2.2 函数的基本性质-【十年高考】备战2026年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§2.2　函数的基本性质 课时 2016~2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 合计 12.函数的单调性 4 1 0 0 1 0 6 13.函数的奇偶性 4 2 1 3 2 1 13 14.函数的周期性 4 1 1 0 0 0 6 15.函数性质的综合应用 14 2 2 1 0 3 22 命题热度 本专题命题热度较高() 课程标准 备考策略 函数的性质 ①借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义 ②结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义 ③结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义 准确理解函数的基本性质,把握住自变量之间的关系与对应函数值之间关系的相互转化;掌握判断函数奇偶性、求函数周期的基本方法,明确函数奇偶性、周期性的应用 考点12函数的单调性答案P221　 1.(2024·全国新高考1,6,5分,难度★★)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 2.(讲解 2021·全国甲,文4,5分,难度★★)下列函数中是增函数的为 (　　) A.f(x)=-x B.f(x)=x C.f(x)=x2 D.f(x)= 3.(讲解 2020·全国2,理11文12,5分,难度★★★)若2x-2y<3-x-3-y,则 (　　) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 4.(讲解 2019·北京,文3,5分,难度★★)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A.y= B.y=2-x C.y=lox D.y= 5.(讲解 2016·北京,文4,5分,难度★★★)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 (　　) A.y= B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x 6.(2016·北京,文10,5分,难度★★★)函数f(x)=(x≥2)的最大值为　　　　　.  考点13函数的奇偶性答案P221　 1.(多选题)(2025·全国新高考2,10,6分,难度★★)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 2.(2024·天津,4,5分,难度★★)下列函数是偶函数的为 (　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 3.(2023·全国新高考2,4,5分,难度★★)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 4.(2023·全国乙,理4文5,5分,难度★★)已知f(x)=是偶函数,则a= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.(讲解 2021·全国乙,理4文9,5分,难度★★)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 6.(2024·上海,4,4分,难度★)设a∈R,且f(x)=x3+a是奇函数,则a=　　　　　.  7.(2023·全国甲,理13文14,5分,难度★★)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+为偶函数,则a=　　　　　.  8.(2022·全国乙,文16,5分,难度★★★)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　　,b=　　　　　.  9.(讲解 2021·全国新高考1,13,5分,难度★★)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  10.(讲解 2020·江苏,7,5分,难度★★)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是　　　　.  11.(2019·全国2,理14,5分,难度★★)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=　　　　　.  12.(讲解 2018·全国3,文16,5分,难度★★★★)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　　　　.  13.(2017·全国2,文14,5分,难度★★)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　　.  考点14函数的周期性答案P222　 1.(2022·全国新高考2,8,5分,难度★★★)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)= (　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 2.(2021·全国甲,理12,5分,难度★★★)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　　) A.- B.- C. D. 3.(讲解 2018·全国2,理11,5分,难度★★★)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　) A.-50 B.0 C.2 D.50 4.(讲解 2016·山东,文9,5分,难度★★★)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,fx+=fx-,则f(6)= (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 5.(2018·江苏,9,5分,难度★★★)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为　　　　　.  6.(2017·山东,文14,5分,难度★★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=　　　　　.  考点15函数性质的综合应用答案P223　 1.(2025·全国新高考1,5,5分,难度★★)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f-= (　　) A.- B.- C. D. 2.(多选题)(2023·全国新高考1,11,5分,难度★★★)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (　　) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 3.(多选题)(2022·全国新高考1,12,5分,难度★★★★)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f-2x,g(2+x)均为偶函数,则 (　　) A.f(0)=0 B.g-=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 4.(讲解 2022·全国乙,理12,5分,难度★★★★)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)= (　　) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 5.(2021·全国新高考2,8,5分,难度★★★)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则 (　　) A.f-=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 6.(2020·山东,8,5分,难度★★★)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (　　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 7.(2020·全国2,文10,5分,难度★★★)设函数f(x)=x3-,则f(x) (　　) A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减 8.(2020·全国2,理9,5分,难度★★★)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) (　　) A.是偶函数,且在,+∞单调递增 B.是奇函数,且在-,单调递减 C.是偶函数,且在-∞,-单调递增 D.是奇函数,且在-∞,-单调递减 9.(2020·全国3,文12,5分,难度★★★★)已知函数f(x)=sin x+,则 (　　) A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 10.(2019·全国1,理11,5分,难度★★★)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数;②f(x)在区间,π内单调递增;③f(x)在[-π,π]有4个零点;④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是 (　　) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 11.(2019·全国3,理11文12,5分,难度★★★)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则 (　　) A.flog3>f()>f() B.flog3>f()>f() C.f()>f()>flog3 D.f()>f()>flog3 12.(2018·上海,16,5分,难度★★★)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是(　　) A. B. C. D.0 13.(2018·全国3,文7,5分,难度★★★)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是 (　　) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 14.(2017·天津,理6,5分,难度★★★)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 15.(2017·全国1,理5,5分,难度★★★)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 (　　) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 16.(2025·北京,15,4分,难度★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R,则下列说法正确的有　　　　　.  ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立; ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立; ③使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个; ④使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个. 17.(2021·全国新高考2,14,5分,难度★★)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数. 18.(2020·上海,11,5分,难度★★★)已知a∈R,若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件:①对任意x0∈R,f(x0)的值为x0或;②关于x的方程f(x)=a无实数解,则a的取值范围为　　　　.  19.(2020·全国3,理16,5分,难度★★★★)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y轴对称. ②f(x)的图象关于原点对称. ③f(x)的图象关于直线x=对称. ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是　　　　　.  20.(2019·北京,理13,5分,难度★★★)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　　　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　　.  21.(2018·北京,理13,5分,难度★★★)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是　　　　.  22.(2025·上海,21,18分,难度★★★★★)函数y=f(x)定义域为R,a为正实数,定义集合 Ma={x|f(x+a)=f(x),x∈R}. (1)若f(x)=sin x,x=是否属于Mπ; (2)已知f(x)=若Ma≠⌀,求a的取值范围; (3)设y=f(x)是偶函数,当x∈(0,1]时,f(x)=1-x,且对任意的a∈(0,2),均满足Ma⊆M2,求x∈(1,2)时,f(x)的解析式,并求证:x∈[-3,3],且c∈R时,f(x)-c至多有9个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.2　函数的基本性质 考点12　函数的单调性 1.B　当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1)单调递增,当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增,需满足解得-1≤a≤0.故所求a的取值范围为[-1,0]. 2.D　对于A,函数f(x)=-x为R上的减函数,故A不正确; 对于B,因为<1,所以函数f(x)=x为R上的减函数,故B不正确; 对于C,函数f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不正确; 对于D,函数f(x)=为R上的增函数,故D正确.故选D. 3.A　∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y. ∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)<f(y), ∴x<y,∴y-x>0,∴y-x+1>1, ∴ln(y-x+1)>ln 1=0.故选A. 4.A　函数y=2-x,y=lox,y=在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,故选A. 5.D　选项A,y=在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故在(-1,1)上为增函数; 选项B,y=cos x在(-1,1)上先增后减; 选项C,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上递增, 故在(-1,1)上为增函数; 选项D,y=2-x=x在R上为减函数,故在(-1,1)上是减函数. 6.2　∵f(x)=1+在[2,+∞)上是减函数, ∴f(x)的最大值为2. 考点13　函数的奇偶性 1.ABD　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,A正确;当x<0时,-x>0,f(-x)=[(-x)2-3]e-x+2=(x2-3)e-x+2=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)e-x-2,B正确;又f(-1)=2e-2=2(e-1)>2,所以C错误;当x>0时,f'(x)=ex(x+3)(x-1),当0<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以x=1是f(x)的极小值点,则由奇函数的性质可知,x=-1是f(x)的极大值点,D正确.故选ABD. 2.B　对A,设f(x)=,函数定义域为R,但f(-1)==,f(1)=,则f(-1)≠f(1),则f(x)不是偶函数,故A错误; 对B,设g(x)=,函数定义域为R,且g(-x)===g(x),则g(x)为偶函数,故B正确; 对C,设h(x)=,h(-1)==,h(1)=,h(-1)≠h(1),则h(x)不是偶函数,故C错误; 对D,设φ(x)=,函数定义域为R,因为φ(-x)===-φ(x),且φ(x)不恒为0,所以φ(x)是奇函数,故D错误.故选B. 3.B　方法一:∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 不妨令x=1,则有f(-1)=f(1), ∴(-1+a)ln 3=(1+a)ln, ∴-1+a=-1-a,∴a=0. 此时f(x)=xln, 易知函数f(x)的定义域为∪, f(-x)=-xln=-xln=xln=f(x), ∴a=0符合题意. 方法二:设g(x)=ln,函数g(x)的定义域是∪. g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x), ∴函数g(x)是奇函数. 而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)·g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x), 故x-a=x+a,则a=0.故选B. 4.D　方法一:由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即=,整理得eax=e2x,所以a=2. 方法二:由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即=,所以a=2.故选D. 5.B　函数f(x)==-1+,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1). 将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B. 6.0　∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即03+a=0,解得a=0. 7.2　f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1, ∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cos x+1, ∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2+(2-a)x+cos x+1,解得a=2. 8.-　ln 2　方法一:f(x)=ln+b,定义域为不等式组的解集. 因为函数f(x)为奇函数,所以其定义域关于原点对称,由1-x≠0,易知x≠1,所以函数f(x)的定义域中一定不含有-1, 所以x=-1是方程a+1-ax=0的根, 即a+1-a·(-1) =0,解得a=-. 所以f(x)=ln+b,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞). 由函数f(x)为奇函数知f(0)=0(提示:利用若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0这一特性), 所以f(0)=ln+b=0,解得b=ln 2. 方法二:f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0在定义域内恒成立. 故f(x)+f(-x)=ln+b+ln+b =ln+2b=0.(*) 要使(*)对定义域内任意x恒成立, 须知ln为常数, 即·为非零常数,设该常数为k, 故(a+1-ax)(a+1+ax)=k(1-x)(1+x),k≠0, 即(a+1)2-a2x2=k-kx2, 所以(a+1)2=a2=k,解得a=-,k=, 则f(x)+f(-x)=ln|k|+2b=ln+2b=0,b=ln 2. 9.1　∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x), 即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)]. 整理,得a·2x-2-x=-a·2-x-2x, 即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0. (a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1. 10.-4　∵y=f(x)是奇函数, ∴f(-8)=-f(8)=-=-4. 11.-3　∵ln 2∈(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数, ∴f(-ln 2)=-8. ∵当x<0时,f(x)=-eax, ∴f(-ln 2)=-e-aln 2=-8, ∴e-aln 2=8,∴-aln 2=ln 8,∴-a=3,∴a=-3. 12.-2　令g(x)=ln(-x),g(-x)=ln(+x), ∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0, ∴g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1. ∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2. ∴f(-a)=-2. 13.12　因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12. 考点14　函数的周期性 1.A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1). 从而f(x+2)=f(x+1)-f(x), f(x+3)=f(x+2)-f(x+1). 消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x), 从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6. 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2, f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2, f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2, f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3. 即f(k)=-3,故选A. 2.D　∵f(x+1)是奇函数, ∴f(-x+1)=-f(x+1). ∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x). ∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x). ∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x), ∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. ∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x), ∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0. ∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2), ∴f(0)=-f(2). ∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b, ∴由f(1)=0得a+b=0. ∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6. 即4a+b=-6,∴a=-2,b=2, ∴f=f=-f =--2×2+2=.故选D. 3.C　∵f(-x)=f(2+x)=-f(x), ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)的周期为4. ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0. ∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0). ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. ∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2. 4.D　由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数; 当x>时,由fx+=fx-可得f(x+1)=f(x). 所以f(6)=f(5×1+1)=f(1). 而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2. 所以f(6)=2.故选D. 5.　由f(x+4)=f(x),得函数f(x)的周期为4, 所以f(15)=f(16-1)=f(-1)==. 因此f(f(15))=f=cos=. 6.6　由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,其周期T=6. 又f(x)为偶函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=61=6. 考点15　函数性质的综合应用 1.A　由题知,f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(x), ∴f-=f=f=5-2×=-.故选A. 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解. 2.ABC　对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确; 对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确; 对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确; 对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC. 3.BC　∵f-2x是偶函数, ∴f+2x=f-2x, ∴函数f(x)的图象关于直线x=对称, ∴f(-1)=f(4).故C正确; ∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x), ∴g(x)的图象关于直线x=2对称. ∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称. ∵f(x)的图象关于直线x=对称, ∴g(x)的图象关于点,0对称. ∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数. ∴f(0)=f(2)=t(不一定等于0),故A错误; g-=g=0,∴B正确; 构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos 2π=π,故D错误.故选BC. 4.D　由g(x)的图象关于直线x=2对称, 可知g(x)=g(4-x). ∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5. 又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x). ∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7. 又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x). ∴f(x)的周期为4. 当x=0时,f(0)+g(2)=5, ∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1. 当x=2时,g(2)-f(-2)=7, ∴f(-2)=g(2)-7=-3, ∴f(2)=f(-2)=-3. 当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7, 又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1, ∴f(-1)=f(1)=-1, ∴f(3)=f(-1)=-1. ∴f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=5×(-1-3-1+1)-1-3=-24. 图象的对称性、函数的周期性、奇偶性的综合问题的求解策略 利用图象的对称性与函数的奇偶性,转化得到函数周期性的特征,进而求解. 掌握下面重要结论: (1)对于定义在R上的函数f(x) ①若有两条对称轴x=a,x=b,则f(x)是周期函数且2|a-b|是它的一个周期. ②若有两个对称中心(a,0),(b,0),则f(x)是周期函数且2|a-b|是它的一个周期. ③若有一个对称中心(a,0)和一条对称轴x=b,则f(x)是周期函数且4|a-b|是它的一个周期. (2)若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=或f(x+a)=-(a是常数且a≠0),则f(x)是以2a为一个周期的周期函数. (3)对于函数y=f(x),若其图象关于直线x=a对称[当a=0时,f(x)为偶函数],则 ①f(a+x)=f(a-x); ②f(2a+x)=f(-x); ③f(2a-x)=f(x). (4)对于函数y=f(x),若其图象关于点(a,b)中心对称,则 ①f(a+x)+f(a-x)=2b; ②f(2a+x)+f(-x)=2b; ③f(2a-x)+f(x)=2b. 5.B　∵f(x+2)是偶函数, ∴f(-x+2)=f(x+2),∴f(1)=f(3). ∵f(2x+1)是奇函数, ∴f(-2x+1)=-f(2x+1), ∴f(1)=-f(1),f(-1)=-f(3), ∴f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,故选B. 6.D　不等式xf(x-1)≥0可化为 或 ∵f(2)=0,∴f(-2)=0. ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0. ∵f(x)在(-∞,0)上单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减. ∴或 解得1≤x≤3或-1≤x≤0, ∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D. 求解抽象函数不等式的方法 在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.有时,在不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式.如若已知f(a)=0,f(x-b)<0,则f(x-b)<f(a). 7.A　由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ∵f(x)=x3-, ∴f(-x)=(-x)3-=-x3-=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 易知f(x)=x3-在区间(0,+∞)内单调递增.故选A. 8.D　由题意可知,f(x)的定义域为,关于原点对称.∵f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|, ∴f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)为奇函数. 当x∈-,时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x), ∴f'(x)=-=>0, ∴f(x)在区间-,内单调递增. 同理,f(x)在区间-∞,-,,+∞内单调递减.