北京市2025-2026学年九年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 人教版

北京市2025-2026学年九年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．（2分）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y＝35x+20来表示．则当x的值分别是2，3时，相应的y的值分别为（　　） A．90，130 B．125，90 C．80，125 D．90，125 2．（2分）以下关于平行四边形的性质描述错误的是（　　） A．对边平行 B．邻角互补 C．对边相等 D．对角线互相垂直 3．（2分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2 4．（2分）已知一次函数表达式为：y＝4x﹣3，则此一次函数图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 5．（2分）将抛物线y＝4x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝4（x+3）2+2 B．y＝4（x﹣3）2﹣2 C．y＝4（x+3）2﹣2 D．y＝4（x﹣3）2+2 6．（2分）小梅用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为900cm2的正方形，如图所示，求长方形硬纸片的长、宽分别为（　　） A．30cm，15cm B．15cm，30cm C．10cm，20cm D．20cm，40cm 7．（2分）如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点，BC＝12，则EF＝（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 8．（2分）若点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上，则m+n的最大值是（　　） A．0 B． C． D．2 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．（2分）如果一次函数y＝（m﹣2）x+b的函数值y随x值的增大而增大，那么m的取值范围为 　 　 ． 10．（2分）如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是 　 　 ． 11．（2分）若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣12m+2018＝　 　 ． 12．（2分）在△ABC中BC＝8，，AB＝b，且关于x的方程x2﹣8x+b＝0有两个相等的实数根，则AB边上的中线长为 　 　 ． 13．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝30°，点E在CD边上，若AE＝AC，DE＝6，则AC＝　 　 ． 14．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，下列四个结论： ①abc＞0； ②4a+2b+c＞0； ③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0； ④点（t﹣2，y1），（t+1，y2）在抛物线上，当t＜﹣2时，y1＞y2． 其中正确的是 　 　 （填写序号）． 15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x﹣8与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，记s＝x1+x2+x3，则s的取值范围为 　 　 ． 16．（2分）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，AD＝2，CD＝5，这个梯形的中位线的长度为 　 　 ． 三．解答题（共12小题，满分68分） 17．（6分）解方程： （1）（x﹣2）（x﹣3）＝12； （2）3x2﹣4x+1＝0． 18．（5分）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，求代数式2m2﹣6m﹣2022的值． 19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线上存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2）．若对于1≤x1≤2，x2＝b﹣2都有y1•y2＜0，求b的取值范围． 20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，7），B（﹣1，﹣1），且与y轴交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 21．（6分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，AC＝6cm，BD＝8cm． （1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明； （2）求四边形ABCD的周长． 22．（5分）某景区在今年的“国庆”假期间，接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，该景区一家特色小面店希望在“国庆”假期间卖面获得好的收益，经测算知，该面成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为168元． （1）求预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗面售价不得超过20元，当每碗面提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用） 23．（5分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： （1）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值； （2）关于x的一元二次方程x2n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式． 24．（5分）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是小明探究函数M：y＝x2﹣4|x|+3的图象和性质的部分过程，请按要求回答问题： （1）列表，列出y与x的几组对应值如表： x … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2.5 ﹣2 ﹣1 0 1 2 2.5 3 3.5 4 … y … 3 1.25 0 ﹣0.75 ﹣1 0 3 0 a ﹣0.75 0 1.25 3 … 表格中，a＝　 　 ． （2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出函数M的图象． （3）观察图象，性质及其运用： ①当x 　 　 时，y随x的增大而增大； ②求函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+3的交点坐标； ③若函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b只有两个交点，请求出b的取值范围． 25．（6分）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米． d（米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； （3）求所画图象对应的函数表达式； （4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若y1＝3，求t的值； （2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，求t的取值范围． 27．（7分）四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）如图1，求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为6，，求正方形DEFG的边长． 28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+6（k≠0）与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，将直线l1沿x轴向左平移8个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接AD． （1）求点B的坐标和直线l2的函数解析式； （2）在直线l2上是否存在点P，使得△ACP的面积与△ABD的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 北京市2025-2026学年九年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．（2分）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y＝35x+20来表示．则当x的值分别是2，3时，相应的y的值分别为（　　） A．90，130 B．125，90 C．80，125 D．90，125 【考点】函数值；函数关系式． 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】D 【分析】将x＝2，x＝3分别代入函数解析式中计算即可． 【解答】解：当x＝2时， y＝35×2+20＝90； 当x＝3时， y＝35×3+20＝125； 故选：D． 【点评】本题考查函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2分）以下关于平行四边形的性质描述错误的是（　　） A．对边平行 B．邻角互补 C．对边相等 D．对角线互相垂直 【考点】平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的概念（有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）和平行四边形的性质进行判断． 【解答】解：A、平行四边形的对边相互平行，故本选项不符合题意； B、平行四边形的邻角互补，故本选项不符合题意； C、平行四边形的对边相等，故本选项不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 3．（2分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；模型思想． 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴． 【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+2， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝1， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由顶点式可以直接写出对称轴． 4．（2分）已知一次函数表达式为：y＝4x﹣3，则此一次函数图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【考点】一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】B 【分析】根据k＝4＞0，b＝﹣3＜0，即可进行判断． 【解答】解：∵k＝4＞0，b＝﹣3＜0， ∴一次函数y＝4x﹣3的函数图象过第一、三、四象限，不过第二象限． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解决本题的关键． 5．（2分）将抛物线y＝4x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝4（x+3）2+2 B．y＝4（x﹣3）2﹣2 C．y＝4（x+3）2﹣2 D．y＝4（x﹣3）2+2 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】D 【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【解答】解：∵抛物线y＝4x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位的顶点坐标为（3，2）， ∴得到的抛物线的解析式为y＝4（x﹣3）2+2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减． 6．（2分）小梅用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为900cm2的正方形，如图所示，求长方形硬纸片的长、宽分别为（　　） A．30cm，15cm B．15cm，30cm C．10cm，20cm D．20cm，40cm 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】分析题意，设长方形硬纸片的宽为x cm，则可表示出正方形的边长；再根据正方形的面积为900cm2，可得出关于x的方程，解方程即可完成解答，注意：x为正数． 【解答】解：设长方形硬纸片的宽为x cm，则正方形的边长为2x cm， 所以900＝2x•2x， 解得x＝15（负值舍去）， 30＝2x， 所以长方形硬纸片的长为30cm，宽为15cm． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． 7．（2分）如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点，BC＝12，则EF＝（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 【考点】三角形中位线定理． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点且BC＝12， ∴EF6， 故选：B． 【点评】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质． 8．（2分）若点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上，则m+n的最大值是（　　） A．0 B． C． D．2 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】B 【分析】把点（m，n）代入y＝﹣x2+1中，得到m+n＝﹣m2+m+1，运用配方法求式子的最大值即可． 【解答】解：∵点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上， ∴n＝﹣m2+1， ∴m+n＝﹣m2+m+1＝﹣（m）2， ∴当m时，m+n有最大值． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉配方法是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．（2分）如果一次函数y＝（m﹣2）x+b的函数值y随x值的增大而增大，那么m的取值范围为 　m＞2　 ． 【考点】一次函数图象与系数的关系． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】m＞2． 【分析】由一次函数y＝（m﹣2）x+b的函数值y随x值的增大而增大可知，m﹣2＞0，解得即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+b的函数值y随x值的增大而增大， ∴m﹣2＞0， 解得m＞2， 故答案为：m＞2． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． 10．（2分）如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是 　x＞2　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题． 【专题】数形结合；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2． 【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2， 故答案为：x＞2． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息． 11．（2分）若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣12m+2018＝　2022　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题；一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】2022． 【分析】先把m代入一元二次方程中，得到m2﹣3m的值，再整体代入得结论． 【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴m2﹣3m﹣1＝0，即m2﹣3m＝1． ∴4m2﹣12m＝4． ∴4m2﹣12m+2018＝4+2018＝2022． 故答案为：2022． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程解的意义是解决本题的关键． 12．（2分）在△ABC中BC＝8，，AB＝b，且关于x的方程x2﹣8x+b＝0有两个相等的实数根，则AB边上的中线长为 　8　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】8． 【分析】先根据x2﹣8x+b＝0有两个相等的实数根求出b，再根据三边长得出△ABC是以AB为斜边的直角三角形，即可求解． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣8x+b＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4b＝64﹣4b＝0， ∴AB＝b＝16， ∵BC＝8，， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，AB是斜边， ∴AB边上的中线长， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理，解题的关键是证明△ABC是直角三角形． 13．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝30°，点E在CD边上，若AE＝AC，DE＝6，则AC＝　　 ． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】． 【分析】过点E作EF⊥AD于F，由菱形的性质和等腰三角形的性质可求∠DAE＝45°，由直角三角形的性质可求EF的长，再求AE即可． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝30°，DE＝6， ∴∠D＝30°，AB＝BC＝CD＝DA， ∴， ； ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACD＝75°， ∴∠CAE＝30°， ∵∠DAC＝∠CAE+∠FAE＝75°， ∴∠FAE＝∠DAC﹣∠CAE＝45°， ∴AF＝EF＝3， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 14．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，下列四个结论： ①abc＞0； ②4a+2b+c＞0； ③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0； ④点（t﹣2，y1），（t+1，y2）在抛物线上，当t＜﹣2时，y1＞y2． 其中正确的是 　②③④　 （填写序号）． 【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】②③④． 【分析】由抛物线经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得a，b符号，由（﹣3，0）及抛物线对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而可得c的符号，进而判断①②，由a与b的关系可得ax2+bx＝0的解，从而可得抛物线y＝ax2+bx与x轴交点坐标，从而判断③，由抛物线的对称轴及开口方向可得x＜﹣1时y随x增大而减小，再根据t＜﹣2可得t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1，从而判断④． 【解答】解：∵抛物线经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0， ∴顶点为最低点，即抛物线开口向上，a＞0， 由抛物线的对称性可得抛物线经过（1，0）， ∴﹣3＜x＜1时，y＜0， ∴x＝0时，抛物线与y轴交点在x轴下方，即c＜0， ∵1， ∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，①错误． 当x＞1时，y＞0， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，②正确． ∵b＝2a， ∴ax2+bx＝ax2+2ax＝ax（x+2）， ∴抛物线y＝ax2+bx与x轴交点坐标为（0，0），（﹣2，0）， ∵a＞0，抛物线开口向上， ∴x＜﹣2或x＞0时，y＞0，③正确． 当t＜﹣2时，t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1， ∵x＜﹣1时，y随x增大而减小， ∴y1＞y2，④正确． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x﹣8与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，记s＝x1+x2+x3，则s的取值范围为 　10＜s　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】10＜s． 【分析】依据题意，当y＝0时，由﹣x2+6x﹣8＝0，解得x1＝2，x2＝4，可得A（2，0），B（4，0），又当x＝0 时，y＝﹣8，可得C（0，﹣8），进而求出直线BC的解析式，又y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，可得抛物线的顶点坐标为（3，1），又x1＜x2＜x3，故0＜y1＝y2＝y3＜1，结合题意，当 y3＝1 时，2x﹣8＝1，可得，故4＜x3．，再由点P和点Q为抛物线上关于对称轴对称的两点，可得x2﹣3＝3﹣x1，即x1+x2＝6，故s＝6+x3，进而可以判断得解． 【解答】解：当y＝0时，由﹣x2+6x﹣8＝0， ∴x1＝2，x2＝4． ∴A（2，0），B（4，0）． 又当x＝0 时，y＝﹣8，∴C（0，﹣8）． ∴直线BC的解析式为y＝2x﹣8． 又∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1． ∴抛物线的顶点坐标为（3，1）． 又x1＜x2＜x3， 0＜y1＝y2＝y3＜1． 当 y3＝1 时，2x﹣8＝1， ∴解得． ∴4＜x3． 又点P和点Q为抛物线上关于对称轴对称的两点， ∴x2﹣3＝3﹣x1． ∴x1+x2＝6 ∴s＝6+x3． ∴10＜s． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 16．（2分）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，AD＝2，CD＝5，这个梯形的中位线的长度为 　　 ． 【考点】梯形中位线定理；勾股定理；直角梯形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；梯形；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，易证四边形ABED是矩形，所以可得AD＝BE，AB＝DE，在直角三角形DEC中，利用勾股定理可求出CE的长，进而可求出BC的长，根据梯形的中位线定理即可得到结论． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4， 在直角三角形DEC中，CD＝5， ∴CE3， ∴BC＝BE+CE＝2+3＝5， ∴这个梯形的中位线的长度为（AD+BC）（2+5）， 故答案为：． 【点评】本题考查了梯形的中位线定理，直角梯形的性质以及勾股定理的运用，正确作出图形的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三．解答题（共12小题，满分68分） 17．（6分）解方程： （1）（x﹣2）（x﹣3）＝12； （2）3x2﹣4x+1＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣1； （2）． 【分析】（1）先将原方程移项化简，然后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣3）＝12， x2﹣5x+6﹣12＝0， x2﹣5x﹣6＝0， （x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣1； （2）3x2﹣4x+1＝0， （3x﹣1）（x﹣1）＝0， ∴3x﹣1＝0或x﹣1＝0， ∴． 【点评】本题主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键． 18．（5分）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，求代数式2m2﹣6m﹣2022的值． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；推理能力． 【答案】﹣2018． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝m入方程即可得到m2﹣3m的形式，再整体代入m2﹣3m＝2，即可求解． 【解答】解：根据题意得：m2﹣3m﹣2＝0， ∴m2﹣3m＝2， ∴2m2﹣6m﹣2022＝2（m2﹣3m）﹣2022＝4﹣2022＝﹣2018． 【点评】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线上存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2）．若对于1≤x1≤2，x2＝b﹣2都有y1•y2＜0，求b的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）y＝x2﹣2x； （2）1＜b＜2或b＜﹣2． 【分析】（1）将点的坐标代入关系式，即可得出答案； （2）先求出抛物线的对称轴，及与x轴交点坐标，再分两种情况讨论得出不等式组，求出解集即可． 【解答】解：（1）由题意可得：22﹣4b＝0， 解得b＝1， ∴y＝x2﹣2x； （2）∵对称轴是． ∴当y＝0时，x2﹣2bx＝0， ∴x1＝0，x2＝2b， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2b，0）． 当原点位于对称轴左侧时，对于1≤x1≤2，x2＝b﹣2，都有y1y2＜0， ∴， 解得1＜b＜2； 当原点位于对称轴右侧时， 2b＜b﹣2＜0， 解得b＜﹣2． 所以1＜b＜2或b＜﹣2． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数的图象和性质，解不等式组，正确进行计算是解题关键． 20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，7），B（﹣1，﹣1），且与y轴交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）y＝2x+1，C（0，1）； （2）n≥4． 【分析】（1）把点A（3，7），B（﹣1，﹣1）代入y＝kx+b得到，解方程组即可得到结论； （2）根据点（1，3）结合一次函数的性质即可求得． 【解答】解：（1）把点A（3，7），B（﹣1，﹣1）代入y＝kx+b得， 解得， ∴该函数的解析式为y＝2x+1， 当x＝0时，y＝1， ∴C（0，1）； （2）把x＝1代入y＝2x+1，得y＝3，把点（1，3）代入y＝﹣x+n，得n＝4． ∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值， ∴n的取值范围是n≥4． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． 21．（6分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，AC＝6cm，BD＝8cm． （1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明； （2）求四边形ABCD的周长． 【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）菱形，证明见解析； （2）20cm． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到OA＝3cm，OB＝4cm，再由勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，则AC⊥BD，然后由菱形的判定定理即可得出结论； （2）由菱形的性质得BC＝CD＝AD＝AB＝5cm，即可解决问题． 【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，证明如下： ∵平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm， ∴OAAC＝3cm，OBBD＝4cm， ∵AB＝5cm， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形，AB＝5cm， ∴BC＝CD＝AD＝AB＝5cm， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×5＝20（cm）． 【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键． 22．（5分）某景区在今年的“国庆”假期间，接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，该景区一家特色小面店希望在“国庆”假期间卖面获得好的收益，经测算知，该面成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为168元． （1）求预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗面售价不得超过20元，当每碗面提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用） 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）20%； （2）当每碗面提高3元时，店家才能实现每天净利润600元． 【分析】（1）今年“国庆”假期间接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，根据增长率的计算方法，即可求解； （2）成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为168元，根据题意设当每碗面提高a元时，店家才能实现每天净利润600元，由此列出方程即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，设年平均增长率为x， ∴2（1+x）2＝2.88，解方程得，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， ∴预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率为20%． （2）解：设当每碗面提高a元时，店家才能实现每天净利润600元， ∴（15+a﹣10）（120﹣8a）﹣168＝600， 即a2﹣10a+21＝0， 解方程得，a1＝3，a2＝7， 当a1＝3时，售价为15+3＝18＜20，符合题意； 当a2＝7时，售价为15+7＝22＞20，不符题意，舍去． 答：每碗面提高3元时，店家能实现每天净利润600元． 【点评】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键． 23．（5分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： （1）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值； （2）关于x的一元二次方程x2n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式． 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）0； 2）． 【分析】（1）根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，得到m＝﹣n或，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0； （2）设其中一根为t，则另一个根为2t，可以得出ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足，据此求解即可． 【解答】解：（1）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0， ∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程， ∴， ∴4m2+5mn+n2＝0． （2）∵是倍根方程， ∴， 整理得：m＝3n． ∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上， ∴n＝3m﹣8， ∴n＝1，m＝3， ∴此方程的表达式为． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 24．（5分）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是小明探究函数M：y＝x2﹣4|x|+3的图象和性质的部分过程，请按要求回答问题： （1）列表，列出y与x的几组对应值如表： x … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2.5 ﹣2 ﹣1 0 1 2 2.5 3 3.5 4 … y … 3 1.25 0 ﹣0.75 ﹣1 0 3 0 a ﹣0.75 0 1.25 3 … 表格中，a＝　﹣1　 ． （2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出函数M的图象． （3）观察图象，性质及其运用： ①当x 　＞2或﹣2＜x＜0　 时，y随x的增大而增大； ②求函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+3的交点坐标； ③若函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b只有两个交点，请求出b的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】（1）﹣1； （2）图象见解析； （3）①＞2或﹣2＜x＜0；②，y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+3的交点坐标为（0，3），（6，15），（﹣2，﹣1）；③b的取值范围是b＞3或﹣6＜b＜2． 【分析】（1）由x＝2时，y＝x2'﹣4|x|+3＝22﹣4×2+3＝﹣1，即可得到答案； （2）经过描点，连线，即可得到函数图象； （3）①观察图象可知当﹣2＜x＜0或x＞2时，y随x的增大而增大，即可得到解答； ②分x≥0和x＜0两种情况，解二次函数和一次函数联立得到的方程组，即可得到答案； ③结合图象，分析讨论，即可得到b的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝2时，y＝22﹣4×|2|+3＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）如图所示： （3）由图象可得：①x＞2或﹣2＜x＜0，y随x的增大而增大， 故答案为：＞2或﹣2＜x＜0； ②y＝x2﹣4|x|+3， 当x≥0时，联立方程组， 解得或， ∴y＝x2﹣4x+3与y＝2x+3的交点坐标为（0，3）和（6，15）； 当x＜0时，， 解得或（舍去）． 综上，y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+3的交点坐标为（0，3），（6，15），（﹣2，﹣1）； ③如图，当直线l：y＝2x+b经过点（3.0）时，即0＝2×3+b，解得b＝﹣6， 此时函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b只有1个交点， 当x＜0时，且函数M：y＝x2+4x+3与直线l：y＝2x+b相切时，此时函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b恰有3个交点， 由2x+b＝x2+4x+3，即x2+2x+3﹣b＝0有两个相等的实数根， 得到Δ＝22﹣4（3﹣b）＝0， 解得b＝2， ∴当﹣6＜b＜2时，函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b只有两个交点， 当直线l：y＝2x+b经过点（﹣2．﹣1）时，即﹣1＝2×（﹣2）+b，解得b＝3， 此时函缕M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b恰有三个交点， ∴由图象可知，当b＞3时，函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b只有两个交点， 综上可知，若函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b只有两个交点，b的取值范围是b＞3或﹣6＜b＜2． 【点评】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一次函数的交点等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 25．（6分）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米． d（米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； （3）求所画图象对应的函数表达式； （4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】（1）图象见解答过程； （2）最高点距离湖面的高度是4米； （3）h＝﹣（d﹣1）2+4； （4）公园至少需要准备32米的护栏． 【分析】（1）根据对应点画图象即可； （2）由图象可得答案； （3）利用待定系数法可得关系式； （4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长． 【解答】解：（1）如图： （2）由图象可知，这条水柱最高点距离湖面的高度是4米； （3）由图象可得，顶点（1，4）， 设二次函数的关系式为h＝a（d﹣1）2+4， 把（2，3）代入可得a＝﹣1， ∴h＝﹣（d﹣1）2+4； （4）当h＝0时，即﹣（d﹣1）2+4＝0， 解得d＝﹣1（舍去）或d＝3， ∴正方形的边长为2×（3+1）＝8（米）， ∴至少需要准备栏杆4×8＝32（米）， ∴公园至少需要准备32米的护栏． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若y1＝3，求t的值； （2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，求t的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）t＝﹣1； （2）1≤t≤3． 【分析】（1）把A点的坐标代入解析式求得b＝2a，然后利用对称轴公式即可求得； （2）由题意可知点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t﹣2），分两种情况讨论，得到关于t的不等式组，解不等式组从而求得t的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上， ∴3＝4a﹣2b+3， ∴b＝2a， ∴t1； （2）∵a＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）开口向上， |﹣2﹣t|＞|m﹣t|＞|2﹣t|， 又∵t+1＜m＜t+2， ∴1＜m﹣t＜2， ∴， ∴， ∴1≤t≤3， 故1≤t≤3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．（7分）四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）如图1，求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为6，，求正方形DEFG的边长． 【考点】四边形综合题． 【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析； ②． 【分析】（1）由正方形ABCD得AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，可证得△ABE≌△ADE，可证得结果； （2）①作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，利用勾股定理得到EQ＝EP，再证明△EQF≌△EPD（ASA），即可得出EF＝ED，从而证明结论；②连接CG，先证明△ADE≌△CDG，可得，过点E作EM⊥AD于M，最后由勾股定理求得DE的长． 【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①如图，作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q， ∵在正方形ABCD中， ∴∠DCA＝∠BCA＝45°， ∴△ECP和△ECQ均为等腰直角三角形，由勾股定理可得EC2＝EP2+CP2＝2EP2，EC2＝EQ2+CQ2＝2EQ2， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， ∴△EQF≌△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； ②连接CG， ∵在正方形ABCD，正方形DEFG中， ∴AD＝CD，ED＝GD， ∵∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴， 如图所示，过点E作EM⊥AD于M，则△AEM是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∴AM2＝EM2＝4，即AM＝EM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， ∴，即正方形DEFG的边长为． 【点评】本题主要考查了四边形综合，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+6（k≠0）与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，将直线l1沿x轴向左平移8个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接AD． （1）求点B的坐标和直线l2的函数解析式； （2）在直线l2上是否存在点P，使得△ACP的面积与△ABD的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）B（0，6）；y＝﹣x﹣2； （2）存在；（﹣8，6）或（4，﹣6）． 【分析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+6（k≠0），求出k＝﹣1，得出直线l1的解析式为：y＝﹣x+6，把x＝0代入直线l1得：y＝6，即可得出点B的坐标；根据平移求出直线l2的解析式即可； （2）先求出点D的坐标为（0，﹣2），得出，设点P的纵坐标为m，根据S△ACP＝24，得出，求出m＝±6，再求出结果即可． 【解答】解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+6（k≠0）得：6k+6＝0， 解得：k＝﹣1， ∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+6， 把x＝0代入直线l1得：y＝6， ∴点B的坐标为（0，6）； ∵将直线l1沿x轴向左平移8个单位长度后得到直线l2， ∴直线l2的解析式为：y＝﹣（x+8）+6， 即直线l2的解析式为y＝﹣x﹣2； （2）存在；理由如下： 把x＝0代入y＝﹣x﹣2得：y＝﹣2， ∴点D的坐标为（0，﹣2）， ∴， ∴S△ACP＝S△ABD＝24， 设点P的纵坐标为m，则， 解得：m＝±6， 当m＝6时，6＝﹣x﹣2， 解得：x＝﹣8， 即此时点P的坐标为（﹣8，6）； 当m＝﹣6时，﹣6＝﹣x﹣2， 解得：x＝4， 即此时点P的坐标为（4，﹣6）； 综上分析可知：点P的坐标为：（﹣8，6）或（4，﹣6）． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数平移问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数与坐标轴交点坐标求法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$