1.2.1 等差数列及其通项公式+1.2.2 等差数列与一次函数-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1.2 1.2 等差数列 2 1.2 1.2.1 等差数列及其通项公式+1.2.2 等差数列与 一次函数 刷基础 3 1.［山东菏泽部分学校2024高二期中联考］从1，2，3， ，9这9个数字中任取3个不同的数字， 使它们成等差数列，则这样的等差数列共有( ) C A.16个 B.24个 C.32个 D.48个 题型1 等差数列的定义 4 解析 当公差 时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8； 7，8，9,共7个. 当公差 时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9,共5个. 当公差 时，数列有1，4，7；2，5，8；3，6，9,共3个. 当公差 时，数列有1，5，9,共1个. 同理，当 时，有7个数列， 当 时，有5个数列， 当 时，有3个数列， 当 时，有1个数列， 故共有 （个）.故选C. 题型1 等差数列的定义 5 2.［甘肃兰州2025高二月考］“”是“数列 为等差数列”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 等差数列的定义 6 解析 如果数列是等差数列，根据等差中项的定义可得，反之 成 立，不一定得到数列 是等差数列.故选B. 题型1 等差数列的定义 7 3.（多选）若 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( ) BCD A. B. C.（,为常数） D. 题型1 等差数列的定义 8 解析 对于选项A，数列 ,1,3是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故选项A不符合题意； 对于选项B，若数列为等差数列，根据等差数列的定义可知，数列 为常数列，故 数列 为等差数列，故选项B符合题意； 对于选项C，若数列为等差数列，设其公差为 ，则 为常数，故数列 为等差数列，故选项C符合 题意； 对于选项D，若数列为等差数列，设其公差为，则 为常数， 故数列为等差数列，故选项D符合题意.故选 . 题型1 等差数列的定义 9 归纳总结 判断一个数列是否为等差数列的常用方法 （1）定义法 或 数列 是等差数列. （2）等差中项法 为等差数列. （3）通项公式法 数列的通项公式形如,为常数） 数列 为等差数列. 题型1 等差数列的定义 10 4.已知数列满足， . （1）数列 是否为等差数列？请说明理由. 【解】数列是等差数列.理由如下：因为，，所以 ，所 以，所以是首项为，公差 的等差数列. 题型1 等差数列的定义 11 （2）求 . [答案] 由（1）可知，，所以 . 题型1 等差数列的定义 12 5.［河北张家口2025高二月考］若等差数列满足，则 ( ) B A.3 B. C.1 D. 题型2 等差数列的通项公式 13 解析 设等差数列的公差为，则， ， 因为，可得 ， 所以有解得 故选B. 题型2 等差数列的通项公式 14 6.［福建宁德福鼎一中2025高二月考］将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后 （另两项不变），得到等差数列的前四项，则数列 的通项公式为( ) D A. B. C. D. 题型2 等差数列的通项公式 15 解析 记减1的项的项数为，加1的项的项数为 ， 因为 ，可知变化的两项为第一项和第四项或第二项和第三项， 若, ，可得数列为0，3，6，9,为等差数列， 此时首项为0，公差为3，所以 ； 若, ，可得数列为2，3，6，7,不为等差数列； 若, ，可得数列为1，2，7，8,不为等差数列； 若, ，可得数列为1，4，5，8,不为等差数列. 综上所述,数列的通项公式为 .故选D. 题型2 等差数列的通项公式 16 7.在等差数列中，，，则数列 中为正数的项的个数为 ( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 题型2 等差数列的通项公式 17 解析 设数列的公差为 在等差数列中，， ， ，解得， .由 ,可得，则数列 中为正数的项的个数为5，故选B. 题型2 等差数列的通项公式 18 8.已知等差数列的前三项分别为,, ，则该数列的通项公式为( ) C A. B. C. D. 题型3 等差中项 19 解析 设该等差数列的公差为.因为等差数列的前三项分别为,, ，所以 ，解得，所以,，所以 .故 选C. 题型3 等差中项 20 9.［河南郑州2024高二月考］已知是等差数列，且是和的等差中项，则 的公 差为( ) B A.1 B.2 C. D. 题型3 等差中项 21 解析 设等差数列的公差为.由已知条件得 ，即 ，解得 .故选B. 题型3 等差中项 22 10.已知,，并且,,成等差数列，则 的最小值为____. 16 题型3 等差中项 23 解析 由等差中项的定义可得 ，故 当且仅当,时取等号 . 题型3 等差中项 24 11. 数列为等差数列，若,，则 ( ) B A. B.12 C.10 D.9 题型4 等差数列的性质 25 解析 设等差数列的公差为，由，所以 .故选B. 题型4 等差数列的性质 26 链接教材 本题是教材第13页例1的变式，已知等差数列中两项求通项公式或其他的项，也可以利用基本量 思想，由,,得关于和的方程组解方程组得到和 ，从而确 定通项公式，求得所要求的项. 题型4 等差数列的性质 27 12.［天津耀华中学2025高二月考］已知数列为等差数列，且 ， ，则 ( ) D A.4 B.5 C.6 D.7 题型4 等差数列的性质 28 解析 由等差数列的性质可知，，得 ， ， 设等差数列的公差为，则，所以 .故选D. 题型4 等差数列的性质 29 13.［甘肃酒泉2025高二期中］在等差数列中，若，则 的值为____. 40 解析 由题意得,所以，所以 . 题型4 等差数列的性质 30 归纳总结 等差数列的性质：在等差数列中，若，则 . 题型4 等差数列的性质 31 14.已知等差数列的公差为，则“”是“数列 为单调递增数列”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型5 等差数列的单调性 32 解析 若，则，即，此时数列 为单调递增数列，即“ ” “数列为单调递增数列”；若等差数列 为单调递增数列，则 ，即“数列为单调递增数列” “”.因此，“ ”是“数列 为单调递增数列”的充要条件.故选C. 题型5 等差数列的单调性 33 15.已知等差数列是递增数列，且，，则 的取值范围为______ ___. 题型5 等差数列的单调性 34 解析 等差数列是递增数列，且，,公差.又 , ，，则 ， ，，的取值范围为 . 题型5 等差数列的单调性 35 解析 ， ， 则为等差数列，首项为，第2项为，公差 ， 则有 ， .故选B. 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 36 17.［重庆巴蜀中学2025月考］已知数列满足,且，则 的通 项公式 ________________. 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 37 解析 由可知数列是以 为首项，1为公差的等差数列， 可得，所以 . 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 38 18.［陕西咸阳2025高二月考］已知正项数列满足， 且，设 . （1）求，， ； 【解】由， ， 知当时， ， 即，解得或 （舍）. 当时， ， 即，解得或 （舍）， ，， . 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 39 （2）判断数列 是否为等差数列，并说明理由. [答案] 数列 为等差数列，理由如下： 由可知 ． ，，又，故且 . 当时， . 又， 是以0为首项，1为公差的等差数列. 题型6 构造等差数列求数列的通项公式 40 19.［江苏南京五校2025高二调研］数学家杨辉在《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等 差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起， 每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4， 7，11，16为二阶等差数列.现有二阶等差数列 ，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27， 记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则 ( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 题型7 数学文化中的等差数列问题 41 解析 由题意得数列的前几项为3,4,5,6,7，且数列为等差数列，所以 ，故 .故选C. 题型7 数学文化中的等差数列问题 42 20.［湖北武汉华师一附中2025高二期末］“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩 二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”最早记载于《孙子算经》，研究的是整除与同 余的问题.现有这样一个问题：将1到1 000这1 000个数中，被5除余4且被7除余4的数按从小到 大的顺序排成一列，构成数列 ，则该数列共有____项. 29 题型7 数学文化中的等差数列问题 43 解析 由题意可知 被35除余4， 即，所以 ， 令，即，解得 ， 因为，所以 ， 故该数列共有29项. 题型7 数学文化中的等差数列问题 44 21.已知在等差数列中，，是函数 的两个零点，则 ( ) B A.3 B.6 C.8 D.9 题型8 等差数列的综合应用 45 解析 设函数的两个零点，即方程的两个根分别为， ， . 数列为等差数列，， .故选B. 题型8 等差数列的综合应用 46 22.已知的一个内角为 ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 的面积为 _______. 题型8 等差数列的综合应用 47 解析 不妨设 ，内角,,所对的边分别为,,,令，则， . 由余弦定理得，解得 . 所以 . 题型8 等差数列的综合应用 48 1.2 1.2.1 等差数列及其通项公式+1.2.2 等差数列与 一次函数 刷提升 49 1.已知等差数列满足 ，则 ( ) A A. B. C. D. 50 解析 因为数列是等差数列，所以 ，即 ， 所以 ，故选A. 51 2.［天津南开中学2025段考］在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列.若这 个数 中第1个为，第个为，则 的最小值是( ) C A. B.2 C. D.3 52 解析 由等差数列的性质可得，且, , 则 ， 当且仅当，即, 时取等号.故选C. 53 3.［甘肃庆阳2025高二期中］在等差数列中，已知， ，则数 列 的通项公式可以为( ) C A. B. C. D. 54 解析 设的公差为，则由，得， . 代入，整理得，解得 . 当时，， ； 当时，， . 55 多种解法 设的公差为,，， ，是方程 的两根， 或 由，，得 ， ; 同理，由，，得 .故选C. 56 4. ［湖南长沙雅礼中学2025月考］已知数列是等差数列，若,, ，则“ ”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 57 解析 因为数列 为等差数列， 当时，显然任意的,,，均满足，但不一定满足 ，即充分性 不成立； 由数列是等差数列，设该数列的公差为 ， 若 ，则 ，即必要性成立. 因此，“”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 58 链接教材 本题是教材第21页习题1.2第6题的变式，已知 为等差数列，若 ，则.特别地，当 时， ,是和 的等差中项. 59 5.等差数列中，，公差为，，，则公差 的值 为( ) A A.1 B.0 C. D. 60 解析 ，，又 ， ，即，解得，由于，所以 ，故选A. 61 6.［山东聊城2024高二月考］已知数列，的通项公式分别为和 ， 设这两个数列的公共项构成集合，则集合, 中元素的个数为( ) C A.166 B.168 C.169 D.170 62 解析 由题意可知，数列为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29， ， 数列为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37， ， 将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列为5，17，29， ， 易知数列是首项为5，公差为12的等差数列，则 . 由，可得，因此，集合, 中元素 的个数为169.故选C. 63 规律方法 求两个等差数列的公共项的方法 若等差数列,的公差分别为,,则数列， 的相同的项仍然构成一个等差数列,其 公差为,的最小公倍数，首项为数列, 中第一个相同的项. 64 7.［甘肃张掖2025高二质检］《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立 春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列. 若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A A.15.5尺 B.12.5尺 C.10.5尺 D.9.5尺 65 解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为,,, , . 根据题意，有，则， . 又，设数列的公差为，则有解得 所以冬至的日影长为15.5尺，故选A. 66 8.（多选）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且 ，则( ) BCD A.公差的取值范围是 B. C. D. 67 解析 由题意得,,，所以，解得，所以 ，故A错误； ，故B正确； 由，得 ，故C正确； 由等差数列的性质，得，故D正确.故选 . 68 9.在等差数列中，,,，则数列 的公差为_____. 69 解析 设的公差为，则， ， ， 即, . 70 10.［江苏盐城2025高二月考］已知数列满足, ，若不等式 对任意的恒成立，则实数 的取值范围是___________. 71 解析 由 ， ，可得，整理得，又 ，所以数列 表示首项为2，公差为1的等差数列. 所以，则 ， 又由恒成立，得对 恒成立， 令 ， 当且仅当，即时等号成立，又 ， 72 当时，，当时， ， 由对勾函数的单调性，得，所以 . 所以实数 的取值范围是 . 11.［重庆西南大学附中等三校2024高二联考］已知是等差数列，若， . （1）求 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为，，，则 ， 所以， . 74 （2）证明数列 是等差数列. 【证明】因为 ， 又 , 所以数列是首项为0，公差为 的等差数列. 75 12.［广东中山2025高二段考］已知等差数列满足， . （1）求 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为，由， ， 得解得 所以 . 76 （2）若对一切，恒成立，求 的取值范围. [答案] 由恒成立，得恒成立，即对一切 恒成立. 当时， 取得最小值1， 所以，即 的取值范围是 . 77 13.［甘肃兰州2025高二期中］数列满足， . （1）求,, . 【解】当时，有，解得 ; 当时，有，解得 ; 当时，有，解得 ， 即，， . 78 （2）是否存在一个实数 ，使数列为等差数列？若存在，求出 的值及 的通项公式； 若不存在，请说明理由. 79 [答案] 假设存在实数 满足题意，设数列的公差为 . 因为 ， 所以，即 ， 则 . 由 ，得 ， 整理得，当，时， 恒成立， 此时，符合要求， ， 故存在，使得数列为等差数列，此时 . 80 14.有穷等差数列5，8，11， ， 的项数是( ) D A. B. C. D. 易错点1 误认通项公式致错 81 解析 在中，令 得14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数 列的项数为 .故选D. 易错点1 误认通项公式致错 82 易错警示 本题易误认为为数列的通项公式，其实它为数列的最后一项，而不是第 项. 易错点1 误认通项公式致错 83 15.已知数列的前项和，判断 是否为等差数列. 【解】当时，；当 时， ， 当时， 不满足上式， , 不是等差数列. 易错点2 判断等差数列时忽视的取值而致误 84 易错警示 本题容易产生如下错解： , （常数）， 数列 是等差数列.这是因为忽视了 中的最小值是2，因此使用时 的最小值是2，只能得到 ,而不含 . 易错点2 判断等差数列时忽视的取值而致误 85 16.［安徽蚌埠2025高二月考］已知为递减等差数列，， 是方程 的两个实根，当时， ( ) B A.2 026 B.2 025 C.1 012 D.2 易错点3 忽略隐含条件致错 86 解析 方程的两个根是1和，又等差数列 为递减数列，所以 ，，数列的公差，所以 ， 故 .故选B. 易错点3 忽略隐含条件致错 87 易错警示 本题易忽略题干中的“ 为递减等差数列”，造成多解. 易错点3 忽略隐含条件致错 88 17.一个首项为23，公差为整数的等差数列，若前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为 ____. 易错点3 忽略隐含条件致错 89 解析 设该数列为，其公差为，且 为整数. 由题意得，，所以，且 ，解得 . 又为整数，则公差 . 易错点3 忽略隐含条件致错 90 易错警示 求解本题的关键是根据题意正确列出满足条件的关于公差的不等式，求解时要注意 . 易错点3 忽略隐含条件致错 91 $$