故选D. 9.D　由sin x≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,且函数f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x),故该函数为奇函数,其图象关于原点对称,选项B错误;令t=sin x,则t∈[-1,0)∪(0,1],由g(t)=t+的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),故f(x)无最小值,选项A错误;由f(2π-x)=sin(2π-x)+=-sin x-=-f(x),f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),故函数f(x)的图象关于直线x=对称,选项D正确.故选D. 10.C　因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确; 当<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间,π内单调递减,故②错误; 当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π; 当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误; 当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确; 综上可知①④正确,故选C. 11.C　∵f(x)是R上的偶函数, ∴flog3=f(-log34)=f(log34). 又y=2x在R上单调递增,∴log34>1=20>>. 又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减, ∴f(log34)<f()<f(), ∴f()>f()>flog3.故选C. 12.B　若f(1)=,则f()=1,f(1)=-,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=,则f=0,f(1)=-,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=0,则f=,f=-,与函数的定义矛盾,舍去. 因此f(1)的可能取值只能是,故选B. 13.B　设所求函数的图象上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q在y=ln x上,∴y=ln(2-x),故选B. 14.C　∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1). ∵奇函数f(x)在R上是增函数, ∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0. ∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立, ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3. 结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C. 15.D　因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3]. 16.②③　对于①,∵y=f(x)为R上的单调递增函数, ∴f'(x)≥0在x∈R上恒成立,而y=f(2x),f'(2x)=2f'(x)≥0在x∈R上恒成立, ∴[f(x)+f(2x)]'=f'(x)+2f'(x)≥0在x∈R上恒成立. ∴y=f(x)+f(2x)为单调递增函数,而y=-x为单调递减函数.∴f(x)+f(2x)=-x不成立,故①错误. 对于②,令f(x)=-,∴f(2x)=-, ∴f(x)+f(2x)=-x.∴存在在R上单调递减的函数f(x),使得f(x)+f(2x)=-x恒成立,故②正确. 对于③,设f(x)=kx+cos x(k∈R),f(-x)=-kx+cos(-x)=-kx+cos x, ∴f(x)+f(-x)=cos x,故③正确. 对于④,令F(x)=f(x)-f(-x),x∈R, 则F(-x)=f(-x)-f(x), ∴F(-x)=-F(x),∴F(x)为奇函数. 令g(x)=cos x,x∈R, g(-x)=cos(-x)=cos x=g(x),∴g(x)为偶函数, ∴f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个是不成立的,故④错误. 故填②③. 对于①,利用导数进行判断;对于②③,根据题意,设出f(x)的解析式(具体函数)进行判断;对于④,利用函数的奇偶性,判断结论的正确性. 17.f(x)=x2(x∈R),答案不唯一　∵f(x)=x2,∴f(x1x2)=(x1x2)2==f(x1)f(x2)满足①.又f'(x)=2x,∴当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,且f'(x)为奇函数,满足②③. 18.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)　如图,由y=x2和y=x的图象和函数的定义可知,若满足f(x0)的值为x0或,只有f(0)=0=02,f(1)=1=12,结合②可知若方程f(x)=a无实数解,则a∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 故答案为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 19.②③　对于①②,由sin x≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},故定义域关于原点对称,且由f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x), 所以该函数为奇函数,关于原点对称,故①错误,②正确; 对于③,因为f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,③正确; 对于④,令t=sin x,则t∈[-1,0)∪(0,1], 由函数g(t)=t+(t∈[-1,0)∪(0,1])的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错误. 20.-1　(-∞,0]　若函数f(x)=ex+ae-x为奇函数, 则f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x), (a+1)(ex+e-x)=0对任意的x恒成立,则a=-1. 若函数f(x)=ex+ae-x是R上的增函数,则f'(x)=ex-ae-x≥0恒成立,即a≤e2x,故a≤0. 21.f(x)=(答案不唯一)　画出f(x)=的图象如图所示,满足f(x)>f(0),x∈(0,2]. 但f(x)在[0,2]上不是增函数. 22.解 (1)由题意知,Mπ={x|f(x+π)=f(x),x∈R},当x=时,f+π=sin=-,f=sin=. ∵f+π≠f, ∴不属于Mπ. (2)由题意知,当Ma≠⌀时,f(x+a)=f(x)有解. 不妨设f(x1)=f(x2)=t,x1<x2, 结合f(x)的图象可知,t∈[0,2), ∴x1+2=t,=t,a=x2-x1=t2-(t-2)=t-2+∈,4. (3)由题意知,f(-x)=f(x). ∴当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=f(-x)=1-(-x)=1+x. ∵对任意a∈(0,2),Ma⊆M2,∴f(x+2)=f(x). ∴当x∈(1,2)时,x-2∈(-1,0),f(x)=f(x-2)=1+(x-2)=x-1, 即x∈(1,2)时,f(x)=x-1. 同理可得,x∈(2,3)时,f(x)=3-x; x∈(-3,-2)时,f(x)=x+3. 又f(-3)=f(3)=f(1)=f(-1)=0,f(-2)=f(0)=f(2), 结合f(x)图象可知,当f(-2)=f(0)=f(2)=c∈(0,1)时,f(x)-c=0在[-3,3]上至多有9个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $$