y＝5×10＋5×0.8(x－10)＝4x＋10； 任务三：购买40千克付款金额＝4×40＋10＝170(元)，购买8千克付款金额＝5×8＝40(元)， 一起购买付款金额＝4×(40＋8)＋10＝202(元)， ∴170＋40－202＝8(元)， 答：一起购买可省8元． 8．某移动公司推出A，B两种电话计费方式： 计费 方式 月使用 费/元 主叫限定 时间/min 主叫超时费/ (元/min) 被叫 A 78 200 0.25 免费 B 108 500 0.19 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据表格，分别写出在不同时间范围内，方式A、方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350 min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)若移动公司又推出C种电话计费方式，月使用费203元，主叫不限时间，被叫免费．请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． (2)选择方式B计费，理由如下： 当每月主叫时间为350 min时， y1＝0.25×350＋28＝115.5， y2＝108， 因为115.5>108， 所以选择方式B计费； (3)令y1＝108，得0.25t＋28＝108， 解得t＝320， ∴当0≤t<320时，y1<108<203， ∴当0≤t<320时，方式A更省钱； 当t＝320，方式A和B的付费金额相同； 令y2＝203， 得0.19t＋13＝203， 解得t＝1 000， 当320<t<1 000，方式B更省钱． 当t＝1 000，方式B和C的付费金额相同； 当t>1 000，方式C更省钱， 综上所述，当0≤t<320时，方式A更省钱； 当t＝320，方式A和B的付费金额相同； 当320<t<1 000，方式B更省钱； 当t＝1 000，方式B和C的付费金额相同； 当t>1 000，方式C更省钱． eq \f(2,3) 解：(1)因为某户某月用水8立方米，小于10立方米， 所以用水8立方米，应交水费2.2×8＝17.6(元)； 因为用水14立方米，大于10立方米， 所以用水14立方米，应交水费2.2×10＋2.5×(14－10)＝32(元)； (2)由题意可得当0<x≤10时，y＝2.2x， 当x>10时，y＝2.2×10＋(x－10)×2.5＝2.5x－3， 故y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2.5x－3（x>10），,2.2x（0<x≤10）；)) 解：(1)设方式A的计费金额y1(元)，方式B的计费金额y2(元)， 根据表格数据可知，当0≤t≤200时，y1＝78； 当t>200时，y1＝78＋0.25(t－200)＝0.25t＋28； 当0≤t≤500时，y2＝108； 当t>500时，y2＝108＋0.19(t－500)＝0.19t＋13； 综上，y1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(78（0≤t≤200），,0.25t＋28（t>200），)) y2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(108（0≤t≤500），,0.19t＋13（t>500）；)) $$第2课时　一次函数的应用(2) 1．[2025·晋中一模改编]一次函数y＝kx＋b的x与y的部分对应 值如表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是( ) A.y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．关于x的方程kx＋b＝0的解是x＝1 D．k＝1 x … －2 －1 0 1 2 … y … －5 －2 1 4 7 … 3．[2025·三明期末]一个弹簧不挂重物时长为6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数关系如图所示，则图中a的值为( ) A．2.5　　　 B．3　　　 C．3.5　　　 D．4 4．[2025·沈阳期末]在弹性限度内，弹簧的长度y (cm)是所挂物体质量x (kg)的一次函数．某弹簧挂质量为3 kg物体时，弹簧长度为16 cm，挂质量为9 kg物体时，弹簧长度为19 cm，那么该弹簧不挂物体时的长度为( ) A．12 cm B．13.5 cm C．14 cm D．14.5 cm 5．[2023·九原区期末]如图是某地区一种产品30天的销售图象，图1 是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图2是一 件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系，已知 日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是( ) A．第24天的日销售量为200件 B．第12天的日销售利润是1 950元 C．第30天的日销售利润是5元 D．第10天销售一件产品的利润是15元 6．[2024·陕西期中]已知关于x的方程ax－5＝0的解为x＝2， 则一次函数y＝ax－5的图象与x轴的交点坐标为_______． (2，0) 4 8．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上以点C为起 点，沿路径C→B→A移动的动点(不与点A重合)，设点P经过 的路径长为x，△APD的面积是y，则y与x的函数关系式 为______________________． 9．某水果店销售某种新鲜水果，销售量x(kg)与销售额y(元)之 间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买30 kg 该种水果，需要付款____元． 260 10．[2024·济南期末]漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古 代人民对变量之间关系的创造性应用．小明制作了一个简单的漏刻模 型，并研究发现每分钟水位上升的高度相同，水位h(cm)和时间t(min) 之间存在如表所示的关系，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用 正确的数据确定当t为8 min时，对应的水位h为____cm. t(min) … 1 2 3 5 … h(cm) … 2.4 2.8 3.4 4 … 5.2 11．[2024·咸阳期末改编]如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与所挂物重x(kg)之间满足一次函数关系，若没有挂物体时秤砣到秤纽的水平距离2.5 cm能保持平衡，挂3 kg物体时秤砣到秤纽的水平距离19 cm能保持平衡． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当秤砣到秤纽的水平距离 为30 cm时，求秤钩所挂物重． 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)． 根据题意，得点(0，2.5)，(3，19)满足此关系式． 所以b＝2.5，3k＋b＝19， 解得k＝5.5，b＝2.5， 所以y与x之间的函数关系式为y＝5.5x＋2.5； (2)当y＝30时，5.5x＋2.5＝30， 解得x＝5， 所以当秤砣到秤纽的水平距离为30 cm时，秤钩所挂物重为5 kg. 12．北京冬季奥运会和冬季残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱．某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共300件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示．设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的总利润为y元. 原料成本 (元/件) 生产提成 (元/件) 销售单价 (元/件) “冰墩墩” 34 5 48 “雪容融” 26 6 40 (1)求出y关于x的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”100件，该厂一天所获得的总利 润是多少？ 解：(1)由题意，得y＝(48－34－5)x＋(40－26－6)(300－x)＝ x＋2 400(0≤x≤300)， 所以y关于x的函数关系式为y＝x＋2 400(0≤x≤300)； (2)由题意，得x＝300－100＝200， 所以y＝x＋2 400＝200＋2 400＝2 600. 所以该厂一天所获得的总利润是2 600元． 13．某公司市场营销部的营销员的个人月收 入与该营销员每月的销量成一次函数关系， 其图象如图所示．根据图象提供的信息， 回答下列问题： (1)求出营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数关系式； (2)该公司营销员的底薪(没有销售量时的收入)是多少元？ (3)已知该公司营销员李明5月的销售量为1.2万件，求李明5月的收入． 解：(1)设营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数关系式为y＝kx＋b， 将(1，1 800)，(2，2 600)代入，得 1 800＝k＋b，2 600＝2k＋b， 解得k＝800，b＝1 000， 所以营销人员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数关系式为y＝800x＋1 000(x≥0)； (2)在y＝800x＋1 000(x≥0)中， 当x＝0时，y＝1 000， 所以该公司营销员的底薪(没有销售量时的收入)是1 000元； (3)在y＝800x＋1 000(x≥0)中， 当x＝1.2时， y＝800×1.2＋1 000＝1 960， 所以李明5月的收入为1 960元． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数y2(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵，这一措施有效． 2．[2024·广西期中]若关于x的方程2x－b＝0的解为x＝1，则直线y＝2x－b一定经过点( ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2)) 7．[2025·沈阳期末]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋ b经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))，则关于x的方程ax＋b＝1的解为 x＝ ． y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8（0≤x<4），,－2x＋16（4≤x<8）)) 14．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y1(人)与时间x(分钟)满足关系：y1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x（0≤x≤5），,－5x＋75（5<x≤15），))八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y2(人)与时间x(分钟)满足如图所示的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． 解：(1)当0≤x≤5时，设直线的关系式为y2＝kx， 将(5，40)代入，得40＝5k， 解得k＝8，所以y2＝8x； 当5<x≤15时，设直线的关系式为y2＝ax＋b， 将(5，40)，(15，0)代入，得40＝5k＋b，0＝15k＋b， 解得k＝－4，b＝60，所以y2＝－4x＋60. 综上所述，y2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x（0≤x≤5），,－4x＋60（5<x≤15）；)) (2)设楼梯口的总人数为y人， 当0≤x≤5时，y＝10x＋8x＝18x， 令y＝70，则18x＝70， 解得x＝eq \f(35,9)， 答：第eq \f(35,9)分钟后会开始拥堵； (3)由题意得y2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8（x－5）（5≤x≤10），,－4（x－5）＋60（10<x≤20），)) 即y2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x－40（5≤x≤10），,－4x＋80（10<x≤20），)) 楼梯口的总人数为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x（0≤x≤5），,－5x＋75＋8x－40（5<x≤10），,－5x＋75－4x＋80（10<x≤15），,－4x＋80（15<x≤20），)) 即y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x（0≤x≤5），,3x＋35（5<x≤10），,－9x＋155（10<x≤15），,－4x＋80（15<x≤20），)) $$第四章综合测试卷 一、选择题(共10小题，每题3分) 1．已知一个长方形的面积为15 cm2，它的长为a cm，宽为b cm， 下列说法正确的是( ) A．常量为15，变量为a，b B．常量为15，a，变量为b C．常量为15，b，变量为a D．常量为a，b，变量为15 2．[2023·路南区期末]下列各曲线中不能表示y是x的函数的 是( ) 4．变量x与y之间的关系是y＝2x＋1，当y＝5时，自变量x的值是( ) A．13 B．5 C．2 D．3.5 5．[2023·大埔县期末]如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是( ) A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1 6．一辆客车从酒泉出发开往兰州，设客车出发t小时后与兰州 的距离为s千米，下列图象能大致反映s与t之间的函数关系的 是( ) 7．[2023·怀宁县期末]在同一直角坐标系内作一次函数y1＝ax ＋b和y2＝－bx＋a图象，可能是( ) 8．[2025·郑州期中]甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、 同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒， 在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y(米)与乙出发的时间x(秒)之间 的函数关系如图所示，下列说法正确的是( ) ①乙的速度为5米/秒　②离开起点后，甲、乙两人 第一次相遇时，距离起点12米　③甲、乙两人之间 的距离超过32米的时间范围是44<x<89　④乙到达终 点时，甲距离终点还有68米 A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①② 二、填空题(共6小题，每题3分) 11．点A(1，a)在函数y＝－3x＋1的图象上，则a＝____． 12．已知一次函数的图象经过点P(－3，0)，且与两坐标轴围 成的三角形的面积为4，则此一次函数的表达式为__________ ___________． 13．[2025·合肥期中]若直线y＝－3x＋2向下平移3个单位长 度后经过点(－1，m)，则m的值为__． －2 2 14．如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中， 汽车离出发地的距离y(km)和行驶时间x(h)之间的函数关系，根 据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120 km ②汽车在行驶途中停留了0.5 h　③汽车在整个行驶过程中的平 均速度为 km/h　④汽车自出发后3 h～4.5 h之间行驶的速度 在逐渐减小．其中正确的说法是___(填 序号)． ② 15.[分类讨论][2025·郑州期中]如图，一次函数y＝－x＋1的 图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC， 将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标 为_________________________． 三、解答题(共7小题，共72分) 17．(9分)据研究，地面上空h(m)处的气温t(℃)与地面气温T(℃) 有如下关系：t＝T－kh.在某地某一时刻，测得地面气温T＝10 ℃， 用气象气球测得此时离该处地面150 m处的气温为8.8 ℃. (1)求k的值； (2)求此时该地地面上空1 000 m处的气温． 18．(9分)如图，已知直线AB的函数表达式为y＝2x＋10，与x轴的交点为A，与y轴的交点为B. (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P为线段AB上一个动点，O为坐标原点， 是否存在点P，使OP的值最小？若存在，求出 OP的最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为一次函数y＝2x＋10， 令x＝0，则y＝10， 令y＝0，则x＝－5， 所以点A的坐标为(－5，0)，点B的坐标为(0，10)； (2)存在点P，使得OP的值最小． 当OP最小时满足OP⊥AB， 此时OP即为Rt△AOB中AB边上的高． 因为A(－5，0)，B(0，10)， 19.[跨学科](10分)[2025·陕西模拟]电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤，制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R，R(Ω)与踏板上人的质量m(kg)之间的几组对应值如表： 人的质量m(kg) 0 30 60 90 120 可变电阻R(Ω) 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是 函数关系； (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为100 Ω时，求人的质量m应为多少？ 解：(1)如图， 一次； (2)设R关于m的函数关系式为R＝km＋240， 将(30，180)代入，得30k＋240＝180，解得k＝－2，即R关于m的函数关系式为R＝－2m＋240， 验证：当m＝120时，R＝0满足关系式； (3)当R＝100时，100＝－2m＋240，解得m＝70， 即当可变电阻R为100 Ω时，人的质量m应为70 kg. 20.[跨学科](10分)[2023·临淄区期末]小刚想在以下两种灯中选购一盏．一种是功率为9瓦(即0.009千瓦)的节能灯，售价为49元/盏；另一种是功率为40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价为18元/盏，已知小刚家所在地区的电价是每千瓦时0.5元．若照明时间是x小时时，一盏节能灯的费用为y1，一盏白炽灯的费用为y2.[注：费用包含灯的售价和电费；电费＝0.5×灯的功率(单位：千瓦)×照明时间(单位：小时)] (1)请分别写出y1，y2与照明时间x之间的函数关系式； (2)若两种灯的使用费用一样，则照明时间是多少小时； (3)小刚想在这两种灯中选购一盏．假设照明时间是3 000小时，小刚应选哪一种灯比较合算，请说明理由． 解：(1)由题意，得y1＝0.5×0.009x＋49＝0.004 5x＋49， y2＝0.5×0.04x＋18＝0.02x＋18. 所以y1，y2与照明时间x之间的函数关系式分别为y1＝0.004 5x＋49，y2＝0.02x＋18； (2)令y1＝y2，即0.004 5x＋49＝0.02x＋18，解得x＝2 000， 所以当照明时间是2 000小时的时候，使用两种灯的费用一样多； (3)节能灯．理由如下：当x＝3 000时， y1＝0.004 5×3 000＋49＝62.5(元)， y2＝0.02×3 000＋18＝78(元)． 因为62.5＜78， 所以若照明时间是3 000小时，小刚选节能灯合算． 21．(10分)[2025·保定期中]甲、乙两车从A地出发沿同一路线 驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速 行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物， 为了行驶安全，速度减少了50 km/h，结果与甲车同时到达B地． 甲、乙两车距A地的路程y1(单位：km)，y2 (单位：km)与乙车行驶时间x(单位；h)之 间的函数图象如图所示．请结合图象信息 解答下列问题： (1)a＝ ；甲车的速度为 km/h； (2)①求乙车减速前的速度； ②求出图中线段EF所表示的y与x的函数关系式； (3)当0≤x≤4时，直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15 km. 解：(1)4.5；60； (2)①设乙开始的速度为v km/h， 则4v＋(7－4.5)(v－50)＝460， 解得v＝90； ②由①可得这段的速度为90－50＝40， 设EF所在直线关系式为y＝40x＋b， 将(7，460)代入，得460＝40×7＋b， 解得b＝180， 所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为y＝40x＋180； 22．(12分)[2025·保定期末改编]如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b(k1≠0)经过点A(0，3)，B(－1，1)，与x轴交于点C，直线l2：y＝k2x＋1(k2≠0)． (1)求直线l1的函数关系式； (2)若k2＝1，将直线l2沿y轴向上平移n(n>0)个单位长度，当平移后的直线经过点C时，求n的值； (3)①无论k2(k2≠0)的值怎样变化，直线l2：y＝k2x＋1都过定点 ； ②若当x从0开始逐渐增大时，函数y＝k2x＋1的值比直线l1对应函数的值先到达9，求k2的取值范围． 解：(1)因为直线l1经过点A(0，3)，B(－1，1)， 所以b＝3，－k1＋b＝1，解得k1＝2，b＝3， 所以直线l1的函数表达式为y＝2x＋3； (1)求直线l2的函数关系式； (2)若点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，且MN＝AC，求点M的坐标； (3)若点P在直线l1上，以P，D，E为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点P的坐标． (3)设P(p，p＋4)， 因为直线l1：y＝x＋4与y轴交于点D， 所以D(0，4)， 又因为C(－4，0)，∠DOC＝90°， 所以△DOC为等腰直角三角形， 所以∠DCO＝∠CDO＝∠EDB＝45°， 因为直线l2：y＝－2x＋8交y轴于点E， 所以E(0，8)，则ED＝4. ①当DP⊥EP时，△EDP为等腰直角三角形，且EP＝DP，过点P作PQ⊥y轴， 由等腰三角形的性质，得EQ＝DQ＝2， 所以点P的纵坐标为2＋4＝6， 所以p＋4＝6，解得p＝2， 所以点P(2，6)； ②当DE⊥PE时，△EDP为等腰直角三角形，且EP＝DE＝4， 所以点P的横坐标p＝4，则p＋4＝8， 所以点P(4，8)． 综上所述，P的坐标为(2，6)或(4，8)． 3．[2023·瑶海区期末]下列函数：①y＝3x　②y＝2x－1　 ③y＝eq \f(1,x)　④y＝x2－1　⑤y＝eq \f(x,8).其中是一次函数的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9.[将军饮马模型][2025·渭南期中]如图，直线y＝x＋1与两坐 标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，点D，E分别是直线AB， y轴上的动点，则△CDE的周长的最小值是( ) A.eq \r(10) B．eq \f(\r(10),2) C．eq \r(5) D．eq \f(\r(5),2) 10.[新定义][2024·巫山期末]关于x的新函数定义如下：当x＝0时，y＝1；当x＝eq \f(q,p)(p是正整数，q是整数，q≠0，且p，q不含除1以外的公因数)时，y＝eq \f(1,p)；当x为无理数时，y＝0. 例：当x＝eq \f(3,4)时，y＝eq \f(1,4)；当x＝－eq \f(5,4)时，y＝eq \f(1,4). 下列结论：①当x＝eq \r(5)时，y＝0 ②若a，b是互不相等且不为0的有理数，当x＝a时，函数值记为y1，当 x＝b时，函数值记为y2，当x＝a·b时，函数值记为y3，则一定有y1y2＝y3 ③若y＝eq \f(1,3)，则对应的自变量x有且只有四种不同的取值 ④若2 023≤x≤2 024，则满足y≥eq \f(1,3)的自变量x的取值共有5个．其中正确的有( ) A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③ y＝eq \f(8,9)x＋eq \f(8,3)或 y＝－eq \f(8,9)x－eq \f(8,3) eq \f(80,3) (－eq \r(2)－1，0)或(eq \r(2)－1，0) 16.[将军饮马模型]如图，已知A(1，eq \f(3\r(3),2))，直线l1：y＝x，直线l2：y＝eq \r(3)x，在l1上有一动点M，在l2上有一动点N，连接AM，MN， 则AM＋MN的最小值为 ． eq \f(7,4) 解：(1)根据题意得8.8＝10－150k，解得k＝eq \f(1,125)； (2)由(1)得t＝10－eq \f(1,125)h.故当h＝1 000时，t＝2 ℃. 所以OA＝5，OB＝10，所以由勾股定理，得AB＝5eq \r(5). 因为S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB＝eq \f(1,2)AB·OP， 所以OP＝eq \f(5×10,5 \r(5))＝2eq \r(5)， 所以存在点P，使OP的值最小，此时OP＝2 eq \r(5). (3)甲车前40分钟的路程为60×eq \f(2,3)＝40 km，则C(0，40)， 设直线CF的表达式为y＝mx＋40， 把F(7，460)代入，得7m＋40＝460，解得m＝60， 所以直线CF的表达式为y＝60x＋40， 直线OD的表达式为y＝90x(0≤x≤4)， 由题意得|60x＋40－90x|＝15，解得x＝eq \f(5,6)或eq \f(11,6). 所以乙车出发eq \f(5,6) h或eq \f(11,6) h，乙车与甲车相距15千米． (2)当y＝0时，x＝－eq \f(3,2)，所以点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))， 因为k2＝1，所以直线l2的函数表达式为y＝x＋1， 因为将直线l2沿y轴向上平移n(n>0)个单位长度， 所以平移后的直线的函数表达式为y＝x＋1＋n， 因为平移后的直线经过点C， 所以将Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))代入y＝x＋1＋n中，得0＝－eq \f(3,2)＋1＋n，解得n＝eq \f(1,2)； (3)①(0，1)； ②当y＝9时，2x＋3＝9，解得x＝3， 将x＝3代入y＝k2x＋1中，得y＝3k2＋1， 因为函数y＝k2x＋1的值比直线l1对应函数的值先到达9， 所以3k2＋1>9，解得k2>eq \f(8,3). 23．(12分)[2023·宿豫区期末]如图，已知直线l1：y＝x＋4与过点A(4，0)的直线l2交于点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，m))，与x轴，y轴分别交于点C，D，直线l2交y轴于点E. 解：(1)把Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，m))代入直线l1：y＝x＋4得m＝eq \f(4,3)＋4＝eq \f(16,3)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(16,3)))， 设直线l2的表达式为y＝kx＋b， 把A(4，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(16,3)))代入，得4k＋b＝0，eq \f(4,3)k＋b＝eq \f(16,3)，解 得k＝－2，b＝8， 所以直线l2的表达式为y＝－2x＋8； (2)如图1，在y＝x＋4中，令y＝0得x＝－4， 所以C(－4，0)，所以AC＝8， 设M(n，n＋4)，则N(n，－2n＋8)， 所以MN＝|(n＋4)－(－2n＋8)|＝|3n－4|， 因为MN＝AC， 所以|3n－4|＝8，解得n＝－eq \f(4,3)或n＝4， 所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(8,3)))或(4，8)； $$3　一次函数的图象 第1课时　正比例函数的图象与性质 2．在平面直角坐标系中，函数y＝2x的图象经过( ) A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 3．关于函数y＝5x，下列说法错误的是( ) A．它是正比例函数 B．图象经过(1，5) C．图象经过第一、三象限 D．当x>0时，y<0 4．已知正比例函数y＝(2k＋2)x的图象如图所示，则k的值可能是( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 6．[2025·深圳期末]若正比例函数y＝(2－k)x的图象经过第一、 三象限，请你写出一个符合上述条件的k的值：___________． 1(k<2均可) 7．[2025·合肥期末]正比例函数y＝(4－3m)x的值随x值的增大 而减小，则m的取值范围为_____． 8．若y与x成正比例，且当x＝－ 时，y＝4，则当y＝5时，x的 值是____． 9．我们知道正比例函数的图象是一条直线，又因为“两点确定 一条直线”，从而我们把画正比例函数图象简化成“定两点，画 图象”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数y1＝ 4x和y2＝－4x图象的过程．请你回答下列问题． (1)列表：把表格补充完整． x … 0 1 … y1＝4x … … y2＝－4x … … (2)描点并连线得函数图象． 解：(1)如表所示： x … 0 1 … y1＝4x … 0 4 … y2＝－4x … 0 －4 … (2)描点并连线如图所示： 10．如图分别是函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象． (1)k1___k2，k3___k4；(统一填“＞”或“＜”) (2)用小于号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来_____________ ____． ＜ ＜ k1＜k2＜0＜k3 ＜k4 11．如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A. (1)请你求出该正比例函数的关系式； (2)若这个函数的图象还经过点B(m，m＋3)，请你求出m的值． 解：(1)正比例函数关系式为y＝－2x； (2)m＝－1. 12．如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线y＝2x和y＝kx上，点A，D是x轴上的两点． (1)若此正方形的边长为2，则k＝ ； (2)若此正方形的边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，试求出k的值；若会发生变化，请说明理由． x … ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ … y … ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ … 描点，连线得到函数图象： (2)设(x1，y1)，(x2，y2)是函数图象上的点，若x1＋x2＝0，证明：y1＋y2＝0. 解：(1)列表： 描点，连线得到函数图象： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 0 －1 －2 －3 0 3 2 1 0 … (2)因为(x1，y1)，(x2，y2)是函数图象上的点，x1＋x2＝0， 所以x1和x2互为相反数， 当|x1|＝|x2|<1时， 所以y1＝3x1，y2＝3x2， 所以y1＋y2＝3x1＋3x2＝3(x1＋x2)＝0； 当x1≤－1，x2≥1时， 则y1＋y2＝－x1－4－x2＋4＝－(x1＋x2)＝0； 当x1≥1，x2≤－1时， 则y1＋y2＝－x1＋4－x2－4＝－(x1＋x2)＝0； 综上所述，y1＋y2＝0. 1．若正比例函数y＝kx的图象经过点(3，2)，则k的值为( ) A.eq \f(2,3) B．eq \f(3,2) C．2 D．3 5.[新定义]定义运算“*”为：a*b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab，b>0，,－ab，b≤0，))例如1*(－2)＝－1×(－2)＝2，则函数y＝2*x的图象大致是( ) eq \f(1,2) m>eq \f(4,3) －eq \f(5,8) 解：(1)eq \f(2,3)； (2)k的值不会发生变化．因为正方形的边长为a，所以AB＝AD＝a. 在直线y＝2x中，当y＝a时，x＝eq \f(1,2)a， 所以OA＝eq \f(1,2)a，OD＝eq \f(3,2)a，所以C(eq \f(3,2)a，a)． 将点C(eq \f(3,2)a，a)代入y＝kx， 得a＝k·eq \f(3,2)a，所以k＝eq \f(2,3). 13．已知函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－4（x≤－1），,3x（－1＜x＜1），,－x＋4（x≥1）.)) (1)画出函数图象； 列表： $$