2.1.1 第1课时 椭圆的标准方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

　圆锥曲线 　　　　　　　§1　椭　圆 　　　　　　　1.1　椭圆及其标准方程 第1课时　椭圆的标准方程 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 　　　　　　　　　　　　　[课时目标] 1.理解并掌握椭圆的定义，并能利用其解决相关问题. 2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求简单的椭圆的标准方程. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距 |微|点|助|解| 1.对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆. 2.对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 2.椭圆的标准方程 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 2c a，b，c的 关系 b2=a2-c2 异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同； 不同点：焦点位置不同，方程不同 |微|点|助|解| (1)a，b，c(都是正数)为三边长，恰好构成一个直角三角形(图中阴影部分)，a是斜边长，所以a>b，a>c，且a2=b2+c2(如图所示).另外，a=|OA1|=|OA2|=|A1A2|(A1，A2是图中椭圆与x轴的交点). (2)椭圆标准方程的形式：等号左边是“平方+平方”，右边是“1”，特别注意右边不是0. (3)标准方程中根据x2和y2对应的分母大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上.若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，则点P的轨迹是椭圆. (　　) (2)已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=2，则点P的轨迹是椭圆. (　　) (3)已知点F1(0，-1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|+|PF2|=1，则点P的轨迹是椭圆. (　　) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4，焦距为2，则C的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析：选D　由题设，知可得则b2=a2-c2=3， ∴C的方程为+=1. 3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为 (　　) A. B. C.(-∞，-3) D.(2，+∞) 解析：选A　由题意可得0<3+m<2-m，解得-3<m<-，所以m的取值范围为. 题型(一)　椭圆定义的理解 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么?为什么? 解：如图，连接QA.由已知，得|QA|=|QP|，所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|.根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆. |思|维|建|模| 椭圆定义的应用类型 (1)判定点的轨迹是否为椭圆，关键看是否符合椭圆的定义； (2)作为性质运用，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数). 　　[针对训练] 1.[多选]设定点F1(0，-3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0)，则点P的轨迹可能是 (　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 解析：选BC　易知a+≥6，故选BC. 2.已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|=4时，|PF2|=8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值. 解：由题意|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=4+8=12，由基本不等式|QF1|·|QF2|≤==36，当且仅当|QF1|=|QF2|=6时，等号成立，故|QF1|·|QF2|的最大值为36. 题型(二)　椭圆标准方程的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(1)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为　　　　　　　.  (2)已知椭圆方程为kx2+3y2-6k=0，焦距为4，则k的值为　　　　　　　.  解析：(1)因为椭圆焦点在y轴上， 所以其标准方程为+=1(a>b>0). 所以|m|-1>5-2m>0，解得2<m<， 所以实数m的取值范围为. (2)将方程kx2+3y2-6k=0化为+=1， 因为焦距为4，所以2c=4，即c=2. 当焦点在x轴上时，6-2k=4，解得k=1； 当焦点在y轴上时，2k-6=4，解得k=5. 综上，k=1或k=5. 答案：(1)　(2)1或5 |思|维|建|模| (1)把方程化为标准形式，焦点位置看大小，焦点随着大的跑. (2)不能确定焦点在哪个轴上时要分类讨论. (3)Ax2+By2=1表示椭圆的条件为 　　[针对训练] 3.椭圆mx2+ny2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是 (　　) A.(0，±) B.(±，0) C.(0，±) D.(±，0) 解析：选C　椭圆方程mx2+ny2+mn=0可化为+=1.因为m<n<0，所以-m>-n>0，所以椭圆的焦点在y轴上，排除B、D.又n>m，所以无意义，排除A.故选C. 4.已知椭圆的标准方程为+=1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为　　　　.  解析：因为2c=6，所以c=3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2=25，b2=m2，由a2=b2+c2，得25=m2+9，所以m2=16.又m>0，所以m=4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2=m2，b2=25，由a2=b2+c2，得m2=25+9=34.又m>0，所以m=.综上，实数m的值为4或. 答案：4或 题型(三)　椭圆的标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 方法1　定义法求椭圆的标准方程 [例3]　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)一个焦点坐标为(-5，0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26； (2)一个焦点坐标为(0，2)，且椭圆经过点(-). 解：(1)由题意2a=26，a=13， 又c=5，所以b= ==12， 椭圆标准方程为+=1. (2)由题意椭圆另一焦点为(0，-2). 2a=+=+=-++=4，a=2，c=2，所以b==2，焦点在y轴上，椭圆标准方程为+=1. |思|维|建|模| 　　定义法就是根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. 方法2　待定系数法求椭圆的标准方程 [例4]　(1)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，-)和的椭圆的标准方程； (2)求与椭圆+=1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程. 解：(1)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)，分别将两点的坐标(2，-)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(λ>-9).又椭圆过点(3，)，将x=3，y=代入方程得+=1，解得λ=11或λ=-21(舍去).故所求椭圆的标准方程为+=1. |思|维|建|模| 待定系数法求椭圆的标准方程 (1)定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上. (2)设方程：设椭圆方程为+=1或+=1(a>b>0).无法确定焦点位置时，可设为Ax2+By2=1(A>0，B>0，且A≠B). (3)寻关系：根据条件列出关于a，b，c(或A，B)的方程组. (4)得方程：解方程组，将所求得的相应值代入所设方程即可. [提醒]　与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0，λ>-b2)；与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0，λ>-b2). 　　[针对训练] 5.