1.2 常用逻辑用语-【十年高考】备战2026年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§1.2　常用逻辑用语 课时 2016~2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 合计 5.全称量词与存在量词 1 0 0 0 1 0 2 6.充分条件与必要条件 16 4 2 3 2 2 29 命题热度 本专题命题热度较高() 课程标准 备考策略 (1)必要条件、充分条件、充要条件 ①通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系 ②通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系 ③通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系 熟练掌握充分条件与必要条件判断的基本方法.求参数问题需抓住“两”关键: ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解 ②要注意区间端点值的检验 (2)全称量词与存在量词 通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义 明确全称量词命题与存在量词命题的概念及符号表示,掌握含量词命题的解题策略 (3)全称量词命题与存在量词命题的否定 ①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 ②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 准确掌握含量词命题的否定格式及其应用,当一个命题的真假不易判定时,可以先判断其否定的真假 考点5全称量词与特称量词答案P216　 1.(2024·全国新高考2,2,5分,难度★)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 2.(讲解 2016·浙江,理4,5分,难度★★)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是(　　) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 考点6充分条件与必要条件答案P216　 1.(2025·北京,7,4分,难度★★)已知函数f(x)的定义域为D,则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025·天津,2,5分,难度★)已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2024·北京,5,4分,难度★★)已知向量a,b,则“(a+b)(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的(　　)条件. A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2024·天津,2,5分,难度★)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2023·全国新高考1,7,5分,难度★★)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6.(2023·天津,2,5分,难度★)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2023·全国甲,理7,5分,难度★★)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.(2022·北京,6,4分,难度★★★)设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(2022·浙江,4,4分,难度★)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.(2021·北京,3,4分,难度★)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.(2021·天津,2,5分,难度★)已知a∈R,则“a>6”是“a2>36”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(2021·浙江,3,4分,难度★★)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(讲解 2021·全国甲,理7,5分,难度★★)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14.(2020·北京,9,4分,难度★★★)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15.(2020·上海,16,5分,难度★★★)命题p:若存在a∈R且a≠0,对任意的x∈R,均有f(x+a)<f(x)+f(a)恒成立.已知命题q1:f(x)单调递减,且f(x)>0恒成立;命题q2:f(x)单调递增,存在x0<0使得f(x0)=0.则下列说法正确的是(　　) A.q1,q2都是p的充分条件 B.只有q1是p的充分条件 C.只有q2是p的充分条件 D.q1,q2都不是p的充分条件 16.(讲解 2020·天津,2,5分,难度★★)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.(2019·北京,文6,5分,难度★★)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 18.(讲解 2019·北京,理7,5分,难度★★)设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 19.(2019·天津,理3,5分,难度★★)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 20.(讲解 2019·浙江,5,4分,难度★★)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 21.(2018·北京,文4,5分,难度★★)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 22.(2018·天津,理4文3,5分,难度★★)设x∈R,则“<”是“x3<1”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 23.(2018·浙江,6,4分,难度★★)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 24.(2017·北京,理6,5分,难度★★)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 25.(2017·天津,理4,5分,难度★★)设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 26.(2017·浙江,理6,5分,难度★★)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 27.(2016·北京,理4,5分,难度★★)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 28.(2016·天津,理5,5分,难度★★)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的 (　　) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 29.(2016·山东,理6,5分,难度★★)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.2　常用逻辑用语 考点5　全称量词与特称量词 1.B　当x=0时,p不成立,当x=1时,q成立,故p假q真,故选B. 2.D　先改写量词,再由n≥x2的否定为n<x2,知选D. 考点6　充分条件与必要条件 1.A　∵f(x)的定义域为D,若f(x)的值域为R, 则对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M, ∴充分性成立. 反之,若任意M∈R,存在x0∈D,使|f(x0)|>M,则f(x)的值域不一定为R,此时f(x)的值域可能为[0,+∞), ∴必要性不成立.故选A. 2.A　当x=0时,sin 2x=0,而当sin 2x=0时,2x=kπ,x=,k∈Z.故选A. 3.A　若“a=b或a=-b”,则a+b=0或a-b=0, 故“(a+b)(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故选A. 4.C　由题意,知a3=b3⇔a=b,3a=3b⇔a=b,则a3=b3⇔3a=3b,即二者互为充要条件.