第9讲 等腰三角形 暑假预习自学课2025-2026学年人教版数学八年级上册

暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第9讲等腰三角形 ·内容一 等腰三角形的性质 ·内容二 等腰三角形的判定 ·内容三 课后作业 等腰三角形的性质 等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45°. 【考点1：等边对等角】 例题1.在中，，，则  (    ) A. B. C. D. 变式1.已知一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为(    ) A. B. C. D. 变式2.如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，且，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 变式3.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是，则这个等腰三角形的顶角度数为          ． 变式4.如图，在中，，是内一点，且求证：． 变式5.如图，在中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【考点2：数等腰三角形的个数】 例题2.如图，在中，，，是的角平分线．若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 B. 变式1.如图，在中，，，点、为上的点，，则图中等腰三角形的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 变式2.在中，，，垂直平分，垂足为，交于点，延长交延长线于点，连接、图中等腰三角形共有个． A. B. C. D. 变式3.如图，，，则图中的等腰三角形有          个． 【考点3：三线合一】 例题3.已知是等腰三角形底边上的高，若点到直线的距离为，则点到直线的距离为  (    ) A. B. C. D. 变式1.如图，在中，，于点，则下列结论不一定成立的是  (    ) A. B. C. D. 变式2..如图，在中，，平分若，则的长为(    ) A. B. C. D. 变式3.如图，在中，，于点若，，则的周长是          ． 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【考点1：等腰三角形的判定 】 例题1.如图，已知是的一个外角，平分，且求证：为等腰三角形． 变式1.已知：如图，是的一个外角，平分，求证：是等腰三角形． 变式2.如图，在中，，，交于点，交于点，也是等腰三角形吗？为什么？ 变式3.如图，在中，，，点，在上．试说明：是等腰三角形． 变式4.如图，在中，平分交于点，过点作，交的延长线于点，且已知，求证：是等腰三角形． 变式5.已知：如图，锐角的两条高、相交于点，且． 求证：是等腰三角形． 变式6.如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形． 【考点2：等腰三角形的性质和判定综合 】 例题1.如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． 求证：为等腰三角形； 若，求的长． 变式1.如图，已知点到的两边、的距离相等，且． 如图，若点在上，求证：是等腰三角形； 如图，若点在内部，求证：； 变式2.如图，在中，，是的中线，是的平分线，交的延长线于。 若，求的度数；求证：是等腰三角形。 变式3.已知：如图，中，平分，平分，过作直线平行于，交、于、求证： 是等腰三角形； ． 变式4.如图，在中，，、分别是，边上的点，并且． 求证：是等腰三角形； 点是上的一点，并且平分，求证：是等腰三角形． 变式5.如图，在等边三角形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，已知． 求证：是等腰三角形． 当，时，求的面积． 变式6.如图，在中，点分别在边上，，平分． 求证：是等腰三角形； 若，，求的度数． 变式7.如图，已知中，，，平分，为的中点，为延长线上一点，且． 求的长； 求证：是等腰三角形． 变式8.如图，在四边形中，，，，是的中点， 求证：≌． 求证：是线段的垂直平分线． 是等腰三角形吗？请说明理由．  变式9.如图，在中，，，平分交于点，过点作，交的延长线于点． 求的度数； 求证：是等腰三角形． 变式10.如图，在中，，的平分线交于，过作交于，交于． 求证：为等腰三角形； 已知，，求长． 变式11.如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． 求证：为等腰三角形； 已知，求的长． 变式12.如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，． 求证：是等腰三角形； 若，判断是否为等边三角形，并说明理由． 变式13.如图，是的角平分线，且，过点作，交于点． 求证：是等腰三角形； 若，求的长． （满分120分） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在等腰中，，，点在边上，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.在中，已知，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，已知和相交于点，，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.在中，若，，则的大小为(    ) A. B. C. D. 5.如图，是等腰三角形，，是延长线上一点．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.已知等腰的一个角为，则其底角的度数为          ． 7.如图，在中，，分别在边，上取点，，使，连接，若，则的度数为          ． 8.如图，在中，平分交于点，过点作交于点已知，，则的长为          ． 9.如图，在中，平分交于点，交于点若，，则的长为          ． 10.如图，已知，是的中线，，那么           三、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，在中，，，求的度数． 12.如图，已知等腰和等腰有一条公共边，且，，，若，求的度数．   13.如图，在中，，是三角形内一点，连接，，，且求证：． 14.如图，在中，是边上的一点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点若，求证：是等腰三角形． 15.如图，是的外角，，求证：． 16.如图，在中，，于点． 若，求的度数； 若点在边上，，交的延长线于点求证． 17.如图，在中，，是边的中点，连接，平分交于点． 若，求的度数； 过点作交于点，求证：是等腰三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第9讲等腰三角形 ·内容一 等腰三角形的性质 ·内容二 等腰三角形的判定 ·内容三 课后作业 等腰三角形的性质 等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45°. 