学易金卷：九年级数学上学期第一次月考02（人教版第二十一章 一元二次方程～第二十二章 二次函数）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考02 参考答案 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A D C A B D A D D B 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13-9 14.-4 15. 16.0 17.5 18. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，；（4分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，．（8分） 20.【详解】（1）解：二次函数，当时有最高点， ∴， ∵此函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为；（5分） （2）解：∵二次函数的对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小．（8分） 21.【详解】（1）解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为；（4分） （2）解：不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴，（7分） ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃．（8分） 22.【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根．（4分） （2）解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5．（8分） 23.【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为；（4分） （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．（8分） 24.【详解】（1）解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为；（5分） （2）设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的．（10分） 25.【详解】解：任务一：∵反应距离为， 制动距离为：， ∴汽车的停车距离； 当时， ∴；（2分） 任务二：（2）由题意可得， ∴， 解得  ，（负根舍去）， ∴ 车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．（6分） 任务三：当时， ∴， 当， ∴，（9分） ∴道路交通安全法规定合理．（10分） 26，【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 对于一次函数， 当时，， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为：（3分） （2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小， 理由：的周长为最小， 设直线的表达式为 把，代入得： ，解得 ∴直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，，即点；（7分） （3）解：存在，理由： 设点 ∵直线与y轴的交点为D， 当时，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ， ． ∵， ∴． 即P点的坐标为（12分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 1 页 第 2 页 第 3 页 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考 02 数学·答题卡 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13．______________ 14．______________ 15．______________ 16．______________ 17. ．______________18.．______________ 三、解答题（本题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8 分） 20.（8 分） 21．（8 分） 22．（8 分） 23．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 任务一： 26．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程~第二十二章 二次函数。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的一个根，则b的值为（   ） A．1 B．－1 C． D．－2 4．用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．y的最大值是1 B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而减小． 9．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A．B． C． D． 10．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 11．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为 ． 14．已知关于的方程的一个根为，则另一个根是 ． 15．将二次函数的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 16．已知二次函数，当时，函数的最小值为   ． 17．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米． 18．定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（8分）已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当x为何值时，y随x的增大而减小? 21．（8分）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． (1)若围成的花圃面积为，求的长； (2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 22．（8分）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 23．（8分）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 24．（10分）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 25．（10分） 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 26．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程~第二十二章 二次函数。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的一个根，则b的值为（   ） A．1 B．－1 C． D．－2 4．用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．y的最大值是1 B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而减小． 9．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A．B． C． D． 10．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 11．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为 ． 14．已知关于的方程的一个根为，则另一个根是 ． 15．将二次函数的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 16．已知二次函数，当时，函数的最小值为   ． 17．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米． 18．定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（8分）已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当x为何值时，y随x的增大而减小? 21．（8分）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． (1)若围成的花圃面积为，求的长； (2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 22．（8分）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 23．（8分）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 24．（10分）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 25．（10分） 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 26．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考02 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 17. ． ______________ 18.． ______________ 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19 ．（8分） ) ( 20.（8分） 21．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22．（8分） 23．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24.(10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（10分） 任务一： ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 2 6 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程~第二十二章 二次函数。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义，化简为一般形式，是解题的关键． 【详解】解：A、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程整理为,是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； D、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：B． 2．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 3．已知是方程的一个根，则b的值为（   ） A．1 B．－1 C． D．－2 【答案】A 【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=-2代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可． 【详解】解：根据题意，得 4-2×b-2=0，即2b+2=4， 解得，b=1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 4．用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是本题的关键．将一元二次方程，移项，配方，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故选：D． 5．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 6．过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设全班有x名同学，根据全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，列出方程即可． 【详解】解：设全班有x名同学，根据题意得： ， 故选：A． 7．如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．y的最大值是1 B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而减小． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据函数解析式的性质判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：二次函数，， ∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，当时，y有最大值1，当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选项A、B的说法正确，D的说法错误； 根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到； 故选项C的说法正确， 故选：D． 9．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得：，，且抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，代入，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，且抛物线的顶点为， 则抛物线解析式为 将代入可得： 解得 即解析式为 故选：A 【点睛】此题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式，解题的关键是理解题意，正确设出解析式． 10．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于点在抛物线上，可把点的坐标代入抛物线的解析式，得到的值，再代入代数式即可求出值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，求代数式的值，在解决问题的过程中用到了整体思想．把看成一个整体并求出其值是解题的关键． 11．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 12．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac＜b2，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故②正确； ∵=1，即b=2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0， 即3a+c=0，故③错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大， ∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确； 所以其中结论正确的有①②⑤，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程转化为一般形式后，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 14．已知关于的方程的一个根为，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15．将二次函数的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据平移的性质，即可求得平移后的抛物线解析式． 【详解】解：根据平移性质可知，平移后的抛物线解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是抛物线平移的性质，左加右减，上加下减，注意加减运算都在自变量一侧． 16．已知二次函数，当时，函数的最小值为   ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、将二次函数解析式化为顶点式，先化为顶点式得出二次函数开口向下，对称轴为直线，再分别求出当时、当时的的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最小值为， 故答案为：． 17．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把解析式化为顶点式，顶点的纵坐标的值即为水柱的最大高度． 【详解】解：， ∴水柱的最大高度是5米， 故答案为：5． 18．定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解题中新运算定义是解答的关键．先根据题意得到方程，再根据方程解的情况得到，进而解不等式求解即可． 【详解】解：由题意，可化为，即， ∵该方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20．（8分）已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当x为何值时，y随x的增大而减小? 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：二次函数，当时有最高点， ∴， ∵此函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小． 21．（8分）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． (1)若围成的花圃面积为，求的长； (2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)不能围成花圃，理由见解析． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到 ，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 【详解】（1）解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； （2）解：不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃． 22．（8分）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． （2）解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 23．（8分）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 24．（10分）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】(1)经过2秒或秒； (2)经过1秒或2秒． 【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 25．（10分） 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 【答案】任务一： ，36；任务二：车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生；任务三：  见解析 【分析】本题考查的是函数的实际应用，一元二次方程的应用，理解题意是解本题的关键； 任务一：根据题干信息提示计算即可得到答案； 任务二：由题意可得方程，解方程后，再结合实际意义下结论即可； 任务三：把每小时30千米，每小时50千米，代入（1）中的函数关系式，计算停车距离与法律规定的数据进行比较即可得到结论． 【详解】解：任务一：∵反应距离为， 制动距离为：， ∴汽车的停车距离； 当时， ∴； 任务二：（2）由题意可得， ∴， 解得  ，（负根舍去）， ∴ 车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．     任务三：当时， ∴， 当， ∴， ∴道路交通安全法规定合理． 26．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，即可求解； （3）设点，根据是以为底的等腰三角形，所以，则，求解即可得出t值，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 对于一次函数， 当时，， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为： （2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小， 理由：的周长为最小， 设直线的表达式为 把，代入得： ，解得 ∴直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，，即点； （3）解：存在，理由： 设点 ∵直线与y轴的交点为D， 当时，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ， ． ∵， ∴． 即P点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中． 试卷第1页，共3页 试卷第8页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$