5.4函数的奇偶性(3)学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

灌南二中高一年级数学学科导学案 5.3 函数的奇偶性（3） 学习目标 1. 掌握函数的奇偶性与单调性的关系； 2. 能证明抽象函数的奇偶性； 任务一 问题情境 引例：已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，当x∈[0，2]时，函数y＝f(x)的图象如图所示， 图1 图2 (1)若f(x)是偶函数，试在图1画出左侧图像，并写出其单调区间； (2)若f(x)是奇函数，试在图2画出左侧图像，并写出其单调区间； 问题1 观察图1，偶函数在对称区间上的单调性有什么特点？ 问题2 观察图2，奇函数在对称区间上的单调性有什么特点？ 任务二 讲评 例1 (1)设偶函数f(x)定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) (2)若对于任意实数x有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A.f<f(－1)<f(2) B.f(2)<f<f(－1) C.f(2)<f(－1)<f D.f(－1)<f<f(2) 例2 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围. (2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)，求实数m的取值范围. 变式1若函数f(x)为R上奇函数,在[0,+∞)上为增函数,f(2)=4,则-4<f(x-4)≤4的解集为 . 变式2设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,不等式f(x2)≥4f(x)的解集为 .  变式3 (2023·新海中学高一期中)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数且.若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,则k的取值范围为 .  例3设函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0恒成立. (1)求f(0); (2)证明:函数y=f(x)是奇函数; (3)证明:函数y=f(x)是R上的减函数. (4)若f(1)=-0.5，求f(x)在[-2，-6]上的最大值与最小值. 变式 设函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0. (1)求f(0); (2)判断函数y=f(x)的奇偶性; 任务三 当堂检测 1.设定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,则不等式f(x-1)>f(3-2x)解集是 .  2已知函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=, (1) 求函数f(x)的解析式; (2) 用定义证明:f(x)在(-1, 1)上是增函数; (3) 解不等式f(t-1)+f(t)<0. 学科网（北京）股份有限公司 $$