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为(-3，0)，(3，0)，经过点(0，4)； (2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8，c=； (3)两个焦点坐标分别是(0，-2)和(0，2)，并且经过点； (4)椭圆中c=b，且a+b=6； (5)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点，且经过点M(2，). 解：(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，依题可得c=3， 将(0，4)代入到方程+=1中得b=4， 故a===5， 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，依题可得2a=8，即a=4，所以b===，所以椭圆的标准方程为+=1. (3)易知c=2，焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为+=1，将代入标准方程解得b2=6，则椭圆的标准方程为+=1. (4)因为c=b，a2-b2=c2，解得a=2b， 又因为a+b=6，所以b=2，a=4，椭圆的标准方程为+=1或+=1. (5)由题意，椭圆9x2+5y2=45化为标准方程+=1，知焦点F1(0，2)，F2(0，-2)， 设所求椭圆方程为+=1(λ>0)， 将x=2，y=代入，得+=1，解得λ=8或λ=-2(舍去). ∴所求椭圆的标准方程为+=1. [课时检测] 　　　　　　　　　　　 　　　　　 1.已知椭圆+=1上一点P(x，y)到其中一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为 (　　) A.2 B.3 C.1 D. 答案：C 2.已知点P(x，y)满足方程+=6，则点P的轨迹为 (　　) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段 解析：选B　设点A(2，0)，B(-2，0)，则表示|PA|，表示|PB|，所以|PA|+|PB|=6.又|AB|=4<6，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.故选B. 3.“1<k<5”是方程“+=1表示椭圆”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 解析：选B　若方程表示椭圆，则有因此1<k<5且k≠3，故“1<k<5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件. 4.关于椭圆C：+=1，有下列四个命题：甲：m=4；乙：n=9；丙：C的焦距为6；丁：C的焦点在x轴上.如果只有一个假命题，则该命题是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：选A　当甲、乙为真命题时，椭圆方程为+=1，椭圆的焦距为2c=2=2，且焦点在y轴上，此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题.当乙、丙和丁是真命题时，b==3，2c=6，∴a2=b2+c2=9+9=18，此时椭圆方程为+=1，符合题意，故甲是假命题. 5.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 (　　) A.(3，+∞) B.(-∞，-2) C.(-∞，-2)∪(3，+∞) D.(-6，-2)∪(3，+∞) 解析：选D　因为椭圆焦点在x轴上，所以即解得a>3或-6<a<-2. 6.已知椭圆E的焦距为8，且椭圆E上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆E的标准方程为 (　　) A.+=1 B.+=1或+=1 C.+=1 D.+=1或+=1 解析：选B　由题意可知，2a=10，2c=8，即a=5，c=4，b2=a2-c2=9，所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.故选B. 7.化简方程+=10为不含根式的形式是 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析：选C　方程+=10，它的几何意义是动点P(x，y)到定点(0，-3)与到定点(0，3)的距离之和为10>6，从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，且a=5，c=3，∴b=4，其标准方程为+=1. 8.(5分)椭圆+=1的焦距是　　　　，焦点坐标是　　　　.  解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2=100，b2=36，所以c2=a2-b2=64，解得c=8，所以焦距2c=16，两焦点的坐标分别是(-8，0)，(8，0). 答案：16　(-8，0)，(8，0) 9.(5分)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，-3)在椭圆上，则椭圆的方程为　　　　　　　　　.  解析：由题意可得解得故椭圆的方程为+=1. 答案：+=1 10.(5分)椭圆C：+=1(a>0)上的点P(2，-1)到椭圆C的右焦点F的距离为　　　　　　　.  解析：把P(2，-1)代入+=1(a>0)，得+=1，∴a2=6，a=，c==，椭圆C的右焦点为(，0)，∴点P到椭圆C的右焦点F的距离为=-. 答案：- 11.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)b=1，c=，焦点在y轴上；(2分) (2)a=10，c=6；(2分) (3)经过点P(-2，0)，Q(0，2)两点；(3分) (4)与椭圆+=1有相同的焦点且经过点(2，-).(3分) 解：(1)因为b=1，c=，所以a2=b2+c2=16， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为+x2=1. (2)因为a=10，c=6，所以b2=a2-c2=100-36=64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为+=1或+=1. (3)由题意得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以a=2，b=2， 所以椭圆的标准方程为+=1. (4)设椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上， 因为c==1，所以F1(-1，0)，F2(1，0)， 故设椭圆方程为+=1(a>b>0)， 由题意得解得或 (舍去). 所以椭圆的标准方程为+=1. 12.(10分)已知曲线方程+=1，k∈R. (1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围；(3分) (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求k的值.(7分) 解：(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆， 则k+5>3-k>0，解得-1<k<3， 即k的取值范围为(-1，3). (2)若方程表示焦距为2的椭圆，则2c=2，所以c=1. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆， 则a2=k+5，b2=3-k，且-1<k<3， 又c2=a2-b2=k+5-(3-k)=2k+2=1，解得k=-； 若方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则3-k>k+5>0，解得-5<k<-1， 所以a2=3-k，b2=k+5. 又c2=a2-b2=3-k-(k+5)=-2k-2=1，解得k=-. 综上，k=-或k=-. 13.(15分)在Rt△BAC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=，曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程. 解：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 在Rt△BAC中，|BC|==.∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，且|PA|+|PB|>|AB|， ∴由椭圆的定义知，动点P的轨迹E为椭圆， 且a=，c=1，b=1. ∴曲线E的方程为+y2=1. 14.(15分)已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程；(7分) (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.(8分) 解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4+11b2-16=0，故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5，故椭圆M的标准方程为+y2=1. (2)由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1，解得y0=±. 又+=1，所以=，x0=±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为. 130 / 141 学科网（北京）股份有限公司 $$