1.2 矩形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.2 矩形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为（　　） A．3 B． C． D．6 4．如图，，E为的中点，与相交于点F，，则的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．72° 5．如图，在矩形中，对角线，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 7．如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则的长是（　　） A． B． C．3 D．2 10．如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（　　） A．6 B．5.5 C．6.5 D．5 二、填空题 11．如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则　 　． 12．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，E是边上一点．连接，将沿折叠，点刚好与边上点重合，则的长为　 　． 14．如图，矩形对角线交于点O，点G在延长线上，连接，E为中点，连接交于点F，，若，，则线段的长为　 　． 15．如图，四边形是菱形，于点E，点O是对角线的中点，连接．若，，则等于　 　 16．如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为　 　． 17．如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为　 　． 18．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是　 　． 三、解答题 19．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由． 20．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为，，求的长． 21．在中，于点D，点E是边的中点，过A作交的延长线于点F，连接． （1）如图1，求证：四边形是矩形． （2）如图2，当时，取中点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为矩形面积一半的平行四边形． 22．如图，一张矩形纸片ABCD，将点B折叠到对角线AC上的一点M处，折痕CE交AB于点E，将点D折叠到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F. （1）求证：. （2）当的大小为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由. 23．如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，连接. （1）求证：平分； （2）连接交于点，点是的中点，连接、，若，求的长. 24．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、. （1）求证：≌； （2）若求四边形的周长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵矩形，∴， 过点作， ∵，∴，∴， ∴， ∵，∴； 故选：C． 【分析】过点作，得到，推出，进行求解即可． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】根据矩形性质即可求出答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 【分析】根据矩形性质即可求出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，再根据等边对等角解题即可． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，对角线，交于点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：C ． 【分析】 根据矩形的性质可得，由等边对等角得到，由是的外角根据三角形外角和的性质即可求解． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故答案为：D． 【分析】连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，在Rt△ABC中利用勾股定理算出AC=2，由矩形对角线互相平分可求出OA=OC=1，用SAS判断出△AOE≌△COF，得∠AOE=∠COF，从而结合对顶角定义可判断出E、O、F三点共线，根据直角三角形斜边中线性质可推出点G的轨迹为以H为圆心，为半径即AO为直径的圆弧，根据圆中最大的弦是直径可得AG的最大值. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，∠BCD=90°， 当F为BC中点，点E在DF上运动，时，CE有最小值， ∴， ∵AB = 2， ∴， ∴CF=CD， 又， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【分析】先根据矩形的性质得出AB=CD，AD=BC，∠BCD=90°，再得出当F为BC中点，点E在DF上运动，时，CE有最小值，然后证明，再利用勾股定理求得DF，从而可求得CE． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB， ∵，， ∴AC= ∴BD=10cm， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴． 故选：D． 【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出BD的长，即可得到OD的长，根据三角形中位线定理解答即可． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 则， 解得， 故答案为：B 【分析】根据矩形的基本性质和AE、CD的值，在直角三角形ABE中，根据勾股定理：，代入数据，求出BE的值，进而可求出EC的值，设，则，在直角三角形EFC中，根据勾股定理：，代入数据，即可求解。 10．【答案】D 【解析】【解答】解：连接， ∵四边形是矩形， ， ，E为中点， ， ， ， ∵G，H分别为，中点， 是的中位线， ． 故答案为：D 【分析】连接，根据矩形的性质，可得，根据中点的性质，可得，代入数据求出AE的值，再直角三角形BEF中，根据勾股定理：，代入数据求出BE的值，最后再根据三角形中位线定理得到，代入数据即可求出GH的值。 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵菱形的面积为60， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∵，， ∴， 故答案为：． 【分析】根据菱形的性质以及面积得，，，然后结合完全平方公式求出，从而在中利用勾股定理即可求出的长度，进而再根据直角三角形斜边上的中线性质得到. 12．【答案】 【解析】【解答】解：如图所示： 连接，延长交的延长线于H， 因为矩形中，为边的中点， 所以，， 因为将沿翻折，点的对应点为， 所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以为直角三角形， 设，则， 所以， 所以， 所以为等腰三角形，所以， 所以，∴． 故答案为：． 【分析】 如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，利用ASA，证得，结合勾股定理的逆定理，得到为直角三角形，设，得到，证得为等腰三角形，求出，即可求解． 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵矩形的顶点B坐标为， ∴，，， 由折叠可知，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得； 的长为． 故答案为． 【分析】利用勾股定理得到长，然后设，根据勾股定理解出x值即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解：连接，如图所示： ∵为中点，E为中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，， ∵，E为中点， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去负值） ∴ 故答案为： 【分析】本题综合考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理以及斜中半定理.连接，可推出为的中位线，为的中位线，l再根据题意可得：，据此推出，再利用等腰三角形的性质可推出，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可列出方程，解方程可求出，利用沟谷定理可求出DF的长． 15．【答案】3 【解析】【解答】解：连接OD，如下图： ∵点O是菱形ABCD对角线AC的中点， ∴B、O、D三点共线，AO=AC=4， ∵四边形是菱形， ∴， 由勾股定理可得：， ∴ ∵ ∴为直角三角形， 又∵为的中点， ∴ 故答案为：3. 【分析】连接OD，首先利用菱形的性质得B、O、D三点共线，BD=2OB，OB⊥AC，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB，从而可得BD的长，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得OE的长. 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC ∵DE⊥AB， ∴OE＝BD， ∴OB＝OE＝，BD＝2， 在Rt△AOB中，OA＝ ∴AC＝2 ∴菱形的面积为：＝＝ 2． 故答案为：2． 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易知BD＝2OE＝2；在Rt△AOB中，根据勾股定理可求出AC＝2，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可解答． 17．【答案】 【解析】【解答】解：连接OP， ∵四边形是矩形， ∴∠ABC=90°，，，， ∴，， ∵，BC=8， ∴，， ∴，OB=OC=5， ∵ ∴． 故答案为：． 【分析】连接OP，由矩形性质得∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，由等底同高三角形面积相等得S△BOC=S△AOB，由勾股定理算出AC从而可得OB、OC的长，然后根据矩形性质得，最后结合建立方程，求解即可. 18．【答案】 【解析】【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】先利用邻补角求出，再利用三角形的内角和求出，再求出，最后利用角的运算求出即可． 19．【答案】解：BE=CF．理由如下： 在矩形ABCD中，OB=OC， ∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F， ∴∠BEO=∠CFO=90°， 在△OBE和△OCF中， ∴△OBE≌△OCF（AAS）， ∴BE=CF． 【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，由此解答即可． 20．【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，且边长为4， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 由（1）得四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得，，从而得，进而得，，即可得证结论； （2）根据菱形的性质、 证出是等边三角形，从而得，进而得，然后利用勾股定理求出OC的长，得AC=2OC的长，由（1）中四边形为矩形，得CE=OD的值，∠OCE=90°，最后利用勾股定理求出AE的长. 21．【答案】（1）（1）证明： ∵E是中点， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）；；；的面积为矩形面积一半 【解析】【解答】（2）解：∵∴ ∵四边形是矩形，且点E为对角线交点， ∴点E是边的中点， ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴四边形是平行四边形； 同理可证线段、线段都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理可证，四边形、四边形都是平行四边形， 在中， ∴ ∴ 在矩形中， ∴即 同理可得；；的面积为矩形面积一半 ​​​​​​​【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质． （1）根据先利用平行线的性质推出根据E是中点，可推出利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得再根据可证明四边形是平行四边形，再根据，利用矩形的判定定理可证明四边形是矩形． （2）根据点E是边的中点，G是的中点，利用三角形的中位线定理可证明，利用平行四边形的判定定理可证明四边形、同理可证明四边形、四边形、四边形都是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出利用全等三角形的判定定理可证明：利用三角形的面积公式进行计算可推出它们的面积为矩形面积一半． （1）证明： ∵E是中点， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵ ∴ ∵四边形是矩形，且点E为对角线交点， ∴点E是边的中点， ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴四边形是平行四边形； 同理可证线段、线段都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理可证，四边形、四边形都是平行四边形， 在中， ∴ ∴ 在矩形中， ∴即 同理可得；；的面积为矩形面积一半 22．【答案】（1）证明：四边形ABCD为矩形，∴，∴， 由折叠知，， ∴，∴ （2）解：当，四边形AECF是菱形， 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴，， 由（1）知，，∴四边形AECF是平行四边形，则，即， 由折叠可得：，∴，∴ 【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据折叠的性质结合平行线的判定即可求解； （2）先根据矩形的性质得到，，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，进而得到，再运用折叠的性质结合题意即可求解。 23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，∴ 由旋转的性质可得：， ∴，∴，∴平分 （2）解：过点作于点， ∵平分，，，∴， ∵，∴ ∵，， ∴， ∴，即点是的中点， 连接， ∵是的中点，∴是的中位线，∴ ∵四边形是矩形，∴，∴. 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质求证。先由矩形的性质和平行线的性质得到，根据旋转的性质得到，有，即可证得． （2）根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质求解。过点作，连接，由平分，，，得，根据旋转的性质，有，证得，有点是的中点，结合点是的中点，则是的中位线，由于矩形得，即可求得答案． 24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵点O是BD的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，即， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵， ∴四边形EBFD是菱形． 设，则 在中，，则 ∴四边形EBFD的周长为． 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和线段中点的性质得到 ，， 结合 ， 即可求证 ； （2）由（1）可得 ， 利用矩形的性质和 ， 证明 四边形EBFD是菱形，设，则 ，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$