第2章 第1节 直线的倾斜角与斜率 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 2.1 2.1 直线的倾斜角与斜率 2 2.1 第2.1节综合训练 刷能力 3 1.[江苏南通2025高二期中] 经过，两点的直线的一个方向向量为，则 ( ) D A. B. C. D.3 4 解析 由点，，可得直线的斜率为，因为经过， 两点的直线的 一个方向向量为，所以 .故选D. 5 归纳总结 若是直线的斜率，则是它的一个方向向量；若直线 的一个方向向量的坐标 为，其中，则它的斜率 . 6 2.[四川成都2025高二期中] 若直线沿 轴向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则直线 的斜率为( ) A A. B. C. D.2 7 解析 设直线上的一个点为，由直线沿 轴向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位 长度，可得点的对应点，因为直线 平移后又回到原来的位置，所以 也在原来的直线上，故直线的斜率为 .故选A. 8 3.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则 的斜率为( ) B A.3或 B.3 C.或 D. 9 解析 设直线的倾斜角为 ，则直线的倾斜角为 ,所以 ，即 ，解得或 . 因为，所以，所以，易得的倾斜角为锐角，所以 的斜率 为3．故选B. 10 4.[天津2025高二联考] 已知两点，，过点的直线与线段 （含端点）有 交点，则直线 的斜率的取值范围为( ) A A. B. C. D. 11 解析 如图，设线段与轴的交点为，直线的斜率为.直线绕点逆时针旋转到 的位置 才能保证过点的直线与线段有交点.从旋转到的过程中，倾斜角变大到 ，斜率 变大到正无穷大，，所以此时；从旋转到 的过程中，倾斜角 从开始变大，斜率从负无穷开始变大，，所以此时 .综上可得， 直线的斜率的取值范围为 .故选A. 12 5.[贵州贵阳2025高二月考] 以,,, 为顶点的四边形是( ) D A.平行四边形，但不是矩形 B.矩形 C.梯形，但不是直角梯形 D.直角梯形 13 解析 如图，由题知,,所以,所以 .又 ,所以,所以 . 又, ， 所以四边形 是直角梯形.故选D. 14 6.（多选）[河南南阳2024高二期中] 已知三条直线,,的斜率分别为,, ，倾斜角分别为 , , ，且 ，则其倾斜角的关系可能为( ) ABD A. B. C. D. 15 解析 因为正切函数在上单调递增，在 上也单调递增，分以下四种情况讨论： 当时，则 , , 均为锐角，且 ； 当时，则 为钝角， , 均为锐角，且 ； 当时，则 , 均为钝角， 为锐角，且 ； 当时，则 , , 均为钝角，且 . 故选 . 16 7. [福建宁德2025高二月考] 若，，三点共线，则, 满足的关 系式为___________. 17 解析 因为，，三点共线，所以.根据,,三点的坐标有 ，则 ，即 . 18 多种解法 由题知,.因为，，三点共线，所以 ，即 ，即 . 链接教材 本题是教材第58页习题2.1第4题的变式与延伸，由三点共线可以得出任意两点所在直 线的斜率相等，由此可以得出， 满足的关系式. 19 8.[河北部分校2025高二联考] 已知直线的一个方向向量为，直线 的一个方向向量为 ，其中,为正数，若，则 的最小值为_________. 20 解析 依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零，可得 ， 即，所以 . 由,得，当且仅当 ，即 , 时取等号. 21 9.[云南昆明2025高二期中] 过曲线上一点 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线 于点，，若直线 过原点，则其斜率为_ ____. 22 解析 不妨设，则，, ， 由题意可得，解得或，经过检验 不符合题意，故 舍去，故直线的斜率为 . 23 10.[广东东莞2025高二月考] 若正方形的一条对角线所在直线的斜率为 ，则该正方形的两条邻 边所在直线的斜率分别为________，_________. 24 思路导引 由直线斜率与倾斜角之间的关系,根据正方形的对角线与两条邻边的关系，再结合两角 和与差的正切公式求解. 25 解析 如图，在正方形中，对角线所在直线的斜率为 ， 设对角线所在直线的倾斜角为 ，则 ， 由正方形的性质可知，直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ， 故 ， . 26 11.[江西宜春2025高二段考] 点在线段（含端点）上运动，且，，则 的取值范围为_ __________________. , 27 解析 由题意，可看作是定点与线段 上的点连线的斜率. 又， ， 则由图可得的取值范围为 , . 28 $$