13.2.2三角形的中线、角平分线、高教学设计 2025-2026学年人教版八年级（2024）数学上册

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 教学设计 教学目标 课题 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 授课人 素养目标 1.理解三角形的中线、角平分线、高等概念，了解三角形的重心的概念. 2.会画出任意三角形的中线、角平分线、高，进一步提升学生的几何直观感知能力. 教学重点 理解三角形的中线、角平分线、高等概念. 教学难点 1.三角形的中线、角平分线、高的区别. 2.探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：复习旧知，温故知新 【复习引入】 我们一起回顾下线段中点、角平分线和垂线的概念： 线段中点 把一条线段分成相等的两条线段的点 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线 垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线 这节课我们将在三角形中对以上概念做进一步的探讨，想知道它们在三角形中是什么样的吗?我们看一下下面这个图. 把一根橡皮筋的一端固定在△ABC 的顶点A 上，再把橡皮筋的另一端从点 B 沿着BC 边移动到点C. 观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，AF，AG，…)中有没有特殊位置的线段?你认为有哪些特殊位置? 通过上图想必你心中一定有自己的答案了，那它们各自又发挥了什么作用呢?快让我们一起在本课时的学习中寻找答案吧！ 【教学建议】 教师可指定学生代表回答所提出的问题，也可以通过实物操作，让学生得到更为直观的感触.学生通过后面的学习可以印证猜想，加深印象. 设计意图 复习巩固旧知，为引入三角形的三条重要线段做准备. 活动二：动手操作，探究新知 探究点1 三角形的中线 问题1 如图，在△ABC中，你能否想一种方法找到边 BC的中点的位置? 可以用直尺量取线段 BC 的长度，再从线段 BC 上找一点D，使 BD 的长度为BC 长度的一半，则点 D 即为边BC 的中点. 概念引入： 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D，所得线段AD 叫作△ABC 的边BC 上的中线. 几何符号语言：∵BD=CD(或 或 ∴AD是△ABC的中线. 反之,∵AD 是△ABC的中线, 设计意图 引入三角形的中线的概念，并探究各种形状的三角形的中线的情况，引入重心的概念.学生根据设置的问题动手画图，探究新知，感悟分类讨论的数学思想. 教学步骤 师生活动 问题2 用同样方法，你能画出△ABC 的另外两条边上的中线吗? 如图所示. 问题3 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线.认真观察，你可得到什么结论? 如图所示. 归纳总结： 三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 三角形的重心的实际意义：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心. 【对应训练】 教材P9练习第2(1)题. 【教学建议】 学生经过观察、思考、交流后，猜想三角形的三条中线交于一点，教师直接告知这个结论是对的，不需要证明.三角形的中线除了具有平分边的性质外，还平分三角形的面积，以及分割的两个三角形的周长间也存在一定关系，后面的备课素材里有相应例题，教师可根据时间安排选讲. 设计意图 探究点2 三角形的角平分线 做一做：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 问题1 如图，AD 是折痕，则∠1 和∠2之间有什么数量关系?AD 是∠BAC 的平分线吗? ∠1=∠2,AD 是∠BAC 的平分线. 问题2 类比三角形的中线，三角形的角平分线是什么? 画△ABC 的∠A 的平分线AD,交∠A 所对的边BC 于点D,所得线段AD 叫作△ABC 的角平分线. 几何符号语言：∵∠1=∠2(或 或 ∴AD是△ABC 的角平分线. 反之,∵AD 是△ABC的角平分线, 问题3 画出△ABC 的另外两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现? 如图所示.△ABC 的三条角平分线相交于一点. 问题4 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线.认真观察，你可得到什么结论? 如图所示.三角形的三条角平分线相交于一点，这一点位于三角形内部. 【对应训练】 教材 P9练习第2(2)题. 【教学建议】 教师引导学生动手操作.初学三角形的角平分线时，从折纸入手是为了让学生对“平分”有更深刻的理解，后面画角平分线时既可通过折纸，沿折痕画角平分线，也可直接通过量角器作图(在后面深入学习角平分线的作法后，要改为尺规作图).在学习三角形的角平分线时，概念容易混淆，教师注意跟学生强调：角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，二者不能混为一谈. 引导学生动手折纸操作，引入三角形的角平分线的概念，探究各种形状的三角形的三条角平分线的情况. 教学步骤 师生活动 设计意图 探究点3 三角形的高 问题1 我们在活动一中已经复习了垂线的概念，你还记得如何“过一点画已知直线的垂线”吗?请在下图中过点 A 画线段 BC 所在直线的垂线.所得垂线段是什么? 如图所示.所得垂线段是AD. 概念引入： 从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的高线.三角形的高线简称三角形的高. 几何符号语言:∵∠BDA=90°(或∠CDA=90°),∴AD 是△ABC 的高. 