21.2解一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2 2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．以为根的一元二次方程可能是（       ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 6．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．1或者 7．关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为，则另一个解x2为（       ） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 8．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 10．已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　) A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6 二、填空题 11．一元二次方程的解是 . 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 13．若是方程的两个实数根，则的值为 ． 14．若实数，分别满足，，且，则________． 15．规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为 ． 三、解答题 16．解下列方程： （1）； （2）． 17．已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解． （2）若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 18．已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 19．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （3）若是“倍根方程”，求代数式的值． 参考答案 1．【答案】D 【分析】 先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】 x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣1． 故选D． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 2．【答案】D 【分析】将方程左边配成完全平方形式即可求解． 【详解】解：原方程为， 两边同时加上，得： 左边写成完全平方形式：． 故选D． 3．【答案】A 【分析】根据求根公式逐一判断即可． 【详解】解：A．此方程的根为x=，符合题意； B．此方程的根为x=，不符合题意； C．此方程的根为x=，不符合题意； D．此方程的根为x=，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式． 4．【答案】A 【分析】当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 本题中根据，即可求解． 【详解】解： 解得， 因此，的值为， 故选A． 5．【答案】D 【分析】由已知条件可知，方程的判别式，说明方程有两个相等的实数根，因此两根之差为0． 【详解】方程的判别式为． ∵， ∴． ∵当时，方程有两个相等的实数根． ∴两根之差为． 故选D． 6．【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将代入方程可得，根据二次项系数不为0，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0， ∴，， ∴， 故选A． 7．【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系来求方程的另一个根． 【详解】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的两个根， ∴由韦达定理，得， ∵ ∴ 即方程的另一个解是-1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，了解两根乘积为是解答本题的关键． 8．【答案】C 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故此题答案为C. 9．【答案】A 【分析】 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，从而求出的范围． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且． 故选：A． 10．【答案】B 【分析】 当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论． 【详解】 当m=4或n=4时，即x=4， ∴方程为42﹣6×4+k+2=0， 解得：k=6； 当m=n时，﹣6+k+2=0 ∵，，， ∴， 解得：， 综上所述，k的值等于6或7， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键． 11．【答案】， 【详解】解： 或 解得， 12．【答案】且 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 13．【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 14．【答案】 【解析】，分别满足，，，可以看作是一元二次方程的两个实数根，，，．故答案为． 15．【答案】， 【详解】解：由题意得：， ， 或， 解得：，． 16．【答案】（1）， （2）， 【分析】（1）提取公因式求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ∴或； （2） ∴或 17．【答案】（1）， （2），方程的另一个根为， 【分析】（1）将代入方程，利用公式法求一元二次方程的解； （2）根据根与系数的关系求出方程的另一个根以及的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ， 解得，； （2）解：设方程的另一个解为， 由根与系数的关系可知：， 解得， ，解得， ∴，方程的另一个根为． 18．【答案】（1），另一个根为2 （2）见详解 【分析】（1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； （2），，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 19．【答案】（1）① （2）的值为18 （3）代数式的值为或 【分析】（1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”. （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$