精品解析：福建省福州第三中学晋安校区2024-2025学年九年级9月适应测试数学试题

福州三中晋安校区2024-2025学年第一学期 九年级9月份适应性练习 数学学科 班级：________ 姓名：________ 座号：________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面四个图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 7. 下列选项中，菱形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 8. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，①；②；③；④，则上述说法正确的是（　　） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____________． 12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为_____． 13. 若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为_________． 14. 已知直线过点和点，那么关于的方程的解是________． 15. 把一个直角三角尺ACB绕角的顶点B顺时针旋转，使点A与的延长线上的点E重合．则三角尺旋转了______度． 16. 如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解下列方程 （1）； （2）． 18. 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2. 19. 央广网年月日消息，贵州省宣布最后的个贫困县脱贫．其中某县某果农年的年收入为万元，由于党的精准扶贫的相关政策的落实，年年收入增加到万元，求平均每年年收入的增长率． 20. 在直角坐标系内，一次函数的图象经过三点． （1）求这个一次函数解析式； （2）求m的值； （3）求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 21. 如图，四边形是平行四边形，分别是的平分线，且与对角线分别相交于点. (1)求证:； (2)连结，判断四边形是否是平行四边形，说明理由. 22. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根是x=0，求： （1）m的值； （2）该一元二次方程的另一根． 23. 小明想把学校新发的本课本用封皮包好，通过测量发现课本的长为，宽为，而厚度都不一样，且都不超过，如果用一张长方形封皮纸包好一本课本，要将封皮纸在封面和封底处各折进去． （1）如图，若一本课本的厚度为，计算包这本书所用封皮纸的面积是多少？（用含，的代数式表示） （2）商店里有规格为和的两种长方形封皮纸，从节约材料的角度，请直接写出该选用哪一种规格的封皮纸． 24. 如图，，，点为中点，连接并延长，交于点． （1）当时，求的长度． （2）如图，将的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度． （3）如图，当的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，探究的数量关系并说明理由． 25. 抛物线，，是常数，． （1）若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； （3）若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中晋安校区2024-2025学年第一学期 九年级9月份适应性练习 数学学科 班级：________ 姓名：________ 座号：________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面四个图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：∵选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； 则选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 3. 下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；一次函数的性质，首先判断每个函数是哪一类函数，再根据函数的性质分别进行判断． 【详解】解：①此函数是正比例函数，，y随x的增大而增大，故符合题意； ②此函数是一次比例函数，，y随x的增大而减小，故不符合题意； ③函数中，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故符合题意； ④函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故不符合题意； 故选：C． 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差可进行求解． 【详解】解：由题意得：； ∴成绩最稳定的是丁； 故选D． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键． 5. 若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 7. 下列选项中，菱形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．根据菱形的性质可判断． 【详解】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角， ∴A、B、D选项不符合题意， ∵菱形的对角线不一定相等， ∴菱形不具有的性质是对角线相等， ∴选项C符合题意， 故选：C 8. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．延长交于点，证明，得到，，则为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到． 【详解】解：延长交于点，如下图：     ∵ ∴ 又∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴ ∵， ∴ 故选：B． 9. 已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，①；②；③；④，则上述说法正确的是（　　） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系．熟练掌握抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴x轴的交点位置，与各系数的关系，二次函数与方程的关系，与不等式的关系，是解决问题的关键． 由抛物线开口向下，交y的正半轴，得到，，对称轴在y轴右侧，判定a、b异号，得到，确定①正确；根据点和都在抛物线上，得到，，得到，，得到，，确定②③正确；当时，根据，，得到；根据，， 得到，确定④正确． 【详解】解：∵由抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线交y的正半轴， ∴， ∴， ∴①正确； ∵点和都在抛物线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴②③正确； ∵当时， ，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，如图所示，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 将边绕点逆时针旋转至点， ， 由等腰三角形三线合一性质可得是线段的垂直平分线，则， 在正方形中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ，则， 在中，，， 则由勾股定理可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可 ． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD＝AC＝2OA，即可得到答案． 【详解】∵ABCD是矩形 ∴OC＝OA，BD＝AC 又∵OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝2OA＝4 ∴BD＝AC＝4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解． 13. 若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，根据众数的意义求出x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可． 【详解】解：∵数据3，4，x，6，7的众数是3， 因此， 将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4， 因此中位数是4． 故答案为：4． 14. 已知直线过点和点，那么关于的方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，准确分析计算是解题的关键． 根据直线过点得到当时，即可求解． 【详解】解：∵直线过点 ∴当时 ∴的解为 故答案为：． 15. 把一个直角三角尺ACB绕角的顶点B顺时针旋转，使点A与的延长线上的点E重合．则三角尺旋转了______度． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，再根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴则三角尺旋转了， 故答案为： 【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟记旋转角的定义是解本题的关键． 16. 如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O．取的中点T，连接．求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点O．取的中点T，连接． ∵直线平分菱形的面积， ∴直线经过点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法得到，解之即可； （2）根据因式分解法得到，解之即可． 【小问1详解】 解： 解得，． 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2. 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，， ∴△ADF≌△CDE(SAS)， ∴∠1＝∠2. 【解析】 【分析】利用SAS证明△ADF≌△CDE，再根据全等三角形的对应角相等即可得. 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 19. 央广网年月日消息，贵州省宣布最后的个贫困县脱贫．其中某县某果农年的年收入为万元，由于党的精准扶贫的相关政策的落实，年年收入增加到万元，求平均每年年收入的增长率． 【答案】平均每年年收入的增长率为． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每年年收入的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每年年收入的增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：平均每年年收入的增长率为． 20. 在直角坐标系内，一次函数的图象经过三点． （1）求这个一次函数解析式； （2）求m的值； （3）求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式，求出k、b即可； （2）把代入函数解析式可得m的值； （3）求出与两坐标轴的交点，根据面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：把代入中得： ， 解得：， ∴这个一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入：中得：， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴与y轴的交点坐标， 当时，， ∴与x轴的交点坐标， ∴两坐标轴所围成的三角形的面积． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键． 21. 如图，四边形是平行四边形，分别是的平分线，且与对角线分别相交于点. (1)求证:； (2)连结，判断四边形是否是平行四边形，说明理由. 【答案】 (1)证明:四边形是平行四边形， ， 分别是的平分线， ， ∴ ， ∴ (2) 是平行四边形；理由： 连接交于， 四边形是平行四边形， ， . 即 四边形为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质先得出∠BEC＝∠DFA，然后再证∠ACB＝∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF； （2）连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等． 22. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根是x=0，求： （1）m的值； （2）该一元二次方程的另一根． 【答案】（1）m=-1（2）x=1 【解析】 【分析】（1）把x=0代入求值即可，注意一元二次方程的定义； （2）把m的值代入，再解方程即可． 【详解】（1）把x=0代入可得m2﹣1=0，解得m=±1， 又∵m﹣1≠0 ∴m=﹣1； （2）将m=﹣1带入方程整理可得x2﹣x=0，解得x=0或x=1， ∴该方程的另外一个根是x=1． 【点睛】考查方程根的定义，求得m的值是解题的关键． 23. 小明想把学校新发的本课本用封皮包好，通过测量发现课本的长为，宽为，而厚度都不一样，且都不超过，如果用一张长方形封皮纸包好一本课本，要将封皮纸在封面和封底处各折进去． （1）如图，若一本课本的厚度为，计算包这本书所用封皮纸的面积是多少？（用含，的代数式表示） （2）商店里有规格为和的两种长方形封皮纸，从节约材料的角度，请直接写出该选用哪一种规格的封皮纸． 【答案】（1）这本书所用封皮纸的面积是． （2）选用规格为 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，熟练掌握图形中长度的数量关系是解题的关键． （1）用含有、表示出封皮纸的长和宽，再用长方表面积公式即可解答； （2）取的最大值，再计算出规格的封皮纸是否合适，即可从节约材料的角度求出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知： 封皮纸的长：； 封皮纸的宽：． 封皮纸的面积：． 答：这本书所用封皮纸的面积是． 【小问2详解】 10本课本，厚度都不超过，即， 为适用于所有课本，则考虑取最大， 即． 长，宽， 则当时，， 此时， 选用规格为即可． 24. 如图，，，点为中点，连接并延长，交于点． （1）当时，求的长度． （2）如图，将的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度． （3）如图，当的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，探究的数量关系并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3） 解：，理由如下： 如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴, ∵动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ， ∴，即， ∴， ∵, ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即． 【解析】 【分析】（）先求出，再证，即可得出结论； （）先求出，再证，即可得出结论； （）连接，过点作，交的延长线于点，证，得，，再证是等腰直角三角形，得，则，然后由勾股定理得，化简即可求解． 【小问1详解】 解：∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点为中点，， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 25. 抛物线，，是常数，． （1）若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； （3）若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：抛物线与轴两个交点的横坐标为、， ，， ， ， ， ； （3）1.5 【解析】 【分析】（1）由可知图象过，则图象不过点，将点，代入抛物线，即可解答； （2）根据根与系数的关系即可得证； （3）将代入得①，根据抛物线的对称轴为直线，可得，整理得②，由①②得到，整理得到，，根据题意，将，代入得，即可解答． 【小问1详解】 解：， 图象过， 图象不过点， 将点，代入抛物线， 得， 解得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将代入得①， 抛物线的对称轴为直线， ， ②， 由①②得到， ， ， ， ， ． 且， ，， ，，， ， ， 将，代入得， 当时，符合， 有最小值1.5． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $