5.3 第1课时 组合与组合数及组合数公式(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§3　组合问题 第1课时　组合与组合数及组合数公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决简单的组合问题. 逐点清(一)　组　合 [多维理解] 1.组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N+)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合问题 有关求组合的个数的问题叫作组合问题. |微|点|助|解| (1)组合的特点是只取不排 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求. (3)相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合. [微点练明] 1.以下四个问题，属于组合问题的是 (　　) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 解析:选C　只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. 2.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为　　　　　　　　.  答案:ab，ac，ad，bc，bd，cd 3.若已知集合P={1，2，3，4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集个数为　　　　.  解析:由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有=6(个). 答案:6 4.写出从A，B，C，D，E5个元素中，依次取3个元素的所有组合. 解:含A的三个元素有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，不含A含B的三个元素有BCD，BCE，BDE，不含A，B的三个元素有CDE，所以取3个元素的所有组合是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 逐点清(二)　组合数及其性质 [多维理解] 1.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的组合数，记作. 2.组合数公式 (1)===. (2)=1，=n，=1. 3.组合数性质 (1)性质1:=; (2)性质2:=+. |微|点|助|解| (1)m≤n，m，n∈N+; (2)==常用于计算; (3)=常用于证明. [微点练明] 1.= (　　) A.25 B.30 C.35 D.40 解析:选B　+=+=10+20=30. 2.5-8为 (　　) A. B. C.0 D. 解析:选B　5-8=5×-8×=-===. 3.计算:+-. 解:原式=+-1=+-1=56+4 950-1=5 005. 4.求等式=中的n值. 解:原方程可变形为+1=， =， 即 =×， 化简整理，得n2-3n-54=0. 解得n=9或n=-6(舍去)， 所以n=9. 逐点清(三)　组合数公式的应用 [典例]　(1)求值:+++…+; (2)解不等式:2<3. 解:(1)+++…+ =+++…+ =+++…+ =++…+== =5 985. (2)因为2<3，所以2<3， 即<. 又因为所以x≥2.所以<. 所以2≤x<，且x∈N+，所以x=2，3，4，5. 所以不等式的解集为{2，3，4，5}. |思|维|建|模| 关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用=·==进行计算. (2)涉及字母的可以用阶乘式=计算. (3)计算时应注意利用组合数的性质=简化运算. 　　[针对训练] 1.已知=+(n∈N+)，则n= (　　) A.14 B.15 C.13 D.12 解析:选A　由组合数性质知，=，所以=，所以7+8=n+1，得n=14. 2.若>，则n的取值集合是 (　　) A.{6，7，8，9} B.{6，7，8} C.{n|n≥6，n∈N+} D.{7，8，9} 解析:选A　∵>， ∴ 即解得6≤n<10.∵n∈N+， ∴n=6，7，8，9.∴n的取值集合为{6，7，8，9}. 3.证明下列各等式. (1)=; (2)+++…+=. 证明:(1)∵右边 =· =· ===左边，∴原式成立. (2)∵左边=(+)+++…+ =(+)++…+ =(+)+…+ =(+)+…+ =…=+ ==右边， ∴原式成立. [课时检测] 1.下列四个问题属于组合问题的是 (　　) A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式 D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长 解析:选C　对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游和翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题;对于B，从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题;对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题;对于D，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 2.+= (　　) A.9 B.18 C.28 D.36 解析:选B　+=+=3+15=18. 3.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是 (　　) A.10 B.5 C.4 D.1 解析:选B　组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法. 4.若=8，则n等于 (　　) A.4 B.6 C.5或6 D.8 解析:选B　由题意，根据排列数、组合数的公式，可得=n(n-1)(n-2)，8=8×=4n(n-1)，则n(n-1)(n-2)=4n(n-1)，且n∈N+，n≥3，解得n=6. 5.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 (　　) A.种 B.种 C.种 D.30种 解析:选B　三张票没区别，从10人中选3人即可，即种. 6.[多选]下列各式一定成立的有 (　　) A.= B.-=n2 C.=n D.n=+k 解析:选BC　=·=·=≠(n≠2m)，故A错误. -=-=-==n2，故B正确.n===，故C正确.+k=+k=+k=+k≠n(k≠0)，故D错误.故选BC. 7.若=，则+++…+的值为 (　　) A.45 B.55 C.120 D.165 解析:选D　因为=，所以m+m+2=22，解得m=10，故+++…+=+ ++…+=++…+=++…+=…=+==165. 8.设[x]表示不超过x的最大整数.对于给定的n∈N+，定义=，x∈[1，+∞)，则当x∈时，函数的值域是 (　　) A.[4，25] B.(3，4] C.∪[15，30) D.(3，4]∪(5，15] 解析:选D　当x∈时，==4，当x无限接近2时，[x]=1，所以趋近于=3，当x∈[2，3)时，==15，当x无限接近3时，[x]=2，所以趋近于=5，故函数的值域是(3，4]∪(5，15]. 9.(5分)计算=　　　　.  解析:根据题意，=×3×2=210. 答案:210 10.(5分)6人参加一项活动，要求是“必须有人去，去几个人，谁去，自己定”，则不同的去法种数为　　　　.  解析:按照参加的人数分类，分别为1，2，3，4，5，6，所以不同的去法有+++++=63种. 答案:63 11.(5分)将12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，则不同的放法种数为　　　　.  解析:先给每个盒子放入个数与其编号数相同的小球，则还剩2个小球，这2个小球可以放在1个或2个盒子中，所以不同的放法共有+=10(种). 答案:10 12.(5分)4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有　　　　种.  解析:把4名学生分成3组有种方法，再把3组学生分配到3所学校有种方法，故共有=36(种)保送方案. 答案:36 13.(10分)袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球. (1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个?(5分) (2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个?(5分) 解:(1)从4个白球中取2个，有=6(种)方法，从5个黑球中取1个，有=5(种)方法，故取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有6×5=30(种). (2)取出的3球中至少有2个白球，包括有2个白球1个黑球及3个白球两种情况，故有+=6×5+4=34(种)不同的结果. 14.(10分)(1)求值:+;(4分) (2)已知-=，求.(6分) 解:(1)由题意得，解得4≤n≤5， ∵n∈N+，∴n=4或n=5. 当n=4时，原式=+=5; 当n=5时，原式=+=16. (2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈N}， 由已知得，- =， 即10m=(7-m)(6-m)， 整理得m2-23m+42=0，解得m=21(舍去)或m=2，∴==28. 15.(10分)从5名男生和5名女生中选出4人去社区做志愿者. (1)如果4人中男生、女生各选2人，有多少种选法?(3分) (2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加，有多少种选法?(3分) (3)如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法?(4分) 解:(1)第一步从5名男生中选2人，共有=10(种)选法;第二步从5名女生中选2人，共有=10(种)选法，根据分步乘法计数原理，共有·=100(种)选法. (2)甲、乙两人都不参加共有=70(种)选法，所有选法有种，故男生甲与女生乙至少一人参加有-=140(种)选法. (3)4人全为男生，共有=5(种)选法;4人全为女生，共有=5(种)选法，所以总共有-10=200(种)选法. 5 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $$