辽宁省沈阳市南昌中学沈抚示范区分校2024--2025学年八年级下学期4月月考数学试卷

2024-2025学年度下学期八年级数学学科4月限时性作业 命题时间2025.4.2 考试时间120分钟 满分120分 注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10道题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 2. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 8cm或10cm 4. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系（ ） A. BD=AB B. BD=AB C. BD=AB D. BD=AB 5. 下列条件不能判断是等边三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 四个一样大 7. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（ ） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ③①② 9. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 10. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5道题，每题3分，共15分） 11. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为___ ． 12. 边长为的等边三角形的面积为______． 13. 如图，在中，是它的角平分线，，，则________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为______________． 15. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，，分别是的中线和角平分线，． （1）若的面积是20，且，求的长． （2）若，求的度数． 17. 如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． （1）证明：； （2）若，证明：是等边三角形． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以，，，为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，直接写出两个符合题意的点E坐标． 19. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 20. 求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半．（写出已知、求证，画出草图并证明） 21. 如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，使与关于直线对称．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）此时A点坐标为 ；C点坐标为 ． （2）若作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点D、E，使，且与的面积相等．此时直线的函数表达式为 ． 22. 在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： （一）已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______； A． B． C． D． （2）课后老师留了一道思考题： 在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法； ①甲同学： 用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点C，D作，的垂线，两垂线交于点P，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学： 用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与，分别交于点E，F，连接，交于点P，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”） （二）已知：为锐角三角形，求作：的外角角平分线； 作法：①以点A为圆心，适当长为半径画圆，交于点M，交于点N； ②以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于一点D； ③画射线，射线即为所求． （1）请使用直尺和圆规，依上列作法补全下面图形，保留作图痕迹． （2）若，证明：．请完成下面的证明过程 证明：∵， ∴（①______）（填推理依据）， ②______（两直线平行，内错角相等）． ∵为的角平分线， ∴（角平分线的定义）． ∴③______（等量代换）． ∴（④______）（填推理依据）． 23. 【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 2024-2025学年度下学期八年级数学学科4月限时性作业 命题时间2025.4.2 考试时间120分钟 满分120分 注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10道题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5道题，每题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】3 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】（1，3）或（5，1） 【15题答案】 【答案】或或 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 【16题答案】 【答案】（1）10 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【18题答案】 【答案】（1） 如图：即为所求， （2） （3）或或或 【19题答案】 【答案】（1）30海里 （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【20题答案】 【答案】 已知：如图，在中，，，为边上的高， 求证：， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【21题答案】 【答案】（1） 如图，直线即为所求， ， （2）或 【22题答案】 【答案】（一）（1）C； （2）①证明：由作法可得， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②正确； （二）（1）如图，射线即为所作， （2）证明：， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． 为的角平分线， （角平分线的定义）． （等量代换）． （等角对等边）． 【23题答案】 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（）；（）； 问题解决： （）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的费马点； （）； 学以致用： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $