13.2.1 三角形的边教学设计 2025-2026学年人教版八年级（2024）数学上册

13.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 教学设计 教学目标 课题 13.2.1 三角形的边 授课人 素养目标 1.理解三角形的三边关系，能证明三角形的任意两边的和大于第三边；会利用这个不等关系判断已知的三条线段能否组成三角形，及已知三角形的两边求第三边的取值范围，初步体会几何直观和推理的逻辑严密性. 2.了解三角形的稳定性. 教学重点 三角形的三边关系. 教学难点 三角形的三边关系的应用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，引入新知 【情境引入】 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B 路线，没有选择A→C→B路线，难道小狗也懂数学? 让我们带着这个问题进入今天的学习吧. 【教学建议】 适当引导学生回忆七年级上册学过的“两点之间，线段最短”的知识. 设计意图 通过实际情境激发学生兴趣，引出课题. 活动二：交流讨论，探究新知 探究点1 三角形的三边关系 (教材P5探究) 问题1 任意画一个△ABC，如图，从点 B 出发，沿三角形的边到点 C，有几条线路可以选择? 有两条线路可以选择. 线路1:B→C;线路2:B→A→C. 问题2 哪条线路较短?理由是什么? 线路1较短.理由：两点之间，线段最短. 问题3 由问题1，2，可说明三角形的边之间有什么关系?能证明你的结论吗? 对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如 B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB, ② AB+BC>AC. ③ 这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边. 进一步,由不等式②③,移项可得BC>AB-AC,BC>AC-AB. 这就是说，三角形两边的差小于第三边. 思考(教材P5思考)上面的结论表明了三角形三边之间的关系.反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形? 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 【对应训练】 教材P7练习第1题. 【教学建议】 “三角形两边的和大于第三边”可以用来判断三条线段能否组成三角形，要让学生会运用这个结论解决这样的问题.一定要检查是否任意两条线段的和都大于第三条线段.也可以检查较小的两条线段的和是否大于第三条线段. 教学步骤 师生活动 设计意图 探究点2 三角形的稳定性 【情境引入】 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如下图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么? 探究 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗? 可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形. 三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子.你能再举一些例子吗? 能.如输电线支架、索道支架等，如下图. 【对应训练】 如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里所运用的几何原理是(C) A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.三角形的稳定性 D.三角形的灵活性 【教学建议】 三角形的稳定性 在生产和生活中是很有用的.在探究这一点时，教师宜在多媒体教具上举出大量应用三角形稳定性的例子，也可结合实际，让学生通过实验得出这个性质. 结合实例使学生了解三角形的稳定性. 活动三：知识升华，巩固提升 例 (教材P6例题)用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?为什么? 解:(1)设底边长为 xcm,则腰长为2x cm,则 x+2x+2x=18.解得x=3.6. 所以,三角形三边的长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm. (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①如果4cm长的边为底边,设腰长为 xcm,则4+2x=18.解得x=7. ②如果4cm长的边为腰,设底边长为 ycm,则2×4+y=18.解得y=10. 因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 【教学建议】 本 例 是 为 巩 固 “三角形两边的和大于第三边”而设，可根据条件列方程求解，注意提醒学生用“三角形两边的和大于第三边”判断所得的结果是否合理.在第(2)小题中要引导学生认真审题，“有一边的长”并没有指明这一边是底边还是腰，所以要分情况讨论. 设计意图 巩固刚刚学习的三角形的三边关系的同时，让学生运用所学知识，学会规范答题，感悟几何计算的严谨性，明白学习本节知识点的意义. 教学步骤 师生活动 【对应训练】 1.教材P7练习第2题. 2.阅读两名同学对下题的解答过程. 一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少? 李明的解答过程：设腰长为 xcm，则2x+8=28，解得x=10，所以这个三角形另外两边的长均为10cm. 张钢的解答过程：设底边长为 xcm，则2×8+x=28，解得x=12，所以这个三角形另外两边的长分别为8cm，12cm. 试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程. 解：李明和张钢两人的解答过程都不正确.正确的解答过程如下： 根据题意可知有两种情况： ①当腰长为8cm,周长为28cm时,底边长为28-8-8=12(cm). 因为8cm,8cm,12cm能够组成三角形,所以另外两边的长分别为8cm 和12cm. ②当底边长为8cm，周长为28cm时，腰长为 因为10cm，10cm，8cm能够组成三角形，所以另外两边的长均为10cm. 综上可知，另外两边的长分别为8cm，12cm或均为10cm. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.三角形的三边关系是怎样的? 2.三角形的稳定性如何? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材 P9~10习题13.2第1,2,5,6题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 13.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 1.三角形的三边关系. 2.三角形的稳定性. 教学反思 本节课通过实际情境，引导学生学习三角形的三边关系和三角形的稳定性，取得了较好的教学效果.但从课堂教学的情况来看，由于初次接触线段的不等关系，部分学生对线段不等关系问题的解决感到困难，不知道如何去思考和解决；同时在与等腰三角形结合时，容易忽略三角形三边关系的约束作用，导致出现了错误答案.在今后教学中，要进一步加强巩固这方面的知识. 解题大招 解题大招一 快速判断三条线段能否构成三角形的技巧 判断三角形的三边关系时，只要满足三条线段中较短的两条线段的和大于第三条线段的条件，或者只要满足最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件就能构成三角形，否则不能构成三角形. 例1 下列长度的四组线段能组成三角形的是(D) A.1cm,2cm,3.5cm B.4cm,5cm,9 cm C.5cm,8cm,15cm D.6cm,8cm,9cm 解析:∵1+2=3(cm)<3.5cm,∴不能组成三角形. 用较短的两条线段的和 ∵4+5=9(cm),∴不能组成三角形. 与最长的线段做比较. ∵5+8=13(cm)<15cm,∴不能组成三角形. ∵6+8=14(cm)>9cm,∴能组成三角形.故选 D. 解题大招二 已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围 已知三角形的两边长分别为a，b，那么第三边长x的取值范围为|a-b|<x<a+b. 例2 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是 4<a<8 . 解析：∵三角形两边长分别为2，6，该三角形第三边长为a，∴6-2<a<6+2， 即4<a<8,故答案为4<a<8. 例3 已知三角形的三边长均为正整数，其中两边长为2，4，则第三边的长可以是 3(或4或5) .(请写出一个符合条件的值) 解析：设三角形第三边的长是x，由三角形的三边关系可得4-2<x<4+2， ∴2<x<6.∵三角形的三边长均为正整数，∴三角形第三边的长可以是3或4或5. 培优计划 培优点一 利用三角形的三边关系进行化简 例1 已知a,b,c 是一个三角形的三条边长,化简|a+c-b|-|a-b-c|. 分析:由三角形两边的和大于第三边,得a+c>b,a<b+c.再由绝对值的性质即可化简|a+c-b|-|a-b-c|. 答案解:由三角形的三边关系,得a+c>b,a<b+c, 所以|a+c-b|-|a-b-c|=a+c-b-[-(a-b-c)]=a+c-b+a-b-c=2a-2b. 培优点二 利用三角形的三边关系解决线段间的不等关系问题 例2 (教材P21复习题T3变式题)已知点 P 是△ABC 内任意一点. (1)如图①,求证:AB+AC>PB+PC; (2)如图②,连接PA,试比较 与 PA+PB+PC 的大小. 分析： (2)在△ABP，△BCP，△ACP 中分别运用三角形的三边关系，再将几个不等关系结合，从而解决问题. (1)证明:如图①,延长BP 交AC 于点D. 根据三角形两边的和大于第三边,得AB+AD>BD,CD+DP>PC,∴AB+AD+CD+DP>BD+PC.∴AB+AC+DP>PB+DP+PC.∴AB+AC>PB+PC. (2)解：根据三角形两边的和大于第三边，得PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>AC,∴2(PA+PB+PC)>AB+AC+BC.∴PA+PB+PC> (AB+AC+BC). 学科网（北京）股份有限公司 $$