【考点1：等边对等角】 例题1.在中，，，则  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【解答】 解：， ， ， 故选：． 变式1.已知一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2.如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，且，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， ， ， ， ， 故选：． 根据三角形的内角和定理得到，根据对顶角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 变式3.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是，则这个等腰三角形的顶角度数为          ． 【答案】或  变式4.如图，在中，，是内一点，且求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ，即．  变式5.如图，在中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【答案】解：是的垂直平分线，，设，则，，，解得．  【考点2：数等腰三角形的个数】 例题2.如图，在中，，，是的角平分线．若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】，，是等腰三角形，是的角平分线，，，，是等腰三角形．在中，，，，是等腰三角形．又，，是等腰三角形，是的外角，，，，，是等腰三角形．综上所述，等腰三角形共有个． 变式1.如图，在中，，，点、为上的点，，则图中等腰三角形的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边即可判断． 根据，，易求，且知道是等腰三角形，再结合，又易求，进而可求，，从而可判断、、、、是等腰三角形． 【解析】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，、、、、是等腰三角形， 一共有个等腰三角形． 变式2.在中，，，垂直平分，垂足为，交于点，延长交延长线于点，连接、图中等腰三角形共有个． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质 分别求出各个角的度数根据等腰三角形得判定判断即可． 【解答】 解：， ，为等腰三角形， 垂直平分， ， ，为等腰三角形， ， ，， 为等腰三角形， 又 ， 为等腰三角形， 故图中等腰三角形共有对． 故选C． 变式3.如图，，，则图中的等腰三角形有          个． 【答案】  【考点3：三线合一】 例题3.已知是等腰三角形底边上的高，若点到直线的距离为，则点到直线的距离为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：是等腰底边上的高， 是顶角的平分线， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 故选：． 根据等腰三角形的性质：三线合一，可知也是顶角的平分线，然后根据角平分线的性质，即可得到点到直线的距离． 本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质解答． 变式1.如图，在中，，于点，则下列结论不一定成立的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式2..如图，在中，，平分若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式3.如图，在中，，于点若，，则的周长是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质． 由题意可知，为等腰三角形，则可知，，即可求得答案． 【解答】 解： 在中， ，于点，，， ，， ， 的周长， 故答案为． 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【考点1：等腰三角形的判定 】 例题1.如图，已知是的一个外角，平分，且求证：为等腰三角形． 【答案】证明：平分， ， ， ，， ， ， 为等腰三角形．  变式1.已知：如图，是的一个外角，平分，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：平分， ， ， ，， ， ． 故是等腰三角形．  【解析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，，然后求出，再根据等角对等边即可得证． 变式2.如图，在中，，，交于点，交于点，也是等腰三角形吗？为什么？ 【答案】解：是等腰三角形．理由：，，，是等腰三角形．  变式3.如图，在中，，，点，在上．试说明：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， ，，， ， ，即是等腰三角形．  变式4.如图，在中，平分交于点，过点作，交的延长线于点，且已知，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形．  变式5.已知：如图，锐角的两条高、相交于点，且． 求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， 锐角的两条高、相交于点， ， ， ， ， ， 是等腰三角形；  【解析】由，即可求得，又由，锐角的两条高、相交于点，根据三角形的内角和等于，不难证得是等腰三角形． 此题考查了等腰三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意等角对等边的应用． 变式6.如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， 又， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形．  【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和度数，即可得到，继而利用等腰三角形的判定可得证． 本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是求出度数． 【考点2：等腰三角形的性质和判定综合 】 例题1.如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． 求证：为等腰三角形； 若，求的长． 【答案】(1)证明：∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°， ∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BFE=∠D． ∵∠BFE=∠AFD，∴∠D=∠AFD， ∴AD=AF，∴△ADF为等腰三角形；   (2)解：如图，过点A作AG// BC交DE于点G， ∵AG// BC，DE⊥BC，∴∠AGF=∠BEF=90°，∠GAF=∠EBF． ∵F为AB的中点，∴AF=BF， 在△AFG和△BFE中， ∴△AFG△BFE（AAS），∴GF=EF， 由（1）可知AD=AF， ∵∠AGF=90°，∴DG=GF，∴DG=GF=EF， ∴DE=DG+GF+EF=3EF=9．   【解析】 关键点：证明三角形为等腰三角形，不仅可以真接从两边相等出发，也可以证明两个底角相等，从而证明两腰相等 变式1.如图，已知点到的两边、的距离相等，且． 如图，若点在上，求证：是等腰三角形； 如图，若点在内部，求证：； 【答案】(1)证明：如图所示，过点作垂足分别为； 依题意，， 在和中 ， )， ， ， 是等腰三角形；   (2)如图所示，过点作垂足分别为； 依题意，， 在和中， ， )， ， 又， ， ，即， ． 【解析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；熟练的判定三角形是等腰三角形是解本题的关键． 先利用斜边直角边定理证明和全等，根据全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边的性质即可得到；  先证明和全等，得到，又因为，得到，利用等式的性质得到，即可得到． 变式2.如图，在中，，是的中线，是的平分线，交的延长线于。 若，求的度数；求证：是等腰三角形。 【答案】解：是等腰三角形，为底边的中点， ，， ， ； 证明：是等腰三角形，为底边的中点， 即， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形．  【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到，，从而可得到； 根据等腰三角形三线合一的性质可得到：即，再根据角平分线的性质即可得到，从而可推出． 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 变式3.已知：如图，中，平分，平分，过作直线平行于，交、于、求证： 是等腰三角形； ． 【答案】(1)证明：（1）  平分  ，  ，  ，  ，  ，  ，  是等腰三角形   (2)证明：   平分  ，  ，  ，  ，  ，  ， 由（1）得，  ，  ．   【解析】 根据平行线的性质和角平分线的性质，解出  是等腰三角形  根据平行线的性质和角平分线的性质，解出  是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论． 变式4.如图，在中，，、分别是，边上的点，并且． 求证：是等腰三角形； 点是上的一点，并且平分，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形．  【解析】先利用等腰三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到，，则，然后可判断是等腰三角形； 先根据平分得到，再根据平行线的性质得到，于是得到，然后可判断是等腰三角形． 本题考查了等腰三角形的性质、判定：有两边相等的三角形为等腰三角形；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了平行线的性质，角的平分线． 变式5.如图，在等边三角形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，已知． 求证：是等腰三角形． 当，时，求的面积． 【答案】(1)证明：因为△ABC是等边三角形， 所以∠ABC＝∠ACB＝60°． 因为∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，所以∠E＝∠DCB， 所以DE＝DC， ​​​​​​​所以△DEC是等腰三角形．  (2)解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α． 所以∠E＝∠DCE＝60°-α， 所以6α+60°-α+60°-α＝180°，解得α＝15°． 所以∠E＝∠DCE＝45°， 所以∠EDC＝90°， 所以△DEC是等腰直角三角形． 过点D作DH⊥CE于点H， 所以∠EDH＝∠E＝45°， 所以  ． ​​​​​​​所以△EDC的面积为  ．  变式6.如图，在中，点分别在边上，，平分． 求证：是等腰三角形； 若，，求的度数． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形；   (2)解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， .   【解析】 利用角平分线的定义得出，利用平行线的性质得出，等量代换可得出，根据等角对等边即可得出．  由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，由得出，由等边对等角得出，由三角形外角的定义可性质得出，最后利用平行线的性质即可得出答案． 变式7.如图，已知中，，，平分，为的中点，为延长线上一点，且． 求的长； 求证：是等腰三角形． 【答案】解：，平分， ． ． 证明：，平分， ． 为的中点， ． 是等腰三角形．  变式8.如图，在四边形中，，，，是的中点， 求证：≌． 求证：是线段的垂直平分线． 是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC， ∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△BAD和△CBE中， ， ∴△BAD≌△CBE（ASA），   (2)证明：∵E是AB中点， ∴EB＝EA， ∵AD＝BE， ∴AE＝AD， ∵AD // BC， ∴∠7＝∠ACB＝45°， ∵∠6＝45°， ∴∠6＝∠7， 又∵AD＝AE， ∴AM⊥DE，且EM＝DM， 即AC是线段ED的垂直平分线； ​​​​​​​   (3)解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）． 理由如下： ∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD， ∴CD＝BD． ∴△DBC是等腰三角形．   变式9.如图，在中，，，平分交于点，过点作，交的延长线于点． 求的度数； 求证：是等腰三角形． 【答案】解：，， ， 平分， ， ； 证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形．  【解析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果； 由平行线的性质求得，由三角形内角和定理求得，根据等腰三角形的判定即可证得结论． 本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． 变式10.如图，在中，，的平分线交于，过作交于，交于． 求证：为等腰三角形； 已知，，求长． 【答案】证明：， ， 又平分， ， 又在和中， ，， ， ， 为等腰三角形； 解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ．   【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； 连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 变式11.如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． 求证：为等腰三角形； 已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形；   (2)解：如图所示，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵． ∴． 【解析】 根据三角形的内角和求出，即可得出结论；  连接，证明垂直平分，得到，证明，得到，根据，进行求解即可． 变式12.如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，． 求证：是等腰三角形； 若，判断是否为等边三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 在△DBE和△CEF中， ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE=EF， ∴△DEF是等腰三角形；  (2)解：△DEF是等边三角形，理由如下： ∵△DBE≌△ECF， ∴∠BDE=∠CEF， ∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF， ∴∠DEF=∠B， ∵∠B=（180°-∠A），∠A=∠DEF， ∴∠A=（180°-∠A）， 解得：∠A=60°， ∴∠DEF=60°， 又∵△DEF是等腰三角形， ∴△DEF是等边三角形．  【解析】 本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质． 由等腰三角形的性质得，再由证得≌得到即可得出结论；  本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质． 由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质证得，然后由等腰三角形的性质结合已知条件求得，即可得出答案． 变式13.如图，是的角平分线，且，过点作，交于点． 求证：是等腰三角形； 若，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；   (2)解：∵，平分， ∴，， 在中，， ∴． 【解析】 本题考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形，即可解答；  先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． （满分120分） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在等腰中，，，点在边上，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.在中，已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.如图，已知和相交于点，，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  4.在中，若，，则的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  5.如图，是等腰三角形，，是延长线上一点．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.已知等腰的一个角为，则其底角的度数为          ． 【答案】或  7.如图，在中，，分别在边，上取点，，使，连接，若，则的度数为          ． 【答案】  8.如图，在中，平分交于点，过点作交于点已知，，则的长为          ． 【答案】  9.如图，在中，平分交于点，交于点若，，则的长为          ． 【答案】  10.如图，已知，是的中线，，那么           【答案】  三、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，在中，，，求的度数． 【答案】解：， ， 设， ， ，， ， ， ， 解得， ．  【解析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质， 由得，，由得，，从而可推出，根据三角形的内角和定理即可求得的度数，从而不难求得的度数． 12.如图，已知等腰和等腰有一条公共边，且，，，若，求的度数． 【答案】解：，， ， ，， ，．   13.如图，在中，，是三角形内一点，连接，，，且求证：． 【答案】证明：在和中， ，， 又，．   14.如图，在中，是边上的一点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点若，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ． 又， ． 在和中，，， ， ， 是等腰三角形．  【解析】先由，运用等腰三角形的性质可得，再根据对顶角相等可得；进而得出，在和中，，，进而得出，进而求解即可． 本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 15.如图，是的外角，，求证：． 【答案】证明：已知，两直线平行，同位角相等，  两直线平行，内错角相等已知，，等角对等边．  16.如图，在中，，于点． 若，求的度数； 若点在边上，，交的延长线于点求证． 【答案】(1)解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°．  又∵∠B＝39°，∴∠CAD＝∠BAD＝90°-39°＝51°．  (2)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．∵EF// AB，∴∠F＝∠BAD．∴∠CAD＝∠F．∴AE＝FE．  17.如图，在中，，是边的中点，连接，平分交于点． 若，求的度数； 过点作交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】解：， ． ， ． ，为的中点， ， ． ； 证明：平分， ． 又， ． ． ， 是等腰三角形．  【解析】利用等腰三角形三线合一的性质即可得到，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数． 只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明，即可解决问题． 本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．掌握等腰三角形的性质和判定方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$