故选C. 5.C　(充分性)若{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,则=a1+d=n+a1-, 故-=,为常数,则为等差数列,则甲是乙的充分条件. (必要性)反之,若为等差数列,设=An+B,A≠0,则Sn=An2+Bn,a1=S1=A+B. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B. 当n=1时也符合上式, 故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C. 6.B　由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以a2=b2,故必要性成立;又当a=1,b=-1时,满足a2=b2,而a2+b2=2ab不成立,故充分性不成立.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 7.B　由sin α+cos β=0,得sin α=-cos β,等号两边同时平方,得sin2α=cos2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,故必要性成立. 当α=β=时,sin2α+sin2β=1成立,而sin α+cos β=≠0,故充分性不成立. 综上,“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的必要条件但不是充分条件.故选B. 8.C　①充分性证明: 若{an}为递增数列,则有对∀n∈N*,an+1>an,公差d=an+1-an>0,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d). 令an>0,则n>1-. 当a1≥0时,取N0=2; 当a1<0时,取正整数N0=-+2其中-为不大于-的最大整数, 则当n>N0时,由于>0,都有an=a1+(n-1)d>a1+-+1d>0,故充分性成立. ②必要性的证明: 假设数列{an}的公差d<0. an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d). 令an<0,则n>, 显然当n取比N0和都大的正整数时,an<0. 这与存在正整数N0,当n>N0时,an>0矛盾,所以d>0,即{an}为递增数列,故必要性成立.故选C. 9.A　由sin x=1,得x=2kπ+,k∈Z,此时cos x=0; 由cos x=0,得x=kπ+,k∈Z,此时sin x=±1,故选A. 10.A　当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1);当函数f(x)在区间[0,1]上的最大为f(1)时,函数f(x)在区间[0,1]上不一定单调递增.故选A. 11.A　a2>36等价于|a|>6⇔a>6或a<-6,故a>6⇒|a|>6,即a2>36,但|a|>6⇒/a>6,因此“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件. 12.B　当c与a,b垂直时,a·c=b·c=0,但a与b不一定相等,所以由a·c=b·c不能推出a=b, 故“a·c=b·c”不是“a=b”的充分条件. 由a=b,可得a-b=0,则(a-b)·c=0,即a·c=b·c, 所以由a=b可以推出a·c=b·c, 故“a·c=b·c”是“a=b”的必要条件. 综上所述,“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件.故选B. 13.B　当q=1时,Sn=na1,只有当a1>0时,数列{Sn}才是递增数列,故甲不是乙的充分条件;若数列{Sn}是递增数列,则Sn-Sn-1>0对任意n≥2,n∈N*恒成立,即an=a1qn-1>0(n≥2,n∈N*)恒成立,所以a1>0,q>0,因此甲是乙的必要条件.故甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B. 充分条件和必要条件的判定 充分条件和必要条件的判定,针对具体情况,应采取不同的策略,关键是分清条件和结论以免混淆充分性与必要性.对于那些带有否定的条件和结论,往往先通过集合转化为补集间的关系,再进行求解,如A⊆B⇔∁UB⊆∁UA,应认真领会这种“正难则反”的思想,培养思维的灵活性. 14.C　(1)当存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ时, 若k为偶数,则sin α=sin(kπ+β)=sin β; 若k为奇数,则sin α=sin(kπ- β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π- β)=sin β; (2)当sin α=sin β时,α=β+2mπ或α+β=π+2mπ,m∈Z, 即α=kπ+(-1)kβ(k=2m)或α=kπ+(-1)kβ(k=2m+1), 亦即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ. 所以,“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的充分必要条件.故选C. 15.A　q1:当a>0时,f(a)>0,因为函数f(x)单调递减,所以f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a),即f(x+a)<f(x)+f(a),存在a>0,当满足命题q1时,使命题p成立. q2:当a=x0<0时,f(a)=0,因为函数f(x)单调递增,所以f(x+a)<f(x)=f(x)+f(a),即f(x+a)<f(x)+f(a),存在a<0,当满足命题q2时,命题p成立. 综上,可知命题q1,q2都是命题p的充分条件.故选A. 16.A　若a>1,则a2>a成立.若a2>a,则a>1或a<0. ∴“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A. 17.C　当b=0时,f(x)=cos x+bsin x=cos x,f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)对任意的x恒成立,f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cos x-bsin x,由cos x+bsin x=cos x-bsin x,得bsin x=0对任意的x恒成立,从而b=0.从而“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件,故选C. 根据定义域为R的函数f(x)为偶函数等价于f(-x)=f(x)进行判断. 18.C　∵A,B,C三点不共线,∴|+|>||⇔|+|>|-|⇔|+|2>|-|2⇔·>0⇔与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C. 19.B　由x2-5x<0,得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2.故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件. 20.A　当a>0,b>0时,a+b≥2,若a+b≤4,则2≤a+b≤4,所以ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件. 21.B　ad=bca,b,c,d成等比数列,例如1×9=3×3;a,b,c,d成等比数列⇒=⇒ad=bc.故选B. 22.A　由<,可得0<x<1.由x3<1,可得x<1.因为(0,1)⫋(-∞,1), 所以“<”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A. 23.A　当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,m与n还可能异面.故选A. 24.A　m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件.故选A. 25.A　当<时,0<θ<,∴0<sin θ<. ∴“<”是“sin θ<”的充分条件. 当θ=-时,sin θ=-<,但不满足<. ∴“<”不是“sin θ<”的必要条件. ∴“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件. 26.C　因为Sn=na1+d, 所以S4+S6>2S5⇔10a1+21d>10a1+20d⇔d>0,即“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件,选C. 27.D　由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D. 28.C　由题意,得a2n-1+a2n<0⇔a1(q2n-2+q2n-1)<0⇔q2(n-1)·(q+1)<0⇔q∈(-∞,-1),因此,q<0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0的必要不充分条件.故选C. 29.A　若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$