31.1 圆的有关性质 同步练习 2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

31.1 圆的有关性质 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.在半径为的中，若弦的长为，则弦所对的圆心角的度数为(    ) A. B. C. D. 2.如图，点、、、在上，，点是的中点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 3.如图，一枚半径为的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是(    ) A. B. C. D. 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，则与的大小关系是   (    ) A. B. C. D. 不能确定 6.如图，四边形是的内接四边形，其中，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知的半径为，是圆外一点，，，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知的半径等于，是直径，，是上的两点，且，则四边形的周长等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，，是的两条半径，若，则的度数为          ． 10.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为          ． 11.如图，在中，，，则          ． 12.如图，四边形内接于，若，则           ． 13.如图所示，，是半径为的上的两点若，是的中点，则四边形的周长等于          ． 14.如图，为的直径，点，在上，，，则__________． 15.如图所示，，是半径为的上的两点，若，是的中点，则四边形的周长等于________． 16.如图，在中，，若以点为圆心，为半径的圆恰好经过的中点，则的长为          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图所示，、是的两条直径，，求证：． 18.本小题分 如图，是半圆的直径，，，求证：点是的中点． 19.本小题分 如图，以▱的顶点为圆心，长为半径作，分别交，于，两点，交的延长线于点，求证：． 20.本小题分 如图，、、都是的直径，且，弦、、是否相等？如果相等，请给出证明． 21.本小题分 如图，已知求证：是等边三角形．   22.本小题分 如图，中，弦与相交于点，，连接、求证：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】本题考查的知识点是圆心角，圆的认识和等边三角形的判定和性质，根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等边三角形，则弦所对的圆心角是，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接，，则， 所以为等边三角形， 则弦所对的圆心角． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据圆心角、弧的关系定理得到，再根据圆周角定理解答． 【解答】 解：连接， 点是的中点， ， 由圆周角定理得，， 故选D． 3.【答案】  【解析】解：圆心经过的距离就是圆的周长，所以是． 故选：． 一枚半径为的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离就是圆的周长． 考查了圆的认识，本题的关键是明白圆心经过的距离就是圆的周长，然后利用周长公式求． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为后，用表示出的长度．根据题意，可以推出，若设半径为，则，，结合勾股定理可求出半径的值． 【解答】解：连接， 点是的中点，点是的中点， ，，，三点共线， ， 在中，， 设半径为得：， 解得：， 这段弯路的半径为． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，根据圆心角，弧，弦的关系直接进行求解即可． 【解答】 解：在中，， ， 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 根据圆内接四边形对角互补，列式计算即可． 本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 【解答】 解：四边形为圆内接四边形， ， ， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】【解答】 解：如图，过作于，连接，则，． ，， ． 在中，由勾股定理得，， ，故选D． 8.【答案】  【解析】【分析】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．如图，连接、根据圆心角、弧、弦间的关系证得、、是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段、、与已知线段间的数量关系即可． 【解答】 解：连接、， ， ， 又， ， ， 、、都是等边三角形， ，，， 四边形的周长为． 故选B． 9.【答案】  【解析】解：，， 故答案为： 利用半径相等通过等腰三角形，即可求出所求角的度数。 熟练掌握半径相等即可得到等腰三角形是解本题的关键 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆内接四边形的性质．直接利用圆内接四边形对角互补即可得出答案． 【解答】 解：四边形为的内接四边形， ， 又， ， 故答案为． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了等腰三角形的性质以及圆心角、弧和弦之间的关系，解题的关键是掌握弧相等，所对的弦相等．首先根据，得到，再由，可得的度数． 【解答】 解：， ， ， 又， ， 故答案为 12.【答案】  【解析】解：四边形内接于，， ， 故答案为：． 根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可． 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了圆心角和弧的关系，等边三角形的判定与性质，中档题 通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【解答】 解：是 的中点 ， 和都是等边三角形 所以四边形的周长等于． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题比较简单，主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．首先由可以得到，又由得到，由此即可求出度数． 【解答】 解：， ， 又， ， 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等边三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系，通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，进而即可求得结果． 【解答】 解：是的中点， ，而， ， ， 和都是等边三角形， ， 所以四边形的周长等于． 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键． 连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】 解：如图，，点为的中点， ， ， ， 在中，． 故答案为． 17.【答案】证明：连接，   ， ，， ， ， ， ．   【解析】本题考查了平行线的性质和圆心角与弧的关系． 利用平行线的性质得到，，再根据，进而得到，于是得到答案． 18.【答案】证明：连接，如图， 是半圆的直径， ， ， ． ， ． ， ，点是的中点．   【解析】见答案． 19.【答案】证明：如图，连接，则， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ．   【解析】见答案 20.【答案】解：，，， ， ， ，  【解析】根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 21.【答案】证明：， ． 同理． 又， ． 为等边三角形．   【解析】见答案． 22.【答案】证明， ，即， ， ， 又，， 在和中， ≌， ．  【解析】由知，可得，结合，可证≌，从而得出答案． 本题主要考查圆心角、弧、弦的关系． 第8页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$