广东省广州市2025-2026学年九年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 人教版

广东省广州市2025-2026学年九年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下面各图形不是轴对称图形的是（　　） A．圆 B．长方形 C．等腰梯形 D．平行四边形 2．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2＝2+3x B．2（x﹣1）+x＝2 C． D．x2﹣xy+4＝0 3．（3分）在下列由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝3，b＝6，c＝8 C．a＝5，b＝8，c＝10 D．a＝5，b＝12，c＝13 4．（3分）下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（　　） A．（0，0） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 5．（3分）方程x2﹣5x＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 6．（3分）某区举办了创新技能操作赛，A，B两个学校各有五名选手，在首轮比赛中选手得分汇表如下，有关数据分析完全正确的是（　　） 学校 1号 2号 3号 4号 5号 A学校 70分 80分 70分 70分 90分 B学校 75分 85分 75分 75分 95分 A．， B．， C．， D．， 7．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积为（　　） A．15 B．12 C．27 D．45 8．（3分）如果关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 9．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的高是（　　） A．2.5 B．5 C．2.4 D．4.8 10．（3分）某市出租车的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x≥3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝14+2.4x（x≥3） B．y＝14x+2.4（x≥3） C．y＝6.8﹣2.4x（x≥3） D．y＝2.4x+6.8（x≥3） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）在实数范围内有意义，则a的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0，有一个根是﹣a（a≠0），求a﹣b的值 　 　 ． 13．（3分）（1）若x2﹣ax+b＝（x﹣3）2，则a+b＝　 　 ； （2）若x2+（m+4）x+36是完全平方式，则m＝　 　 ． 14．（3分）北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式．北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为 　 　 分钟． 15．（3分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣18＝0的两个根，则α2+5α+2β＝ 　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分24分） 16．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在y轴上，BC边与x轴重合，过点C作AB的垂线分别交AB和y轴于点D、H，AB＝HC，线段OB，OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根． （1）求△ABC的面积； （2）求直线CD的解析式． 17．（7分）已知关于x的方程x2+kx+6＝0有两个实数根x1，x2，其中x1＝2，求另一个根x2和k的值． 18．（7分）如图是一张矩形纸片ABCD，AC与BD相交于点O，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF．若OF＝AB，∠DAF＝α． （1）请用α表示∠ODF 的大小； （2）请求出a的值． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）综合与实践 【问题情境】生物课上，老师带领同学们开展“利用花瓣的特征对花卉进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集玫瑰、向日葵的花瓣各10片，通过测量得到这些花瓣的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 玫瑰花瓣的长宽比 4.5 4.3 4.0 4.4 4.6 4.1 4.5 4.6 4.2 4.6 向日葵花瓣的长宽比 1.5 1.6 1.2 1.5 1.7 13 1.5 1.4 1.8 1.6 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 玫瑰花瓣的长宽比 4.38 m 4.6 0.0436 向日葵花瓣的长宽比 1.51 1.5 n 0.0289 【问题解决】 （1）填空：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①A同学说：“从花瓣的长宽比的方差来看，玫瑰花瓣的形状差别比向日葵 　 　 ”；（填“小”或“大”） ②B同学说：“从花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现向日葵花瓣的长约为宽的 　 　 倍”； （3）现有一片长4.6cm，宽3cm的花瓣，请判断这片花瓣更可能来自于玫瑰、向日葵中的哪种花？并给出你的理由． 20．（9分）（1）以下是圆圆解不等式组的解答过程． 解：由①，得2+x＞﹣1，所以x＞﹣3， 由②，得1﹣x＞2， 所以﹣x＞1，所以x＞﹣1． 所以原不等式组的解集是x＞﹣1． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0． ①求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； ②若方程有两个实数根x1，x2，且5，求m的值． 21．（9分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示． （1）直接写出每分钟进水 　 　 升，每分钟出水 　 　 升． （2）求y关于x的函数解析式． 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC所在的直线上有两点M，N满足AN＝CM，连接BM，BN，DM，DN． （1）试判断四边形BMDN的形状，并说明理由． （2）若，∠DNM＝30°，求四边形BMDN的面积． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义：直线l1：y＝2x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣3x+b2经过线段a的另一个端点．若直线l1与l2交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． （1）如图，线段a的两个端点分别为（0，﹣1）和（0，4），则在点P1（1，1），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，线段a的“双线关联点”是 　 　 ； （2）A（m，y1），B（m+4，y2）是直线上的两个动点． ①点P是线段AB的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t），其中t＞0．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线关联点”，若所有线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，直接写出t的取值范围． 广东省广州市2025-2026学年九年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下面各图形不是轴对称图形的是（　　） A．圆 B．长方形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【考点】轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：圆、长方形和等腰三角形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2＝2+3x B．2（x﹣1）+x＝2 C． D．x2﹣xy+4＝0 【考点】一元二次方程的定义． 【专题】计算题；一元二次方程及应用；符号意识． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、由原方程，得x2﹣3x﹣2＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； B、由原方程，得3x﹣4＝0，未知数x的最高次数是1；故本选项不符合题意； C、该方程是分式方程，故本选项不符合题意； D、未知数x的最高次数是2，含两个未知数；故本选项错不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．（3分）在下列由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝3，b＝6，c＝8 C．a＝5，b＝8，c＝10 D．a＝5，b＝12，c＝13 【考点】勾股定理的逆定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一计算即可． 【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，不符合题意； B、∵32+62≠82，∴不能构成直角三角形，不符合题意； C、∵52+82≠102，∴不能构成直角三角形，不符合题意； D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 4．（3分）下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（　　） A．（0，0） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，则：k，然后再利用点的坐标进行判断即可． 【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx， 则：k， A、∵A（0，0）， ∴k不受取值影响， B、∵B（﹣1，2），∴k＝﹣2， C、∵C（1，﹣2），∴k＝﹣2， D、∵D（1，2），∴k＝2， 故ABC三点横纵坐标的商相等，因此这三点在同一正比例函数图象上， 故选：D． 【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握正比例函数图象上点的横纵坐标的商等于k． 5．（3分）方程x2﹣5x＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【答案】D 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程分解得：x（x﹣5）＝0， 可得x＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝0，x2＝5， 故选：D． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 6．（3分）某区举办了创新技能操作赛，A，B两个学校各有五名选手，在首轮比赛中选手得分汇表如下，有关数据分析完全正确的是（　　） 学校 1号 2号 3号 4号 5号 A学校 70分 80分 70分 70分 90分 B学校 75分 85分 75分 75分 95分 A．， B．， C．， D．， 【考点】方差；算术平均数． 【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力． 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的定义计算，然后逐一判断即可． 【解答】解：A学校的平均数：（70+80+70+70+90）÷5＝76（分）， 方差：[3×（70﹣76）2+（80﹣76）2+（90﹣76）2]＝64， B学校的平均数：（75+85+75+75+95）÷5＝81（分）， 方差：[3×（75﹣81）2+（85﹣81）2+（95﹣81）2]＝64， ∴，． 故选：D． 【点评】本题考查了平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式． 7．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积为（　　） A．15 B．12 C．27 D．45 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【答案】B 【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程3+5＝x﹣4，求出即可． 【解答】解：设正方形D的面积为x， ∵正方形A、B、C的面积依次为3、5、4， ∴根据图形得：3+5＝x﹣4， 解得：x＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中． 8．（3分）如果关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；推理能力． 【答案】C 【分析】由方程有两个相等的实数根以及该方程为一元二次方程，结合根的判别式即可得出关于a、b、c的方程组，解方程组即可得出a2＝b2+c2，由此即可得出结论． 【解答】解：原方程可化为（c﹣a）x2+2bx+（a+c）＝0， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：c2＝a2+b2且a≠c． 又∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴△ABC为直角三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及根的判别式，解题的关键是求出c2＝a2+b2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键． 