第21章二次函数与反比例函数强化训练2025-2026学年沪科版九年级数学上册

第21章二次函数与反比例函数强化训练2025-2026学年 沪科版九年级上册 一、选择题 1.下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（ ） A． B． C． D． 3.关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 4.抛物线与轴的交点坐标是（       ） A． B． C． D． 5．将方程转化为的形式，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2－2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　） A．＜a≤或a≥1 B．a≥或a＜ C．≤a≤1且a≠0 D．a≤或a≥1 7.二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 8.如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（    ）． A．4 B．2 C．2.5 D．5 9.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有（　　） A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤ 10.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 二、填空题 11．已知反比例函数，当y=6时，x= ． 12．对于二次函数y=x2+2，当x=　 　时，二次函数的最小值为　 　． 13.一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）． 14．已知二次函数当时，函数有最大值，则二次函数的表达式为______． 15.如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为 ． 16.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________． 三、解答题 17.已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 18．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围． 19.已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 20.某县古镇地摊上出售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：，设这种双肩包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 21.如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，4），B两点． （1）求k，m的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式≥kx的解集； （3）若点C在y轴的正半轴上，且AC⊥BC，垂足为点C，求△ABC的面积． 22.如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线，经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式． (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】 一、选择题 1.下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 2.已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3.关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 【答案】A 4.抛物线与轴的交点坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 5．将方程转化为的形式，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 6．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2－2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　） A．＜a≤或a≥1 B．a≥或a＜ C．≤a≤1且a≠0 D．a≤或a≥1 【答案】A 7.二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 8.如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（    ）． A．4 B．2 C．2.5 D．5 【答案】D 9.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有（　　） A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤ 【答案】C 10.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（     ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 【答案】C 二、填空题 11．已知反比例函数，当y=6时，x= ． 【答案】 12．对于二次函数y=x2+2，当x=　 　时，二次函数的最小值为　 　． 【答案】0；2 13.一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）． 【答案】＞ 14．已知二次函数当时，函数有最大值，则二次函数的表达式为______． 【答案】 15.如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为 ． 【答案】 16.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________． 【答案】4 三、解答题 17.已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 【答案】y＝（x+1）+ 【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0）， ∴y＝k1（x+1）+ ． ∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4， ∴， ∴， ∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+； 18．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围． （1）解：根据题意得： ，解得：， 所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3， 因为y=-（x-1）2+4， 所以抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）解：x＜0或x＞2 19.已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)若使用时测得电流I为，则电阻R是 ； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)24 (3)用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内 【详解】（1）解：电流1是电阻R的反比例函数， 设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴， （2）当时， 则， ∴， （3）∵，， ∴， ∴， 则用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内． 20.某县古镇地摊上出售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：，设这种双肩包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) 解：， 与之间的函数解析式； (2) 解：根据题意得：， ， ∴当时，有最大值，最大值是400； (3) 解：当时，， 解得，， ， ∴不符合题意，舍去， 即该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为30元． 21.如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，4），B两点． （1）求k，m的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式≥kx的解集； （3）若点C在y轴的正半轴上，且AC⊥BC，垂足为点C，求△ABC的面积． 【答案】解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，4）， ∴4＝3k，4＝， ∴k＝，m＝12； （2）∵k＝，m＝12， ∴一次函数为y＝x，反比例函数解析式为y＝， 解方程得，，， ∴B（﹣3，﹣4）， ∴不等式≥kx的解集为0＜x≤3或x≤﹣3； （3）由（2）知点B（﹣3，﹣4）， ∴AO＝BO＝＝5， 又∵∠ACB＝90°， ∴CO＝AO＝BO＝5， ∴点C（0，5）， ∴△ABC的面积＝5×（3+3）＝15． 22.如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线，经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式． (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) 解：令x＝0，得， ∴，令y＝0，得，解得x＝4， ∴， 把A、C两点代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， (2) 过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1， 设，则， ∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $$