第2章 3 二次根式-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（北师大版2024）

进为高为1知国，底调长为100m,在每 卷内壁离容器底解0m的点B处有一戴 千，此时一只壁呢正好在容器外健，离容器 2平方根与立方根 上悟切c与敏学植形的点A处， 第1保时算术平方林 断A'D=40cm,B0=12Dm. 基德在线 在R△A'DB中，AVB-AD+B=13, 4 所以AB=1J0cn 植厚虎输是皱子的最趣密肉为润 k128.2a302《4)号.5)10 单元综合复引一勾服定理 415.20m111 70蒙式-72原式-子 〔3影地式=桌.0 能力在线 所以∠ADM ∠BDM-9 世AD=A-M, 1.因为√一T的算术平方是行， MD-IEM-IDF 所民2e=1=所1g= 国为∠C-', 四为3加十一1的算术平水根是4 两世APAC+CM 所以a+b一1=16 因为M为C中点，斯凹一L 解e=5代人.得3×5+0-1=36， 所以ADF=AP一MlW=AP-长十BY=Af, 折1=2. CAF+BDAC+BD. 所风a+2的■i+2×2失. 7量AE的长为x,由，每AC=AB=x+1, 防展在战 国为所A-0 12(1110z0,240 所A+CEAC 第2时平方相 基鹰在峰 .A 1.e2,c14-号42 1山丽，已如为花相于期宝限东为长力后gB, 期对 A的长入 1士.2士学士T而生a ,1)士丽=士13，(2)-=-k ■5，丽AB=5 答：它阳行一烟的略程是5国 核心素养规开 储力在镇 15.50,515.49 1,B&-23.2h10,3+21l.1)4减-40±8 第二章实数 只周为√一：4是P的算术平吉限： 】认识案数 所属1-5.-4.-X 第1系时无理量的裁现 所成2x+y-x■2×5+4-8=1L. 放红十一的平根是士√行 防展在 3.1)不是 第3课时主方根 基随在战 天4果aS口5：南m-5×3产4× 1.D2.-8&10.32)-号a)-5 ×41-11. 4,(1)州为0，-6216.所以6216的立方核是4马 所以正方思A以D的面积是疗， 明为(-)'-—留所联一程的立方利是一是 (2)正左后ABCD的边长是无理我，在整数4和5之间 后相在烟 8,191 期为-警()-受。 第2球时认误实数 限以1子的立古根是兰 L.D 2A (四为(10=e,所以10的立方根是1世，自100 3正数宽合：415151551-，-114.1，一(-10，…3： ,7-a,1,-下--1 无理敢集合，0,11551m,一季m ()授旋长变为原来的方结，州(5y一1B×8,《5 年角整登集合10-一11，-(-100，“ 1,解得y-2. -2550成B.A 附以陵张瓷为原来的2佰. 隆力在线 k心92-a2a.:±：一 1l-t1,-10,-4 11.)2)3)图所.《均不一) 之为型颗那，湖上“}，开文为，得上-之 22 一深究在线·川 2方程装理，得一1护-一号。 开立才，得一出一量据得“一 2原式-w5+×万×反+w2-[w5y-要] 2)根据照意，得7十4n十4-1n,标并用■一11 =1+%+2-5+4=4中3% 题因n一3的平左根是它本月，质以n一3=0， 解得n一1新以中=一1十3=一山， 位十的立方根为男=一： 14.11因为a=2+√8，b=2-万 4,设至才体黄快的旋长为主m,白园意，得 所以a十为=4bm4-3a1. a+-a+P-2a5=-2×1=14 所以4-14b十=14一1=11， 15.176 51山因为2<， 幕4课时信果 蒸忌雅铺 则其-3<-4<-3.m6-3<6-5<6-1 ↓C名B立V西答案不一)4. 所其1<一<4， 所以4=1，b世6-5一8w3-5. 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(8》V22-285.00的 能力在线 +32nw 〔13412（算第不滩一） 131)4%-2 圆为√6<I<蹈，厢双4<亚5 斯巴√红的攀数不计是4，小量得分是√红一 因为a,刚e为正驱量， 4+(一4+40=-4+百 而以4■产+5×中m话观e■2+5×1=1 3. 敏✉的值为46减4. 阶级期评21一2节 第2时 LD 2A 3.C 4.B 5.D 6.B 7.D 基罐在 LD 15.10 a)原式-冬 1 2 三，不对，雅由如下 1,1)为 皮丈的开方不可以是黄数正端的化简过型如下 所以动十T-5x4十7=27， -厚 断但+7的立方候为27=3， (2)数轴如. cAcocr-lal>. 5.)0币=币. 所以尽一w++灯 十十十合mb十d -V星-√-要 17.T 2不使理由口下 mV-√-9 6B1D&203.-2w5 过所位长力形低片岭长是9m n(1)0式-11+1-2 49二▣行4 眼式=4行-25-w5, 所以福念大王方形屠片边的为向：不葡我野品符合要桌 使方在线 的长方飞能片 1.C 1..2 18.1)V=A3×5×(10+4)=27×20-540(m3). 2D因为Ve#=rh3×3×1f=482(m), )原式m(4w2-82〉十，Em区+径m1 5二放根式 (1国为解方形木的为/+-2+4W1 暴1课时二成根式的复务观乘除这算 (d口)，意为√豆=2dm,所以原餐方彩本板的西 蓄更在线 积为7区×4w2=6(m LD2①83.C4,B4.D 61》原式=0， 国为4<1y1<45.1<2<3, m原大--平-作- 衡其如果木工想从刺余的术复中载出长为1.Fm.宾为 1的长方形本条，量我出块样的木条 厚+V+-- 1615+v元wT=y每(2》士行(3》10W6-1 年级数学（上）·5 第3课时二次根式的灵合追具 因为正-耳>0./-正 基船在线 5.(1)原式=2w5+2w%+6=45+ (2)原式-w5+-1-万+1 a原式-+√停-1 7,因为8-40，新以5所以-6<0所ga-f 8商的算术平方额等于氯术不方餐筒商成√号一(>0， 又得为V6一≥0.所量w小-4Va4. 微专塑4二次帆式的运算及应用 )二折号的是负号，去棒折号后第二项设有文号 2,)那式-31,2-4夏+2-0 11.I)式-[wy+n】-n”3-D-5了=4wT -2-4-4w年+3=53-9 1聚式-青+得 2第式-8+8-2写x知+(8+8+45)=4- 4.()螺式=一了+名及.()原式-25+2 5.H反1B5-1 25+11+4w=15+28 7.式=9 1i,食意如，0m=√/+乎一5 当-2+1，=1一1时， 所以OM■O8■5.所但e=-v5 原式-9y-9×+i1×反-1)-5 从.着道的图积为《面+一4（年+1），区一1)=34 t-+引+×一- 所以脑天地诗雷爱花费位，×最一97,6（元， 单元棕合复习二引实数 a+-V四 游门专点突 a第个博式V+2一石a为正整 所以（十P=:所日+8=2直￥+2=-. ,左边√严-√ 所以A=0点一电 ()塑为=1-124中1，所(2x一1=125 有：为压鞋验局以方边+√后一右边， 1,心反W一31，反（苍案不呢一） 所以结流立 》原式-事所√：密×2函-3√应× 无现章.0A1度 15.A 16C 17.B 18.D 1S.A 30.C 1.(1题式=71+5=5+2 微专题☒实数大小此较的七种方法 (原式-1+w+$-2=4w区 1u为w第/T-1T+W,/T+T)2=17+w4 图里式2w--2+8-2--2. 17+2>17+2w厘， 破心素养望开 所以4w+1厅)（可+5 2&0 又因为%们>0，/西+>0， 第三章位置与坐标 所以+T>m+5. 1端定位置 2牌为+66+-士31 基直性 6+1G+1 + a+4a+4 1)T132D&D4C 力在 a+3 a+2石+3 5.0063 为：+5有5+：2+>5+ 2)如图所示 因为A5,30),取12,1261。 所， 所∠BOX-l20.∠AOX-0 再券04=5,08=12 所以△A08的离为QA·0H一3地 所做-小，聚数- 站展在候 g+ 7,4】1222《2)1R,5) mm-+而+ 2平面直角坐标系 同m后尔+压 第1佩时平面直角皇标系的有关规命 因为√g+>T+百 所行尔 1,们知周：所周的图用像学母超 ()如图.所得的图形廖字母W 一双究在线· 第3课时 建之追雪的平面直角炎标原 楼连阁形的位置 基在候 ,不 为x脑，AB的看直平异线为y轴：建度如图斯承的平自 百确g桑 第宝题荐图 4香 灯4=m k如丽所示.点A6-2,-5),取-4,200,41,05，-1 年yA(一7.5,0).HT.1,03 装力在成 究为CD=mCD到地离的距离 41发m 所以C-10,10,10.18) 0):F(.01. 4.刚醉.黑周①的生标是（一3，一6）， 三.图醇，个州家的坐辉位置为(2：2，小额家陈坐称位置为 《1,8》,小红家的坐标位置为（一3,8. 能力在国 阳属在线 3,答炎不难一，如图，以边A作所在直线为 &(0,40盛(，4豫4,0) 第，以边AB的中承城为y第建立平 第2深时平面角中我的坐赫特 a&-T-√A-(于）- 8属或如图所房： (1CD噪标都站0(2横yC)平行(41长5 所日A6-s,1.B3,05.C0,-4,DX-3.-4,0,4 1.门国肤不博一（图暗）. 标层，六边形大个误点的重际分制为：A《 D10.C 能力在雄 (2以（吸BF两在的直线为x轴， 1l.D12,B 风线段AD阳在的直线为y轴诡立 13.(1)模为点A在第一象港的角平分线上 如图所示的平面直角坐督系.从困中 树以看出，点E安点C的属童松亚为 期反卧 -3,解一0或 2丽.C,0)(24)减 3)博为找盘Aiy轴，所烟24十3=4-2，解对=-6 所以点A(-7,5),C=7,1). (-2224)或（日2=，0 所出收登AB的长为|5-1= 后根在俊 1x(2,1)减(4,3日 《1)在第一象限的点有D,E,F,它们的候.南标大于 徽专题巧用坐标求图的面规的方法 0在第 ,12 大于0在第三阳的点有A它的.飘标小于0 1.18,-2,-C4,-1, 2)整1幅房， 在弟四象表的点有G它们偶保标大T0.线馨标小丁A )线段G,EF,AG早行于轴，线段C,E下上的点的 SAw=S:+年一5，r一S: 纵束标客为4，线段A上的点曲队象标挥为=1：线授 --6-}×X-×5 A,G平行于y轴，线段A上的点的情条料都为一1，线 登：上的点的横为风 ×x6×1-2 3)长为 4.1)霍明，分渊过点M作MP上0B, MO1O干点P,Q,则∠MPB+∠QA-9w, 新AB成整，且A月=4一4一)=6，点C到边AB的 鉴离为1=（一对=6 3)月青P约每标为0， 所∠PMQ-∠PM+∠QM- 阴为△ABP的商为8，由（：Bx轴且AB=6, ∠AU=∠PMA+∠MP=96 青×6×1y-一 离为K4,4》.两以PMm3=4. 所日△MP☑△MQA(ASA 所以点P的皇标为(0,1像0,5 所日AM-B配 邦属在接 )使M,由(D得△P@△24，PM-Q-4, 年级数学上)·B5 233 二次根式 @第1课时 二次根式的概念及乘除运算 基础在线沙知识要点分类练 (3)V20+125 √5 知识点1二次根式的概念及有意义的条件 1.(中考·常州)若式子√x一2有意义，则实数x 的值可能是 () A.-1 B.0 C.1 D.2 2.给出下列式子：①√2；②3；③一3； 知识点3 二次根式的乘除运算与运算律、乘 ④√x+y:⑤√a+1.其中一定是二次根式的 法公式 是 (只填序号). 7.(中考·天津)计算（√1T+1)(11-1)的结 知识点2 二次根式的乘除法 果为 3.如果等式√a·√a-2=√a(a-2)在实数范围 8.下列各式计算正确的是 内成立，那么 ( A2×经-2 A.a≥0 B.0≤a≤2 C.a>2 D.a取任意实数 B.(3-2)(3+2)=1 4(中考·南通)计算√2团×√后的结果是( c-·g=- A.9 B.3 C.35 D.3 D.(√5+√2)2=5+2=7 5.(西安阶段练习)下列计算正确的是 ( ) 9.计算： A.16=±4 B.27,2=-4=1 5×景-31 3 C.√24÷√6=4 D√层×6=2 6.(佛山阶段练习)计算与化简： (1)3√5×2√2； (2)(W3+√2)2-(5-2)（√5+2）. (2)3×15 5 25探究在线八年级数学（上）·BS ②能力在线 方法规律综合练 15.已知a,b分别是6一√5的整数部分和小数部分. (1)分别写出a,b的值； 10.(中考·盐城)长方形相邻两边长分别为 (2)求3a+b的值. √2cm,W5cm,设其面积为Scm2,则S在哪 两个连续整数之间 () A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 11.若√a一3+√b-2=0,则下列各数中，与√3 的积为有理数的是 ( A./a B.B 3 拓展在线》培代拔尖提升练 C.√a+b D.√ab 16.(温州期中)阅读材料：小芳在学习了二次根 12.在如图的方格中，若要使横、竖、斜对角的3 式后，发现一些含根号的式子可以写成另一 个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M 个式子的平方，如：3+2√2=(1+√2)，善于 代表的实数为 思考的小芳进行了以下探索： 3√2 2 3 设a十b√2=(m十n√2)2（其中a,b,m,n均为 6 正整数)， 则有a+b√2=m2+2n2+2mn·√2. M 3 √2 所以a=m2+2n2,b=2mn. A.62 B.2√3 C.√6 D.6√6 这样小芳就找到了一种把部分形如a十b√2 13.【跨学科】“海阔千江转，风翻大浪随”.海浪的 的式子化为平方式的方法 大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计 请你仿照小芳的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a十b√3 风压的通用公式为心=1600，其中心为风 (m十n√3)2，用含m,n的式子分别表示a,b, 压（单位：kN/m),v为风速（单位：m/s).当风 得a= ,b= 压为0.16kN/m2时，估计风速为 (2)利用所探索的结论，找一组正整数a,b,m,n 14.已知a=2十√3，b=2一√3，求下列各式的值： 填空： 十 3=( 十3)： (1)a2+b;(2)a2-3ab+b. (3)若a+6√5=(m+√5n)2,且a,m,n为正 整数，求a的值. 第二章26 ©第2课时二次根式的化简及四则运算 基础在线》知识委点分类练 知识点2： 最简二次根式 知识点1二次根式的性质及化简：√ab=√a· 4在7，层中，是最筒=次根式的是 6a≥0b08-ea≥0>0) 5.把下列二次根式化简为最简二次根式： 1.下列式子成立的是 D023得 A.√(-4)X(-9)=√-4×√-9 /-16)=16 B.N-9 C.√(-9)2=-9 D.(-4)X(-9)=√4X5 2.化简下列二次根式： (1)16X9: (2)√54； 知识点3二次根式的加减法及四则运算 6.(临沂期中)下列二次根式中，可以与√3合并的 是 () 7 B.√12 (3)√36 (4)1 A.9 C.⑧ D.√18 7.(大连阶段练习)下列计算正确的是 () A.8-√3=8-3 B.√4+√9=4十9 C.2√7-6√/7=-4D.32-√2=22 8.计算：√27-√5= 3.王聪化简下面一道题的过程如下： 9.(中考·威海)计算：√12-√⑧×6= 10.计算： -3 √-3 (1)√18+√8； √9=3. 你认为他的过程对吗？请说明理由；若不对， 请写出正确的化简过程。 27探究在线八年级数学（上）·BS ②能力在线》 :方法规律粽合练 (2)如果木工想从剩余的木板中裁出长为 1.5dm、宽为1dm的长方形木条，问最多能 11.在解决如下问题“已知√7-a,√70-b,用含 裁出多少块这样的木条？ a,b的代数式表示√4.9”时，甲、乙两个同学 分别给出不同解法： 18 dm" 32dm2 490= √7X70 10 7X√70_ab 10 10 乙：v9=x0=1,因为=√月 -周亮-8以西-@-8 对于这两种解法，下列说法正确的是() A.甲对 B.乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 12z+y=-9y=9,则x层+y,后的值是 ③拓展在线 沙培优拔尖提升练 ( 16.在学习二次根式的过程中，小红发现有一些 A.6 B.-6 C.3 D.-3 特殊无理数之间具有互为倒数的关系.例如： 13.我们赋子“△”一个实际意义，规定：a△b=√ab· 由(2+1)(2-1)=1，可得2+1与√2-1 √a+b,则3△5的值为 互为倒数，即1，=2-1,1，=2+1. 2+1 2-1 14.计算： -√-5 类做地尼5-后厅5+E, 1 1 =2-3,。1。=2+3.根据小红发 2+5 2-3 现的规律，解决下列问题： (1) 1 1 (2)(32-√3×6)÷√2. 7-6 √m+I+n ;(n为正整数) (2)若 2+m =2√2-m,则m= 15.(咸宁阶段练习)有一块长方形木板，木工沿 1+ 1 1 虚线在木板上裁出两个面积分别为18dm 3)计算2中++2+a十+…+ 和32dm的正方形木板，如图所示. √1000+√999 (1)求原长方形木板的面积： 第二章28 ©第3课时 二次根式的混合运算 基础在线》知识要点分类练 6.下面是甜甜同学进行实数运算的过程，认真阅 读并完成相应的任务： 知识点二次根式的混合运算 /层-厘x(2a+3) 1.计算：√6÷√2+√/12= 2.计算2×，骨+⑧的结果是 =-mx(瓜+3，) …第一步 A.√2 B.52 C.53 D.62 -32 2 -23×26+2×33×√3 …第二步 3.(中考·重庆B)估计√12（√2+√3）的值应在 () =3y2-122+62 2 …第三步 A.8和9之间 B.9和10之间 9 C.10和11之间 D.11和12之间 2. …第四步 任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是 4.计算√⑧-√2（√2+2）的结果为 ( ) A.-2 B.√2-2 C.2 D.42-2 5.计算： 任务二：第 步开始出现错误，请写出错 (1)W20+√5(2+√5)： 误的原因： 该式正确的运算结果是 ②能力在线》 :方法规律综合练 （2)24+8-3)°； √2 7(包头价段练习)估计Vs×,侣+，侵×2的 值在数轴上最可能表示的点是 () 支时1支4”含 A.A B.B C.C D.D 8.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n, (3)/12+√15÷√5. 规定m※n=m2n一mn,如：1※2=12×2-1× 2=0,则(-√2)※3的值为 () A.6+3 B.√6-√3 C.23-6 D.2√3+√6 9.按如图所示的运算程序计算，若输入数字一9， 则输出的结果是 () 29探究在线八年级数学（上）·BS 是x3+ 3 拓展在线》 培优拔尖提升练 输小-圆+天于〉 输出 否3-2 13.观察下列等式，回答下面的问题： A.7 B.-11-62 C.-7 D.-11-3/2 10.(武汉期末)如图，从一个大正方形中截去面 @2+- 积为S:和S2的两个小正方形，若阴影部分 的周长和面积分别是8√2十12√6和24√3，则 @3+-4： S,十S2的值是 () S (1)请直接写出第⑤个等式是 (不用化简)： A.48 B.485 C.62 D.62√3 (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用 11.计算： 含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (1)(W3+2)25(3-2)20-(2-3)°； (③)利用(2的结论，计算B025+20× √2027- 2024+2026×,2025的值. (2)48÷5-2√后×30+(22+) 12.如图，点A所对应的实数为a,已知OA=OB, BC=1,请求式子a+引+5(1+o)的值. 第二章30