21.3 实际问题与一元二次方程 讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 讲义 知识梳理 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审题：认真阅读题目，理解题意，明确题目中的已知条件和所求问题，找出关键信息。 2.设未知数：根据题目要求，合理地设出未知数。通常可直接设所求的量为未知数，也可间接设与所求量相关的其他量为未知数，一般用（或其他字母）表示。 3.找等量关系：这是关键的一步，要仔细分析题目中的数量关系，从题目所描述的情境中找出能够表示相等关系的语句，确定等量关系。等量关系可能涉及到面积、体积、增长率、利润等各种实际问题中的常见关系。 4.列方程：根据找到的等量关系，将所设未知数代入，列出一元二次方程。确保方程左右两边所表示的量是相等的，且符合实际问题的逻辑。 5.解方程：运用所学的一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等）求解所列出的方程。在求解过程中，要注意计算的准确性。 6.检验： （1）检验方程的解是否符合实际意义：因为是实际问题，所以解出的未知数的值必须在实际情境中有意义，例如人数不能为负数、长度不能为不合理的值等。如果解不符合实际意义，则应舍去。 （2）检验解是否是原方程的根：将解代入原方程，看等式是否成立，以确保解方程的正确性。 7.作答：写出答案，回答题目所问的问题，答案要完整、清晰、准确。 二、常见的实际问题类型及等量关系 1.面积问题 （1）矩形面积：若设矩形的长为，宽为，则面积。常见的情况如已知矩形的长比宽多（或少）一定长度，且知道面积，可根据此列出方程。例如，已知矩形的长比宽多，面积为，设宽为，则长为，可列出方程。 （2）正方形面积：设正方形的边长为，则面积。若涉及到正方形边长的变化导致面积变化的问题，可据此列出方程。 （3）其他图形面积：如三角形（，其中为底，为高）、梯形（，其中、为上、下底，为高）等，根据图形面积公式结合题目条件列出方程。 2.增长率问题 （1）设原来的量为，平均增长率为，增长次数为，则增长后的量。例如，某产品原来的产量为件，预计每年的平均增长率为，经过年增长后的产量为件，则可列出方程。 （2）若涉及到降低率问题，设原来的量为，平均降低率为，降低次数为，则降低后的量。 3.利润问题 （1）利润：利润售价成本，即，其中为利润，为售价，为成本。 （2）总利润：若销售量为，则总利润售价成本销售量，即。 常见的情况如已知成本、售价以及销售量与售价之间的关系（如售价每提高或降低一定金额，销售量就会相应减少或增加一定数量），可根据总利润的计算公式列出方程。例如，某商品成本为元，售价为元，每提高元售价，销售量就会减少件，原来销售量为件，可先表示出销售量与售价的关系（设售价为元时，销售量为），再根据总利润公式列出方程。 4.工程问题 （1）一般把工作总量看作单位“”。 （2）工作效率工作总量工作时间。 （3）若甲、乙两人（或多个主体）合作完成一项工作，设甲的工作效率为，乙的工作效率为，合作完成工作的时间为，则等量关系为。例如，甲单独完成一项工作需要天，乙单独完成一项工作需要天，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合作完成这项工作需要的时间可由方程求出。 同步练习 一、选择题 1．国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 2．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 3．随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了张照片，若该班有名同学，则根据题意可列出方程为(　　) A． B． C． D． 4．秋冬季节是流感高发期，有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 7．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（　　）m． A．4或 B． C．4 D．10 8．在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．嘉嘉尝试用此方法解关于的方程时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A．2 B．3 C． D．4 二、填空题 9．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽　 　． 10．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为　 　． 11．有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为　 　． 12．哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为　 　． 13．如图是一个三角形点阵图，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，容易看出，10是三角形点阵中前4行的点数和，则300个点是前　 　行的点数和. 14．长安汽车公司月份营业额为亿元，月份营业额为亿元，已知月份的营业额月平均增长率相同，设该公司月到月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是　 　． 15．某商品经过两次降价，每件零售价由60元降为元．已知每次降价的百分率均为，根据题意，可列方程为　 　． 16．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度，初速度，抛出后所经历的时间，这三个量之间有如下关系：（其中是重力加速度，取）．将一物体以的初速度向上抛，当物体处在离抛出点高的地方时，的值为　 　． 三、解答题 17．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本) （1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件． （2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 18．如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 19．