2.1 等式性质与不等式性质同步知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质 高中数学辅导资料 专题2.1 等式性质与不等式性质 一、知识归纳： 1．比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 2．等式的基本性质 性质1  如果，那么 ； 性质2  如果，，那么 ； 性质3  如果，那么 ； 性质4  如果，那么 ； 性质5  如果，，那么 ． 3．不等式的性质 （1）如果，那么 ；如果，那么.即 . （2）如果，那么 .即 . （3）如果，那么 . （4）如果，那么 ；如果，那么 . （5）如果，那么 . （6）如果，那么 . （7）如果，那么 . 4．含有绝对值的不等式基本性质 （1）若 ; （2）若 ; （3） 自查自纠： 1． 2． 3． 4． 或 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·浙江温州·阶段）下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于选项A，取，显然有，，但，所以选项A为假命题，对于选项B，因为，，则，可得到，所以选项B为真命题， 对于选项C，因为，由，得到，所以选项C为真命题， 对于选项D，因为，由，得到，所以选项D为真命题，故选：A. 2．（23-24高一上·湖北武汉·阶段）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，因为，所以，根据糖水浓度不等式，易得成立，故C正确； 对于D，取，则，故D错误.故选：C. 3．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，A不是；对于B，当时，由，得，B不是；对于C，，可能有，如，C不是；对于D，由，得，则；若，则，D是.故选：D 4．已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故，，得.故选：B 5．（2023·湖北·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，若，结合，则， 故“”是“”的充分条件；者，则，取满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件．于是“”是“”的充分不必要条件，故选：A． 6．（24-25高一上·山东日照·阶段）下列命题为真命题的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，，又，故，A正确；对于B，不妨设，则，故B错误.对于C，，∵，∴，，，∴，∴，所以C错误.于D，，∵，∴，，∴，∴，所以D错误.故选：A 7．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，则，∵，，即，，∴，则，即.故选：C 8．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，所以，解得 所以，因为，所以，因为，所以， 因为，所以，故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（23-24高一上·浙江丽水·期末）如果，那么下面结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以，，，故ABC正确， 取，则，故D错误.故选；ABC. 10．（23-24高一上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，则，，所以，即，故A正确；对于B，由，假设，有，又，所以，故B错误；对于C，由，可知，，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD. 11．（2023·吉林·模拟预测）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对A，因为，又，故，则，故A正确； 对B，取，因为，故B错误； 对C，因为，由题意，，，故，即，故C正确； 对D，取，则，则，故D错误； 故选：AC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（22-23高一上·浙江杭州·期中）设，，则有 ．（请填“”、“”、“”，“”，“”） 【答案】< 【详解】因为，，所以，故．故答案为：<． 13．（22-23高一上·浙江杭州·期中）实数x，y满足，，那么的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，，则，，由已知可得，， 则，，，故答案为：. 14．若，则, , , 按由小到大的顺序排列为 . 【答案】 【详解】解：−==，∵，∴，∴， −=，∵，∴， ∴，∴，−=，∵a>b>0，n>0，∴−<0，∴，综上可知，.故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A. , ,则，所以，故选项A不正确.选项B. 取，则，故选项B不正确.选项C. , ，则，，由，所以，所以，故选项C正确. 选项D. 取，则，，此时.故选：C 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，所以，又，所以， 故选：C. 3．（24-25高一上·福建三明·阶段）已知x，y满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，由，，所以，即.故选：B 4．（24-25高一上·山东日照·阶段）下列命题为真命题的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，，又，故，A正确；对于B，不妨设，则，故B错误.对于C，，∵，∴，，，∴，∴，所以C错误.于D，，∵，∴，，∴，∴，所以D错误.故选：A 5．（22-23高一上·江苏扬州·阶段）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】取，满足，推不出且；当且时，由不等式性质，可得且，即成立，故“”是“且”的必要不充分条件.故选：B 6．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖（，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜，所以糖水的浓度 ，再添加m克糖，即浓度，将糖水变甜．