9．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的高是（　　） A．2.5 B．5 C．2.4 D．4.8 【考点】菱形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出边长＝5，再由菱形面积公式求解即可． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，S菱形ABCDAC•BD8×6＝24， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5， 设菱形的高为h， 则5h＝24， 解得：h＝4.8． 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 10．（3分）某市出租车的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x≥3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝14+2.4x（x≥3） B．y＝14x+2.4（x≥3） C．y＝6.8﹣2.4x（x≥3） D．y＝2.4x+6.8（x≥3） 【考点】一次函数的应用． 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】D 【分析】当x≥3时，根据“乘车费＝起步价+超过3公里部分的收费”写出y与x之间的函数表即可． 【解答】解：根据题意，得y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8， ∴y与x之间的函数表达式为y＝2.4x+6.8（x≥3）． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，弄清各量之间的数量关系是本题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）在实数范围内有意义，则a的取值范围是 　a≥0　 ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】a≥0． 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 a≥0， 故答案为：a≥0． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 12．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0，有一个根是﹣a（a≠0），求a﹣b的值 　﹣1　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣1． 【分析】把x＝﹣a代入方程，再两边都除以a，即可得出答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0）， ∴代入得：a2﹣ab+a＝0， 两边城都除以a得：a﹣b+1＝0， 即a﹣b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用，题目比较典型，难度不大． 13．（3分）（1）若x2﹣ax+b＝（x﹣3）2，则a+b＝　15　 ； （2）若x2+（m+4）x+36是完全平方式，则m＝　﹣16或8　 ． 【考点】完全平方式；因式分解﹣运用公式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）15；（2）﹣16或8． 【分析】（1）根据x2﹣ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，即可得出a和b，进而可求出a+b的值； （2）根据完全平方式的特征，即可得（m+4）x＝±2×6×x，进而可求出m的值． 【解答】解：（1）∵x2﹣ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9， ∴a＝6，b＝9， ∴a+b＝15， 故答案为：15． （2）若x2+（m+4）x+36是完全平方式， 则（m+4）x＝±2×6×x， 即m+4＝±12， 解得m＝﹣16或8， 故答案为：﹣16或8． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 14．（3分）北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式．北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为 　20　 分钟． 【考点】分式方程的应用． 【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识． 【答案】20． 【分析】设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，由题意：北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟， 由题意得：3， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意； 即从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为20分钟， 故答案为：20． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15．（3分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣18＝0的两个根，则α2+5α+2β＝ 　12　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】12． 【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣18＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α﹣18＝0，再把a2+5α+2β变形为α2+3α+2（α+β），即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：α+β＝﹣3，α2+3α﹣18＝0， ∴α2+3α＝18， ∴α2+5α+2β＝α2+3α+2（α+β）＝18+2×（﹣3）＝12， 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：． 三．解答题（共3小题，满分24分） 16．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在y轴上，BC边与x轴重合，过点C作AB的垂线分别交AB和y轴于点D、H，AB＝HC，线段OB，OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根． （1）求△ABC的面积； （2）求直线CD的解析式． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；待定系数法求一次函数解析式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）12； （2）． 【分析】（1）先解一元二次方程求出OB＝2，OC＝4，则BC＝6，再证明△AOB≌△COH，得到OA＝OC＝4，则； （2）由全等三角形的性质得到OH＝OB＝2，即H（0，2），再求出C（4，0），即可利用待定系数法求出直线CD的解析式为． 【解答】解：（1）∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， 解得x＝2或x＝4， ∵线段OB，OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根， ∴OB＝2，OC＝4， ∴BC＝6， ∵AB⊥CD， ∴∠OBA+∠OCH＝90°＝∠OBA+∠OAB， ∴∠OCH＝∠OAB， 又∵∠AOB＝∠COH＝90°，AB＝CH， ∴△AOB≌△COH（AAS）， ∴OA＝OC＝4， ∴； （2）∵△AOB≌△COH， ∴OH＝OB＝2， ∴H（0，2）， ∵OC＝4， ∴C（4，0）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线CD的解析式为． 【点评】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，求三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键． 17．（7分）已知关于x的方程x2+kx+6＝0有两个实数根x1，x2，其中x1＝2，求另一个根x2和k的值． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】k的值为﹣5，另一个根x2＝3． 【分析】将x1＝2代入原方程，可列出关于k的一元一次方程，解之可得出k的值，再结合方程的两根之和等于，即可求出方程的另一个根． 【解答】解：将x1＝2代入原方程得：22+2k+6＝0， 解得：k＝﹣5， ∴原方程为x2﹣5x+6＝0， ∴x22＝5﹣2＝3． 答：k的值为﹣5，另一个根x2＝3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 18．（7分）如图是一张矩形纸片ABCD，AC与BD相交于点O，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF．若OF＝AB，∠DAF＝α． （1）请用α表示∠ODF 的大小； （2）请求出a的值． 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）90°﹣3α；（2）α＝18°． 【分析】（1）证明出OA＝OD，表示出∠DOC，利用折叠表示出∠DFC，再由外角性质，求出∠ODF； （2）证明出OF＝DF，利用等腰性质得出∠FDO＝∠FOD，即可求出α． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝α， ∴∠DOC＝2α， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣α， 由折叠得，∠DFC＝∠ACD＝90°﹣α， ∴∠ODF＝∠DFC﹣∠DOC＝90°﹣α﹣2α＝90°﹣3α； （2）∵OF＝AB，AB＝CD， ∴OF＝CD， 由折叠得，CD＝FD， ∴OF＝DF， ∴∠FDO＝∠FOD，即2α＝90°﹣3α， ∴α＝18°． 【点评】本题考查矩形性质，折叠性质及外角性质和等腰三角形性质是本题的解题关键． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）综合与实践 【问题情境】生物课上，老师带领同学们开展“利用花瓣的特征对花卉进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集玫瑰、向日葵的花瓣各10片，通过测量得到这些花瓣的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 玫瑰花瓣的长宽比 4.5 4.3 4.0 4.4 4.6 4.1 4.5 4.6 4.2 4.6 向日葵花瓣的长宽比 1.5 1.6 1.2 1.5 1.7 13 1.5 1.4 1.8 1.6 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 玫瑰花瓣的长宽比 4.38 m 4.6 0.0436 向日葵花瓣的长宽比 1.51 1.5 n 0.0289 【问题解决】 （1）填空：m＝ 　4.45　 ，n＝ 　1.5　 ； （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①A同学说：“从花瓣的长宽比的方差来看，玫瑰花瓣的形状差别比向日葵 　大　 ”；（填“小”或“大”） ②B同学说：“从花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现向日葵花瓣的长约为宽的 　1.5　 倍”； （3）现有一片长4.6cm，宽3cm的花瓣，请判断这片花瓣更可能来自于玫瑰、向日葵中的哪种花？并给出你的理由． 【考点】方差；算术平均数；中位数；众数． 【专题】统计的应用；运算能力． 【答案】（1）4.45，1.5； （2）①大；②1.5； （3）这片花瓣更可能来自于向日葵中的花，理由见解析． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据花瓣的长宽比判断即可． 【解答】解：（1）把10片玫瑰花瓣的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为4.4、4.5， 故中位数m4.45， 10片向日葵花瓣的长宽比中出现次数最多的是1.5， 故众数n＝1.5； 故答案为：4.45，1.5； （2）①∵0.0436＞0.0289， ∴从花瓣的长宽比的方差来看，玫瑰花瓣的形状差别比向日葵大； ②从花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数来看，发现向日葵花瓣的长约为宽的1.5倍； 故答案为：①大；②1.5； （3）这片花瓣更可能来自于向日葵中的花， 理由如下：∵长宽比为1.5， ∴这片花瓣更可能来自于向日葵中的花． 【点评】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． 20．（9分）（1）以下是圆圆解不等式组的解答过程． 解：由①，得2+x＞﹣1，所以x＞﹣3， 由②，得1﹣x＞2， 所以﹣x＞1，所以x＞﹣1． 所以原不等式组的解集是x＞﹣1． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0． ①求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； ②若方程有两个实数根x1，x2，且5，求m的值． 【考点】根与系数的关系；解一元一次不等式组；根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x＞﹣1； （2）①证明见解析； ②m＝﹣2． 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）①证明Δ＞0即可； ②根据x1+x2＝m+3，x1x2＝m，代入5，即可得答案． 【解答】（1）圆圆的解答过程有错误， 解：由①，得2+2x＞﹣1，所以x， 由②，得﹣1+x＞﹣2， 所以x＞﹣1． 所以原不等式组的解集是x＞﹣1； （2）①证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4m ＝m2+6m+9﹣4m ＝m2+2m+9 ＝（m+1）2+8， ∵（m+1）2≥0， ∴（m+1）2+8＞0， ∴此方程总有两个不相等的实数根； ②解：∵x1+x2＝m+3，x1x2＝m， （x1+x2）2﹣2x1x2＝（m+3）2﹣2m＝5， ∴（m+2）2＝0， ∴m＝﹣2． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（9分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示． （1）直接写出每分钟进水 　5　 升，每分钟出水 　　 升． （2）求y关于x的函数解析式． 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）5，； （2）y＝5x（0≤x≤4）；yx+15 （4≤x≤12）． 【分析】（1）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解； （2）用待定系数法求对应的函数关系式即可． 【解答】解：（1）根据图象，每分钟进水20÷4＝5升， 设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m＝30﹣20， 解得：m． 所以每分钟进水、出水各是5升、升， 故答案为：5，； （2）设当0≤x≤4时的直线方程为y＝kx， ∵图象过（4，20）， ∴k＝5， ∴y＝5x（0≤x≤4）； 设当4≤x≤12时的直线方程为：y＝kx+b（k≠0）． ∵图象过（4，20）、（12，30）， ∴， 解得：， ∴yx+15 （4≤x≤12）． 【点评】此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题． 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC所在的直线上有两点M，N满足AN＝CM，连接BM，BN，DM，DN． （1）试判断四边形BMDN的形状，并说明理由． （2）若，∠DNM＝30°，求四边形BMDN的面积． 【考点】正方形的性质；勾股定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）四边形BMDN是菱形，理由见解答； （2）2． 【分析】（1）连接BD，交AC于O，根据四边形ABCD是正方形，得出OA＝OC，OD＝OB，AC⊥BD，又因为AN＝CM，则ON＝OM，所以四边形BMDN是平行四边形， 因为AC⊥MN，则四边形BMDN是菱形． （2）在Rt△AOD中，AO2+OD2＝AD2，求出OD＝1，则BD＝2OD＝2，在Rt△AOD中，∠DNM＝30°，则DN＝2OD＝2，所以， 得出，则面积渴求． 【解答】解：（1）四边形BMDN是菱形， 理由如下：连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OC，OD＝OB，AC⊥BD， ∵AN＝CM， ∴ON＝OM， ∴四边形BMDN是平行四边形， ∵AC⊥MN， ∴四边形BMDN是菱形． （2）在Rt△AOD中，AO2+OD2＝AD2， ∵AO＝OD，， ∴OD＝1， ∴BD＝2OD＝2， 在Rt△AOD中，∠DNM＝30°， ∴DN＝2OD＝2， ∴， ∴， ∴四边形BMDN的面积2． 【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义：直线l1：y＝2x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣3x+b2经过线段a的另一个端点．若直线l1与l2交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． （1）如图，线段a的两个端点分别为（0，﹣1）和（0，4），则在点P1（1，1），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，线段a的“双线关联点”是 　P1，P3　 ； （2）A（m，y1），B（m+4，y2）是直线上的两个动点． ①点P是线段AB的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t），其中t＞0．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线关联点”，若所有线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，直接写出t的取值范围． 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；一次函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）P1，P3； （2）①点P的横坐标为或； ②． 【分析】（1）分类讨论：若直线l1经过点（0，﹣1），直线l经过点（0，4），求得直线l1：y＝2x﹣1，直线l2；y＝﹣3x+4，联立得，解得，故点P1是线段a的“双线关联点”；若直线l1经过点（0，4），直线l2经过点（0，﹣1），同上可求点P3是线段a的“双线关联点”； （2）①当直线l1经过，直线l2经过点时，求得l1，直线l2，联立方程求解；当直线l1经过点，直线l2经过点时，求得l1，直线l2，联立方程，求解即可解答； ②设线段AB的“双线关联点”为M，N，则，， 【解答】解：（1）若直线l1经过点（0，﹣1），直线l2经过点（0，4）， 则代入得b1＝﹣1，b2＝4， ∴直线l1：y＝2x﹣1，直线l2：y＝﹣3x+4， 联立得， 解得， ∴点P1是线段a的“双线关联点”； 若直线l1经过点（0，4），直线l2经过点（0，﹣1）， 则同理可求直线l1：y＝2x+4，直线l2：y＝﹣3x﹣1， 联立得， 解得， ∴点P3是线段a的“双线关联点”， 故答案为：P1，P3； （2）①将点A、B代入， 得，， ∴，， 当直线l1经过点，直线l2经过时， 则代入得，， 解得，， ∴直线，直线l2：， 联立得， 解得， ∴， 解得， ∴； 当直线l1经过点，直线l2经过点时， 同上可求l1，直线l2：， 联立得， 解得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段AB的“双线关联点”为M，N，则， 由①得， 消去m可得， ∴点M在直线上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上， ∴正方形CDEF与直线和直线恰有2个交点， 当t＞0且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图， 随着t增大，当点E落在直线l上，此时1个交点，不符合题意，如图， 则， 解得； 当t继续增大，此时，则直线l与正方形有2个交点，符合题意，如图， 当t继续增大，直至点C（t，t）落在直线P， 则， 解得t＝15，此时有3个交点，不符合题意，如图， ∴满足2个交点，则； 当t＞15时，此时有4个交点，不符合题意，如图， 综上，． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，主要考查新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$