直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件． （1）若每件售价为元，则日销量是　 　件 （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 20．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计） （1）EF ＝　 cm， GH＝　 cm；（用含x的代数式表示） （2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长． 21．西安某特产商店将进价为每件20元的礼盒的售价确定为每件40元． （1）中秋期间，该商店进行降价促销活动，预备将原来售价进行两次降价，降价后该礼盒现价为32.4元．若该商品两次降价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价2元，即可多销售100件．已知该商品售价40元时每月可销售500件，若该商店希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：设有x个人参加聚会 由题意可得： 解得：x=13或x=-12(舍去) 故答案为：D 【分析】设有x个人参加聚会，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 【分析】 由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片( 张，全班应该送照片 张，则可列方程为 故答案为：A. 【分析】若该班有x名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片 那么根据题意可列得方程. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，列方程为， 故答案为：D. 【分析】设设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据“人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感 ”列一元二次方程解题即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x， 今年投入教育经费万元， 明年投入教育经费 那么可得方程， 故答案为：C． 【分析】利用增长率的公式增长后的量增长前的量+增长率2列方程即可． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可知，将阴影部分进行平移，可得如下图： 则草坪的长为(54-x)米，宽为(38-x)米， 由题意知，要使矩形草坪的面积为平方米 ， 可以列出方程：， 故答案为：A. 【分析】根据题意，将阴影部分平移，得到规则的矩形，然后用含x的式子表示出草坪的长和宽，进而列出方程即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：设米，则米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 故答案为：C。 【分析】设，则米，根据花圃面积，即可得出关于x的一元二次方程： 求出x的值，然后再根据BC的条件，即可确定x的值。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为：， ∴该方程的正数解为， 故答案为：B． 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意可得：空白小正方形边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加上4个小正方形面积，利用正方形的面积计算公式，代入数据可求出大正方形的面积，进而可求出大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形边长，据此可求出答案． 9．【答案】m 【解析】【解答】解：设道路为x米宽， 由题意得：， 整理得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去． 故答案为：． 【分析】 根据试验地的面积＝矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积；可设道路宽x，可根据此关系列出方程 ，求出x的值，然后将不合题意的舍去即可解答． 10．【答案】2 【解析】【解答】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：2． 【分析】先设小路的宽为，则得到长方形花坛的长为，宽为，然后利用矩形面积公式得到关于的一元二次方程，解方程即可求解. 11．【答案】10% 【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 平均每次降价的百分率为10%． 故答案为：10%． 【分析】本题考查求平均变化率的方法、解一元二次方程.设平均每次降价的百分率为，根据若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为：，据此可列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出答案. 12．【答案】9 【解析】【解答】解：设这次参加比赛的球队个数为x个， 因为 共进行了36场比赛， 可得，即， 分解因式得，解得（舍去） 所以这次参加比赛的球队个数为9个， 故答案为：9． 【分析】设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛”，列出关于x的一元二次方程，即可求解． 13．【答案】24 【解析】【解答】解：得：n2+n﹣600=0， 解方程得：n1=24，n2=﹣25 根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300． 故答案为：24． 【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n行共有个点，则=300，进而解此方程即可求解. 14．【答案】 【解析】【解答】解：设该公司月到月营业额平均月增长率为 ，根据题意，可列出的方程， 故答案为： . 【分析】设该公司月到月营业额平均月增长率为 ，根据月份营业额=月份营业额（1平均增长率）2，代入数据即可求解. 15．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，得， 故答案为：． 【分析】本题考查一元二次方程的应用中的增长率问题．根据增长率问题计算公式：，据此进行计算可列出方程. 16．【答案】1.2或3 【解析】【解答】由题意：将，h=18m代入得 解得t=1.2或t=3， 故答案为：1.2或3 . 【分析】根据题意将，h=18m代入得到关于t的一元二次方程，解方程即可求解. 17．【答案】（1）230； （2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件， 根据题意，得， 整理得：， 解得：，， ∴当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元； （3）解：不能，理由如下： 设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件， 根据题意，得， 整理得：， ∴， ∴该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元． 【解析】【解答】解：（1）根据题意，得该纪念品的销售单价为45元时，当天销售量为 （件）， 故答案为：230. 【分析】（1）根据当天销售量为280减去10乘以增加的销售单价，即可得到答案； （2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量件，根据产品的当天销售利润是2610元列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，列出一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式判断即可． （1）解：（件）， 故答案为：230； （2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件， 依题意得， 整理得， 整理解得，， 答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）解：不能，理由如下： 设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件， 依题意得， 整理得， ， 故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元． 18．【答案】（1）， （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 【解析】【解答】解：（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， 【分析】（1）由图形即可求出答案. （2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， （2）由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 19．【答案】（1）28 （2）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：每件售价应定为元． 【解析】【解答】解：（1）根据题意得：20＋4×（30−28） ＝20＋4×2 ＝20＋8 ＝28（件）， ∴若每件售价为28元，则日销量是28件． 故答案为：28； 【分析】（1）利用日销售量＝20＋4×每件售价降低的钱数，即可求出结论； （2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x−20）元，日销售量为（140−4x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 20．【答案】（1）（30-2x）；（20-x） （2）解：设剪掉的小正方形边长为xcm，x＜30 由题意可得（30-2x）（20-x）=300 解得：x=5或x=30（舍去）． 答：剪掉的小正方形的边长5cm 【解析】【解答】（1）解：由图示可得：EF=（30-2x）cm，GH=（40÷2-x）cm=（20-x）cm． 故答案为（30-2x），（20-x）． 【分析】（1）直接根据图形表示EF与GH即可； （2）根据（1）中EF与GH，利用M的面积列方程（30-2x）（20-x）=300即可解题． （1）解：由图示可得：EF=（30-2x）cm，GH=（40÷2-x）cm=（20-x）cm． 故答案为（30-2x），（20-x）． （2）解：设剪掉的小正方形边长为xcm，x＜30 由题意可得（30-2x）（20-x）=300 解得：x=5或x=30（舍去）． 答：剪掉的小正方形的边长5cm． 21．【答案】（解：（1）设这个降价率是，依题意得， 解得（舍去）． 答：这个降价率为10%． （2）设降价元，则可多销售件， 根据题意得， 解得（舍去）或． 答：该商品在原售价的基础上，再降低10元． 【解析】【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程，解方程即可求出答案. （2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10000元列出方程，解方程即可求出答案， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 讲义 知识梳理 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审题：认真阅读题目，理解题意，明确题目中的已知条件和所求问题，找出关键信息。 2.设未知数：根据题目要求，合理地设出未知数。通常可直接设所求的量为未知数，也可间接设与所求量相关的其他量为未知数，一般用（或其他字母）表示。 3.找等量关系：这是关键的一步，要仔细分析题目中的数量关系，从题目所描述的情境中找出能够表示相等关系的语句，确定等量关系。等量关系可能涉及到面积、体积、增长率、利润等各种实际问题中的常见关系。 4.列方程：根据找到的等量关系，将所设未知数代入，列出一元二次方程。确保方程左右两边所表示的量是相等的，且符合实际问题的逻辑。 5.解方程：运用所学的一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等）求解所列出的方程。在求解过程中，要注意计算的准确性。 6.检验： （1）检验方程的解是否符合实际意义：因为是实际问题，所以解出的未知数的值必须在实际情境中有意义，例如人数不能为负数、长度不能为不合理的值等。如果解不符合实际意义，则应舍去。 （2）检验解是否是原方程的根：将解代入原方程，看等式是否成立，以确保解方程的正确性。 7.作答：写出答案，回答题目所问的问题，答案要完整、清晰、准确。 二、常见的实际问题类型及等量关系 1.面积问题 （1）矩形面积：若设矩形的长为，宽为，则面积。常见的情况如已知矩形的长比宽多（或少）一定长度，且知道面积，可根据此列出方程。例如，已知矩形的长比宽多，面积为，设宽为，则长为，可列出方程。 （2）正方形面积：设正方形的边长为，则面积。若涉及到正方形边长的变化导致面积变化的问题，可据此列出方程。 （3）其他图形面积：如三角形（，其中为底，为高）、梯形（，其中、为上、下底，为高）等，根据图形面积公式结合题目条件列出方程。 2.增长率问题 （1）设原来的量为，平均增长率为，增长次数为，则增长后的量。例如，某产品原来的产量为件，预计每年的平均增长率为，经过年增长后的产量为件，则可列出方程。 （2）若涉及到降低率问题，设原来的量为，平均降低率为，降低次数为，则降低后的量。 3.利润问题 （1）利润：利润售价成本，即，其中为利润，为售价，为成本。 （2）总利润：若销售量为，则总利润售价成本销售量，即。 常见的情况如已知成本、售价以及销售量与售价之间的关系（如售价每提高或降低一定金额，销售量就会相应减少或增加一定数量），可根据总利润的计算公式列出方程。例如，某商品成本为元，售价为元，每提高元售价，销售量就会减少件，原来销售量为件，可先表示出销售量与售价的关系（设售价为元时，销售量为），再根据总利润公式列出方程。 4.工程问题 （1）一般把工作总量看作单位“”。 （2）工作效率工作总量工作时间。 （3）若甲、乙两人（或多个主体）合作完成一项工作，设甲的工作效率为，乙的工作效率为，合作完成工作的时间为，则等量关系为。例如，甲单独完成一项工作需要天，乙单独完成一项工作需要天，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合作完成这项工作需要的时间可由方程求出。 同步练习 一、选择题 1．国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 2．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 3．随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了张照片，若该班有名同学，则根据题意可列出方程为(　　) A． B． C． D． 4．秋冬季节是流感高发期，有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 7．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（　　）m． A．4或 B． C．4 D．10 8．在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．嘉嘉尝试用此方法解关于的方程时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A．2 B．3 C． D．4 二、填空题 9．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽　 　． 10．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为　 　． 11．有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为　 　． 12．哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为　 　． 13．如图是一个三角形点阵图，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，容易看出，10是三角形点阵中前4行的点数和，则300个点是前　 　行的点数和. 14．长安汽车公司月份营业额为亿元，月份营业额为亿元，已知月份的营业额月平均增长率相同，设该公司月到月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是　 　． 15．某商品经过两次降价，每件零售价由60元降为元．已知每次降价的百分率均为，根据题意，可列方程为　 　． 16．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度，初速度，抛出后所经历的时间，这三个量之间有如下关系：（其中是重力加速度，取）．将一物体以的初速度向上抛，当物体处在离抛出点高的地方时，的值为　 　． 三、解答题 17．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本) （1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件． （2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 18．如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 19．直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件． （1）若每件售价为元，则日销量是　 　件 （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 20．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计） （1）EF ＝　 cm， GH＝　 cm；（用含x的代数式表示） （2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长． 21．西安某特产商店将进价为每件20元的礼盒的售价确定为每件40元． （1）中秋期间，该商店进行降价促销活动，预备将原来售价进行两次降价，降价后该礼盒现价为32.4元．若该商品两次降价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价2元，即可多销售100件．已知该商品售价40元时每月可销售500件，若该商店希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$