17.3 第3课时 勾股定理的逆定理&微专题10 利用勾股定理解决折叠、最路径问题-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（冀教版2024）

©第3课时 ①基础在线 》 知识要点分类练 知识点勾股定理的逆定理 1.(保定期中)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对 边分别是a,b,c,若2=a2十c2,则 () A.∠A=90 B.∠B=90 C.∠C=90 D.以上都不对 2.(张家口期中)以下列各组数为边长，能构成直 角三角形的是 A.1,1,2 B.4,5,6 C.6,8,11 D.5,12,23 3.已知a,b,c是三角形的三边长，如果满足 (a-6)2十√6一8+c-10=0,则三角形的 形状是 () A.底与腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 4.(邯郸期末)如图，在△ABC中，AB=4,AC=3, BC=5,D为边BC的中点，则点A与点D的距 离为 A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 街道 第4题图 第6题图 2能力在线 >方法规律综合练 5.五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25，现 将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的 是 25 20 D 股定理的逆定理 6.(教材P180习题T3变式)某市在创建“全国 文明城市”期间积极开展生态环境整治.志愿 者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形 空地ABCD(如图)进行绿化.经测量，∠ABC 90°，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m, 则空地的面积为 7.在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建 帐篷.如图是搭建帐篷的示意图.在△ABC 中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架 BC上，且AD⊥BC于点D,经测量，得AB= 2m,AD=1.2m,CD=0.9m.按照要求，帐篷 支架AB与AC所夹的角需为直角.请通过计 算说明学生搭建的帐篷是否符合条件. ③拓展在线》培化拔尖提开练 8.(邯郸二模)如图，在网格图 (每个小方格均是边长为1的 正方形)中，以AB为一边作 直角三角形ABC,要求顶点C 在格点上，则图中不符合条件的点是() A.C B.Cz C.Cs D.C 第十七章104 微专题10利用勾股定理 类型①利用勾股定理解决折叠问题 1.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB= 8cm,AD=4cm,BC=CD,E是AB上一点， 将△CBE沿CE折叠，B,D两点恰好重合，则 DE的长度为 D B 第1题图 第2题图 2.(中考·常州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=6,BC=4,D是边AC的中点，E 是边BC上一点，连接BD,DE.将△CDE沿 DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE 类型②利用勾股定理解决最短路径问题 3.(河北期中)如图，这是一个三级台阶，它的每 一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A 和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有 一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则 蚂蚊沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 dm,确定最短路径的依据是 20 第3题图 第4题图 4.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方 体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行 的最短路线的长是 5.【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径 最短？（π取3） 素材1：如图①，圆柱体的高AC为12cm,底 面直径BC为6cm,在圆柱下底面圆周上的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B点处的食物.若蚂蚁沿图①中的折 105探究在线八年级数学（上）·刀 解决折叠、最短路径问题 线A→C→B爬行的路径记为“路线一”，此时 最短路程是12+6=18cm.将圆柱沿着AC将 侧面展开得到图②，在图②中蚂蚁爬行的路径 记为“路线二”，此时最短路程是 cm;比 较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 (用“一”或“二”填空)； 图① 图② 测量路径 调节圆柱高 的细线 度的橡皮筋 底面圆直径为6cm 圆柱底面直径 高为10cm的圆柱 图③ 素材2：如图③，通过调节橡皮筋的位置达到 改变圆柱高度的目的， (1)两种路线路程的长度如表所示（单位：cm): 國柱 沿路线 沿路线 比较x与 高度 一路程x 二路程y y的大小 5 11 √106 x>y 4 10 √97 I>y 3 a 3/10 b (2)填空：表格中a的值是 :表格中b表 示的大小关系是 (3)思考：若圆柱的半径为r,圆柱的高为h.在 r不变的情况下，当圆柱半径r与圆柱高度h 存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两 种爬行路线的路程相等？17,3如般定理 第之课时与段发厘的应则 第1采时日是定定 瑟程在线 基留在线 1,D2,C1D4.D LA 2.D 3.A LA .(1山w意可知，AC一12m,A出=的厘，AC1 (1)"∠C=904=18,b=12, AC. “r”16+1四-6 2》∠C=90°，-10.0=12 答：C的长为16m a-13-2-5. （10÷15-兰=107m'd 6.在R△AC中， ,'E-AB十AC-6十8=100，，C=10 答：这辆小汽车在C段的凉度约是，7m% :AD⊥C,AB·AC=·AD 能力在城 甲6×8=t0AD.AD=4.8. ￥AD1BC,:△ABD是直角兰角形 元D无0，而m83 “BD=A一A7=√份4,8=名 .(1),AB一25m,BC-15m-∠CB-90. 在△ACB中，由幻段定理，得 ÷,D=CBD=1目=8.6=6.4. AC=√A-=2-13-0(m). 7.ut6 Tfutyutby tot 将，这架云柳的衡油部将面的高度AC品20m (2由越意，A1'■m,4■(0-1m A'B'-25 发D 在R1△A'C中，CB-V/'B-A 能力在线 √3-41-x, 9.B10.1D11.B12.A 13.,D为题AB上的高.∴∠ADC-∠BD-Y .那-C-一（√四可上）一6》m 城=cCD=15m 管：云梯的底得水平带动的距离是 ,D=/一C=12(幽. :△AC是等鞭三角形，AB一AC (3)A425m54-im 设AB=AC=rm,第AD=(r-12)m, 在R△A0C中，出匀取定理，得A-CD+AF “由每表定程.得AC2图一了=10,6m 甲广0+6一12y.那得x一兰 答，云梯的预增所能远到的量大高度是10丽m. 拓展在线 六a-A-cm 10.& 慕多课时肉疑定理的证宠理 AC的周长为即学+警-学am 落础在线 1,B2.A&D.C 椭展在线 能力在线 14.I正明，过点Af作AD⊥C干点D 6.e4.114m A8-AC.ADLBC.BD-BC-5 7,AD1.∠AD站=∠AC=0' 在R△ABD中，AD+D-AF, 山匀厦定理，得AD一，B一F一25 1.2+BW-g,4BD-1,6m AD=BC,即△A以C是“美制三角形”， .BD+CD=1.G+0.9=2.5m 在RL△ACD中，AD+CD-AC .1.2+0,9=A”.A=1.3 :A形+-里+1.3-25，仪-2F-6.25, AB十A9=以，∠BAC=90 )当AC边上的中线BD等于4C时 ,学生折建的展篷符合暴件 c-√D-万=6： 拓服在线 当C边上的中线AE笔于C到，C=A .1》 CE. 微香置0利用句量足理解决折叠，量短路径问题 甲C-(C)-4),解有B一8 1,5m三号8,2行两点之间线取最根6,10 综上质述，的长是6成风 5,室材1：15□ 28 一家究在纸·八 素材29<y ,I△DF2k△EID(HL). 《)根据思意，得A+2-干77 .∠CFD=∠B 甲6+wr十护-+9r- (2),R△CDFOR1△EDB,AB-16,AF-10 CF-ER. 故当一时，与纹在同住表面的两静爬厅路线 设CF-r,图AE-A8-EB=16广EB-16 CFw16一r: 的路程相等。 17,。直角三角形全等的判定 在R1△ACD拖R△AED中，：DC-DE, AD-AD. 基磁在战 R△ACD2R△AEID(HI 1.D3,B1B 六，AC=AE,围AF+FC-AE. 4.E⊥AC,DF⊥AC 10十r白1一r.解得x=3.F=3 ∴.∠AEB-∠CFD-0 .AC-1o+3=1a.AC的长为13 YAF-CE.AE-CF. 7,5反证法 在R△ABE和R△CDF中.“E=C学 IAB-CD. 基图在线 1.A2.D3.D R1△ABEARL△CDF(IHl). 能力在线 五，如图，R:△AB山为所求 L(DB 【2》证明：若，∠AB∠1C, AB-AC,这与已知ACAB相手盾 综上，∠ACB>∠A 拓愿在线 《21证明，∠AC-∠AB=0, &.假设，与常是原方程的根，面且，产 则有，十=目与，十b=0都战这，将这两个 ∠8DC=∠EB=0 等式相减，再a《了一)=0.置，一产0，乐以 ∠BD0=∠EO, 在△AB和△C中.'∠B-∠， =0.这与题设u≠0相矛肾：放原方程的根摩一 晚段测评(17.317.5) OB-OC. LD2B3.4.D5.A6.H △D☑△EOCCAAS),∴N= 7,两条直线相交，有两个减两个上的交点 在△A0程△ABD中，：00能 &3108.210.1511.613,84.85)12. 六R△ADaR1△LEOLHI.》.∠I=∠2 假设∠DAB是纯角或直角. 能力在线 AD是底边上的高 7:D8.3t1 ∠B4C-2∠DAB. 10.(1)BC-AD.理由如下： :∠DA:是纯角或直角： AC⊥BC,AD LAD,∠C=∠D0 “2∠DAB13,不符合三角形内物和定理 在Rs△ABC和R△BAD中， ,餐设不成立， ✉A ∴∠D14是个晚角， 1L(1》:AD,AF分别是两个掬角△ABC和 R△AB2R△4D(HL.,HC=AD △ABE的高.，∠D一∠F=90, (2)证明，由11得Rt△A以CGR△BAD, 在R△AD和△ABF中， ∠AB=∠BAD..OAmB, ,点O在边A日的垂直平分线上： AB-AB. TADAF. 又，E是AB的中点，二AE-BE ,Rt△ABD☑RL△ABF(用1..BD-BF 点E在边A目的垂直平分线上. 线程OE所在直线是边AB的柔直平分线。 但在△AC有和△APE中，：A 括展在线 ,kt△ADaR1△AFER HL.).,CD=EF 1L.(1)正明：：AD平分∠A心，∠C-.DB1 由)得D=F, AB. ,BDCD=BFEF,即=E DE-DC. I5,I)两支复AC与B的位置美系为，AC1二，理 在R△DF和R1△EDB中 由如下： IC-DE. DF-DB. 在△AC中，AC=72描.C-4m,A 0m,且72+54■90， 数学（上》+川