学易金卷：八年级数学上学期第一次月考01（浙江专用，浙教版2024八上1～2章：三角形初步+特殊三角形）

2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D B B A C C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．平行四边形是两组对边分别相等的四边形 12．1.4 13．5 14．6 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）【详解】（1）解：， ， ， ，即；······（2分） ， ， 同号且非零， ，即，······（2分） 综上，线段b是这三条线段中最长的线段． （2） ， ， ， ，······（2分） ， ， ，即，不满足三角形三边关系，······（2分） 以这三条线段长为边无法构造三角形。 18．（8分）【详解】证明： ······（1分） ．······（1分） ．······（1分） 在和中， ，······（3分） ······（1分） ······（1分） 19．（8分）【详解】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ，······（2分） ， ，······（1分） ， 是直角三角形；······（1分） （2） ······（2分） （平方米）．······（2分） 20．（8分）【详解】（1）证明：如图所示， ······（2分） ∴ ∴， ∵， ∴······（1分） ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴······（1分） （2）：如图所示， ······（3分） 21．（8分）【详解】（1）证明：，， ，， ， ，······（2分） ， ， 即；······（2分） （2）解：设， ， ， ， ， ，······（2分） ， ， ， 解得，······（2分） ． 22．（10分）【详解】（1）解：如图，作边上的高， ······（1分） ， ，······（2分） ， ， 解得，······（1分） （2）过点C作于点F，如图3， ······（1分） ∵是边的中线， ∴，······（1分） 设，则，， 由勾股定理得：，， 即，得： ， ，······（1分） ， ，······（1分） ， 即，······（2分） ． 23．（10分）【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，······（2分） ∴；······（1分） （2）解：如图，过点C作． ∵平分，， ∴． ∵， ∴，则．······（2分） ∵， ∴． ∴；······（1分） （3）解：如图，分别作点C关于、的对称点、，连接，分别交、于点M、N． ······（1分） ∴，，，， 根据两点之间线段最短得到：的周长最小值为． 连接、． ∵、分别垂直平分、， ∴，······（1分） ∴． ∴是等边三角形． ∴．······（2分） ∴的周长最小值为8． 24．（12分）【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， ······（1分） 在和中， ， ∴，······（1分） ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：；······（1分） （2）仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ······（1分） ∵ ∴， 在和中， ， ∴，······（1分） ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；······（1分） （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ······（1分） ∵， ∴， 在和中， ，······（1分） ∴， ∴， ∵， ∴，······（1分） 在和中， ， ∴，······（1分） ∴， ∵， ∴， ∴，······（1分） 即， ∴．······（1分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11． ________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2024八年级数学上册第1~2章（三角形的初步认识+特殊三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．14 3．下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 4．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 7．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 9．如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 12．如图，已知在中，，、分别是边上的中线和高，若，，则 ． 13．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 14．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 15．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 16．如图，，，，，…，当，时， ．      三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知三条线段，，（，且）． (1)证明：线段b是这三条线段中最长的线段； (2)请说明是否能以这三条线段长为边构造三角形． 18．（8分）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 19．（8分）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 20．（8分）如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 21．（8分）如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 22．（10分）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 23．（10分）如图，射线平分，，，． (1)求证：； (2)若线段，求线段的长； (3)已知点M、N分别是、上的两个动点，且均不与点O重合，连接、和．若，求的周长的最小值． 24．（12分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年上学期第一次月考卷 八年级数学·答题卡 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2024八年级数学上册第1~2章（三角形的初步认识+特殊三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2．已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．14 【答案】B 【详解】解：当为腰时，，不符合三角形三边关系， 当为腰时，等腰三角形的三边为：，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 3．下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 【答案】D 【详解】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故该命题是假命题，A选项不符合题意； B．每个定理不一定有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故“对顶角相等”没有逆定理． 故该命题是假命题，B选项不符合题意； C．等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，故该命题是假命题，C选项不符合题意； D．因为等腰三角形的两个底角相等，故两个底角的和一定小于， 故每个底角都是小于的角， 即等腰三角形的底角一定是锐角，故该命题是真命题，D选项符合题意． 故选：D． 4．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， 为的角平分线， ， 为的高， ， ， ， 故选：B． 6．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 8．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 9．如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：平分，，， ． 在的垂直平分线上， ． 在与中， ， ． ． ． 故选：B． 10．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点作于点    由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 由上述证明，设，则，，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 【答案】平行四边形是两组对边分别相等的四边形 【详解】解：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是“平行四边形是两组对边分别相等的四边形”， 故答案为：平行四边形是两组对边分别相等的四边形． 12．如图，已知在中，，、分别是边上的中线和高，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：在中，， 是边的中线， ， 是的高线， ， ∴， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 13．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 14．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 【答案】6 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个； ②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个． 所以使得为等腰直角三角形的点P有6个． 15．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线，即有是的边上的中线， ∴，， ∴， ∵是的边上的中线，即有是的边上的中线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 16．如图，，，，，…，当，时， ．      【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵，是的外角 ∴ 同理可得，， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知三条线段，，（，且）． (1)证明：线段b是这三条线段中最长的线段； (2)请说明是否能以这三条线段长为边构造三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ，即；······（2分） ， ， 同号且非零， ，即，······（2分） 综上，线段b是这三条线段中最长的线段． （2） ， ， ， ，······（2分） ， ， ，即，不满足三角形三边关系，······（2分） 以这三条线段长为边无法构造三角形。 18．（8分）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 【详解】证明： ······（1分） ．······（1分） ．······（1分） 在和中， ，······（3分） ······（1分） ······（1分） 19．（8分）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【详解】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ，······（2分） ， ，······（1分） ， 是直角三角形；······（1分） （2） ······（2分） （平方米）．······（2分） 20．（8分）如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 【详解】（1）证明：如图所示， ······（2分） ∴ ∴， ∵， ∴······（1分） ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴······（1分） （2）：如图所示， ······（3分） 21．（8分）如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ，······（2分） ， ， 即；······（2分） （2）解：设， ， ， ， ， ，······（2分） ， ， ， 解得，······（2分） ． 22．（10分）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 【详解】（1）解：如图，作边上的高， ······（1分） ， ，······（2分） ， ， 解得，······（1分） （2）过点C作于点F，如图3， ······（1分） ∵是边的中线， ∴，······（1分） 设，则，， 由勾股定理得：，， 即，得： ， ，······（1分） ， ，······（1分） ， 即，······（2分） ． 23．（10分）如图，射线平分，，，． (1)求证：； (2)若线段，求线段的长； (3)已知点M、N分别是、上的两个动点，且均不与点O重合，连接、和．若，求的周长的最小值． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，······（2分） ∴；······（1分） （2）解：如图，过点C作． ∵平分，， ∴． ∵， ∴，则．······（2分） ∵， ∴． ∴；······（1分） （3）解：如图，分别作点C关于、的对称点、，连接，分别交、于点M、N． ······（1分） ∴，，，， 根据两点之间线段最短得到：的周长最小值为． 连接、． ∵、分别垂直平分、， ∴，······（1分） ∴． ∴是等边三角形． ∴．······（2分） ∴的周长最小值为8． 24．（12分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， ······（1分） 在和中， ， ∴，······（1分） ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：；······（1分） （2）仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ······（1分） ∵ ∴， 在和中， ， ∴，······（1分） ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；······（1分） （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ······（1分） ∵， ∴， 在和中， ，······（1分） ∴， ∴， ∵， ∴，······（1分） 在和中， ， ∴，······（1分） ∴， ∵， ∴， ∴，······（1分） 即， ∴．······（1分） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2024八年级数学上册第1~2章（三角形的初步认识+特殊三角形）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．14 3．下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 4．已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 7．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 9．如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 12．如图，已知在中，，、分别是边上的中线和高，若，，则 ． 13．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 14．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 15．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 16．如图，，，，，…，当，时， ．      三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知三条线段，，（，且）． (1)证明：线段b是这三条线段中最长的线段； (2)请说明是否能以这三条线段长为边构造三角形． 18．（8分）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 19．（8分）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 20．（8分）如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 21．（8分）如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 22．（10分）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 23．（10分）如图，射线平分，，，． (1)求证：； (2)若线段，求线段的长； (3)已知点M、N分别是、上的两个动点，且均不与点O重合，连接、和．若，求的周长的最小值． 24．（12分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$