则，因为，，所以，故选：B 7．（2023·山东·模拟预测）对于实数，，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A：时，不成立，A错误；对于B：若，则，B错误；对于C：令，代入不成立，C错误；对于D：若，，则，，则，D正确.故选：D． 8．（24-25高三上·北京·阶段）若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由得，所以，故，①正确.由得，所以，②正确.由得，，所以，③正确.所以正确的个数是3.故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对A：由，得：，故A错误；对B：取，，，，则，且，，所以，此时B不成立；对C：因为，，所以，故C正确；对D：因为，所以即，故D正确.故选：CD 10．（22-23高一上·吉林长春·期中）若，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A ，因为，且，当时，，即；当时，，即；当时，，即；故可能成立；对于B，因为，则，所以一定不成立；对于C，因为，则，故一定不成立；对于D，因为，则，故恒成立.故选：BC. 11．（24-25高一上·四川广安·阶段）下列命题中，错误的是（ ） A．若，，则 B．， C．命题“，”的否定为假命题 D．是充分不必要条件 【答案】BCD 【详解】对A，若，，则，根据不等式性质可得，故A正确；对B，当时，则，故B错误；对C，命题“，”的否定命题为“，”，由，得恒成立，故C错误；对D，若，可得，解之可得或，充分性，当，不一定满足，所以充分性不成立，必要性，当，即或，也不一定满足，所以是即不充分也不必要条件，故D错误.故选：BCD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（22-23高一上·浙江宁波·期中）若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以，则，，，所以，所以，即.故答案为： 13．已知等式恒成立，其中为实数，则 ． 【答案】 【详解】法一：，所以； 法二：在中，令得.故答案为： 14．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，使“若且，则”为假命题的一组实数的值为 ， . 【答案】 （答案不唯一） 【详解】根据题意，若，则，又，则，故要说明该命题为假命题，则只需即可，也即在的前提下，满足的均可；故可取，（答案不唯一）.故答案为：，，（答案不唯一）. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2.1 等式性质与不等式性质 高中数学辅导资料 专题2.1 等式性质与不等式性质 一、知识归纳： 1．比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 2．等式的基本性质 性质1  如果，那么 ； 性质2  如果，，那么 ； 性质3  如果，那么 ； 性质4  如果，那么 ； 性质5  如果，，那么 ． 3．不等式的性质 （1）如果，那么 ；如果，那么.即 . （2）如果，那么 .即 . （3）如果，那么 . （4）如果，那么 ；如果，那么 . （5）如果，那么 . （6）如果，那么 . （7）如果，那么 . 4．含有绝对值的不等式基本性质 （1）若 ; （2）若 ; （3） 自查自纠： 1． 2． 3． 4． 或 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·浙江温州·阶段）下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·湖北武汉·阶段）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·湖北·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·山东日照·阶段）下列命题为真命题的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（23-24高一上·浙江丽水·期末）如果，那么下面结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2023·吉林·模拟预测）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（22-23高一上·浙江杭州·期中）设，，则有 ．（请填“”、“”、“”，“”，“”） 13．（22-23高一上·浙江杭州·期中）实数x，y满足，，那么的取值范围是 . 14．若，则, , , 按由小到大的顺序排列为 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建三明·阶段）已知x，y满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东日照·阶段）下列命题为真命题的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（22-23高一上·江苏扬州·阶段）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖（，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东·模拟预测）对于实数，，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 8．（24-25高三上·北京·阶段）若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·吉林长春·期中）若，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·四川广安·阶段）下列命题中，错误的是（ ） A．若，，则 B．， C．命题“，”的否定为假命题 D．是充分不必要条件 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（22-23高一上·浙江宁波·期中）若，则的取值范围是 . 13．已知等式恒成立，其中为实数，则 ． 14．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，使“若且，则”为假命题的一组实数的值为 ， . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$