反之,∵AD 是△ABC的高,∴∠BDA=∠CDA=90°. 问题2 用同样方法，你能画出△ABC的另外两条边上的高吗?你有什么发现? 如图所示.△ABC 的三条高都在三角形的内部，且相交于一点，这一点在三角形内部. 问题3 不难发现，上面的△ABC 是锐角三角形，那么当△ABC 是直角三角形时，你能画出△ABC的三条高吗?又有怎样的发现? 如图所示.△ABC 有两条高恰好是它的两条直角边. 直角边 BC 边上的高是 AB ;直角边 AB 边上的高是 BC ; 斜边 AC 边上的高是 BD . △ABC 的三条高相交于一点，这一点是 直角顶点 . 问题4 当△ABC 是钝角三角形时，你能画出△ABC 的三条高吗?又有怎样的发现?如果将三条高延长呢? 如图所示.△ABC 有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上.△ABC 的三条高没有交点，但三条高所在直线相交于一点，这一点在△ABC 外部. 任意三角形都有三条高，它们所在的直线相交于一点. 【教学建议】 学生从自主动手 画图入手，根据设置的问题逐步深入，可以使学生对三角形的高的各种情形有一个更直观的了解和清晰的认识.尤其在画钝角三角形的三条高时，有两个垂足落在边的延长线上，学生自行尝试，能在实践中更加深刻地理解.在学习三角形的高时，画钝角三角形的高也是一个易错点，作图时要紧密联系概念“从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线”，找准要作的是哪条边上的高，并注意和学生强调以免混淆：三角形的高是线段，所以钝角三角形的三条高是没有交点的，是它们所在的直线相交于一点. 引导学生动手画图，自然引入三角形的高的概念. 设计意图 探究各种形状的三角形的高的情况，加深对三角形的高的理解. 活动三：融会新知，巩固提升 例 如图,在直角三角形 ABC 中,BC 边上有E,D,F 三点,BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足为F. (1)以AD 为中线的三角形是 △ABC ; (2)以AE 为角平分线的三角形是 △ABD ; (3)以AF 为高的三角形有 10 个，其中钝角三角形的个数是 3 . 【教学建议】 本题考查了三角 形的中线、角平分线、高的概念，要准确地将三者加以区分.注意图形中线段较多，三角形也较多，分辨时需仔细，不要混淆. 设计意图 通过例题将三角形的三条重要线段在一个几何模型里综合考查，加深学生对三角形的三条重要线段的理解. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是三角形的中线?什么是三角形的角平分线?什么是三角形的高?它们各自有何特点? 2.你能画出任意三角形的中线、角平分线和高吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P9~10习题13.2第3,4,7,8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.三角形的中线：是线段，有3条，它们相交于三角形内部一点，这一点叫作三角形的重心. 2.三角形的角平分线：是线段，有3条，它们相交于三角形内部一点. 3.三角形的高：是线段，有3条，它们所在直线交于一点(可能在三角形内部，也可能在三角形外部，也可能在三角形的直角顶点上). 教学步骤 师生活动 教学反思 在学习三角形的三条重要线段时，从画图入手.画图时，对于三角形的形状需分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生分类讨论的思想.通过画图在学生头脑中对这三条线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的概念以及表示方法，加深印象. 备课素材 解题大招 解题大招一 准确识别钝角三角形的高的方法 解决此类问题的核心是紧扣三角形的高的概念，作哪条边上的高，就是从它所对的顶点向这条边所在直线作垂线，所得的垂线段即为高.△ABC 有3个顶点A，B，C，若是找边 BC上的高，则这条高应是从排除B，C两点的A 点发出的.另外如果是识别钝角三角形中的高，那么三条高中垂足在边的延长线上的两条高是从锐角顶点发出的，而垂足在三角形的边上的高是从钝角顶点发出的，可通过以上性质快速判断. 例1 例题可扫描本课时最后的二维码下载获取. 解题大招二 利用三角形的中线解决与周长有关的问题的方法 三角形的中线分成的两个三角形的周长之间的关系： 结论:若AD 是△ABC的中线,则△ABD和△ACD的周长之差就是边 AB 与AC 的长度之差 图示： 推导:∵BD=CD,∴△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC 例2 在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线 BD 把△ABC的周长分为12cm和15cm的两部分,求△ABC 的三边长. 答案解:设AB=AC= xcm,则 (1)如图①,若AB+AD=12cm,则x+0.5x=12.解得x=8,即AB=AC=8cm,则CD=4cm.故BC=15-4=11(cm).此时AB+AC>BC,三角形存在,所以三边长分别为8cm,8cm,11cm. (2)如图②,若AB+AD=15cm,则x+0.5x=15. 解得x=10,即AB=AC=10cm,则CD=5cm.故BC=12-5=7(cm). 显然此时三角形存在，所以三边长分别为10cm，10cm，7cm. 综上所述,△ABC的三边长分别为8cm,8cm,11cm或10cm,10cm,7cm. 培优计划 培优点一 利用三角形的中线解决面积问题 三角形的中线分成的两个三角形的面积之间的关系： 结论：若AD，AE 分别是△ABC 的中线和高，则有 即三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 图示： 推导： 学科网（北京）股份有限公司 $$