1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1.4.2 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 2 1.4.2 课时1 用空间向量研究距离问题 刷基础 3 1.[福建福州八县2025高二期中] 已知点，直线过原点且平行于，则点到 的 距离为( ) A A. B.1 C. D. 题型1 用空间向量研究点线距 4 解析 取,又，所以，则点到 的距离为 .故选A. 题型1 用空间向量研究点线距 5 2. [江苏无锡2025高二期中] 在棱长为1的正方体中，为平面 的中心，为的中点，则点到直线 的距离为( ) A A. B. C. D. 题型1 用空间向量研究点线距 6 解析 以为原点，以,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，由题意可知，,, ，所以 , ， 所以点到直线的距离为 ，故选A. 题型1 用空间向量研究点线距 7 链接教材 本题是教材第34页例6的变式.点到直线 的距离：连接点和线上 一点,假设连的是点,则 为与 的夹角）,其中 ， 或 ,其中是点在 上的射影， ,为直线 的单位向量. 题型1 用空间向量研究点线距 8 3.如图，在平行六面体中， , ，为的中点，则点到直线 的距离为 ( ) D A. B. C. D. 题型1 用空间向量研究点线距 9 解析 设,,，因为, ， 所以，又， ， 所以 ， ， 所以,，因此 ， 所以点到直线的距离为 ，故选D. 题型1 用空间向量研究点线距 10 4.[湖北部分名校2025高二期中联考] 已知点，平面 ，其中 ，则点到平面 的距离是( ) C A. B.2 C. D.3 题型2 用空间向量研究点面距 11 解析 由平面，得是平面 的法向量，点在平面 内，，所以点到平面 的距离是 .故选C. 题型2 用空间向量研究点面距 12 5.[云南2025高二联考] 已知点，，，，则三棱锥 的体积 是( ) B A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究点面距 13 解析 由题可得，，， ， 则，所以的面积 . 设平面的法向量为，则可取，所以点 到平面 的距离，则三棱锥的体积是 .故选B. 题型2 用空间向量研究点面距 14 6.[广东江门2024高二月考] 已知平面的一个法向量，点在平面 内， 若点到的距离为，则 ( ) C A.16 B. C.4或 D. 或16 题型2 用空间向量研究点面距 15 解析 由点在平面内，点，可得 . 因为平面的一个法向量，且点到的距离为，所以 ， 即，解得或 .故选C. 题型2 用空间向量研究点面距 16 名师点拨 利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②此点与平面内 一点构成该平面的斜线段，求斜线段对应的向量在法向量上的投影向量的模，即为点到平面的距离. 题型2 用空间向量研究点面距 17 7.[河南濮阳2025高二质检] 已知正方体 的棱长为2，满足 且，则 的最小值是( ) B A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究点面距 18 解析 由题意得， ， ，即 ， 由共面向量定理得，，，，四点共面，即点在平面 上， 则的最小值为点到平面的距离.以 为原点建立如图所示的空间直 角坐标系， 则，，，， ， ，，设平面的法向量为 ， 则即令,则，则点到平面 的距离 ， 即的最小值是 .故选B. 题型2 用空间向量研究点面距 19 8.[山东济宁2025高二期中] 在棱长为1的正方体中，,分别是, 的中点， 则直线到平面 的距离为( ) D A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 20 解析 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 , ,,,，, ，所以 ,, . 设平面的法向量为，则令 ， 则 . 因为， 平面， 平面 ， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面 的距离，所以 直线到平面 的距离为 .故选D. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 21 9.[四川泸州2024高二月考] 两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点 ，且两平面的一 个法向量为 ，则两平面间的距离是( ) B A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 22 解析 两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点， ，且两平面的一个 法向量为, 两平面间的距离为 .故选B. 规律方法 对于线面距和面面距，往往转化为点面距进行求解. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 23 10.在棱长为1的正方体中，平面与平面 之间的距离为( ) B A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 24 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， 所以，， . 设平面的法向量为，则 解得故 . 显然平面平面，所以平面与平面 之间的距离 .故选B. 题型3 用空间向量研究线面距、面面距 25 1.4.2 课时1 用空间向量研究距离问题 刷提升 26 1.[四川成都七中2025高二期中] 在正四棱柱中，，点 在线段 上，且，点为的中点，则点到直线 的距离为( ) A A. B. C. D. 27 解析 如图，连接，以为原点，,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系， 由题意可得,,，则, ， 所以点到直线 的距离为 ，故选A. 28 2.埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正 四棱锥.若正四棱锥的高为3，，点 满足 ，则点到平面 的距离为( ) A A. B. C. D. 29 解析 如图，连接，设与相交于点，连接 ， 故以点为坐标原点，,,所在直线分别为，， 轴，建立空间直角坐 标系， 又由题意可得， ， 所以 ， 所以，，，，， ， 不妨设，因为，所以 ， 即,,，解得,,，即 ， 所以，， . 设平面的法向量为，则， ， 即取，得 ， 所以点到平面的距离 ．故选A. 30 3.[辽宁部分学校2025高二期中] 如图，在直三棱柱 中， ，，，，点是棱的中点，点在棱 上 运动，则点到直线 的距离的最小值为( ) A A. B. C. D. 31 解析 因为 平面，, 平面,所以,.又，所以 , , 两两垂直， 以为原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则,，设，其中 ， 所以， ， 32 则点到直线 的距离 ，设，因为，所以，则 . 所以点到直线的距离的最小值为 ，故选A. 33 4.[河南商丘十校2025高二期中] 已知正方体的棱长为1，为棱 的中点， 为侧面的中心，点，分别为直线，上的动点，且，当 取得最小值 时，点到平面 的距离为( ) A A. B. C.1 D. 34 解析 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接 ,则 ， . 设， ， 得到， ， 因为，所以，即，所以 . 又，所以，当且仅当 时取 等号，此时 ， 所以，,1,， ， 35 设平面的法向量为 ， 则 令，则 ， 所以当取得最小值时，点到平面的距离 .故选A. 36 5.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量 为方向向 量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为 ，则 点到直线 的距离为___. 2 37 解析 由题设，直线的方程为，经过点，且为直线 的方向向 量，所以，故点到直线的距离为 . 38 6.[湖北孝感部分学校2025高二联考] 在棱长为4的正方体中，, 分别是平面 和平面内的动点，，则 的最小值为_____. 39 解析 取点关于平面的对称点为 ， 则，设点到平面的距离为，则 . 以为原点，以,,所在直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为4，且，所以,, , ， 所以,, . 设平面的法向量为，则 取，则,，则，所以点到平面 的距离 .即的最小值为 . 40 归纳总结 处理空间几何体中的距离之和的最值问题的方法 （1）借助参数表达，转化为函数最值求解； （2）利用展开图，将空间距离之和转化为平面距离之和，再利用两点之间线段最短求解； （3）借助对称，化线（面）的同侧为线（面）的异侧，转化为两点间的距离（点面距）求解. 41 7.[山西大同2024高二期中] 在长方体中，,, 分别是棱 ,上的动点（不含端点），且，则三棱锥 体积的取值范围是_ _____. 42 解析 以为坐标原点，分别以直线,,为,,轴建立空间直角坐标系 ,如图所示. 设 ， 则,又,，所以,, . 设平面的法向量为 ， 43 则即 令，则, , 所以平面的一个法向量为 ， 点到平面的距离 . 设中的边上的高为，因为 , , 所以 ,所以 ， 所以 ， 所以三棱锥的体积的取值范围是 . 多种解法（此法作辅助线比较难）设，延长到 ， 使得，连接, , 则，，则 ，于是 . 因为长方体的对角面是矩形，所以 ， 又 平面， 平面，于是平面 ， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，连接,, , 由等体积法可知 ，又 ，故 ，所以 . 46 8.[河南洛阳2025高二期中] 如图，在四棱锥中，为正三角形， ， ， 平面，与平面所成角为 . （1）若为的中点，求证： 平面 ； 47 【证明】 平面，与平面所成角为 ， , ，.又为的中点， . 平面，, 平面，, . ，，, 平面， 平面 . 平面， . 又，, 平面， 平面 平面， . ，，，, 平面， 平面 . 平面， . 又，, 平面， 平面 . 48 思路导引 由线面角得到 ，故，证明出 平面,得到 ，再由 ,,证明出 平面，得到，从而证出 平面 ； 49 （2）若，求点到平面 的距离. 【解】 平面，, 平面，, . 又，,,两两垂直，以为原点，，， 所在直线分别 为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，为等边三角形， ， ，,， ， 则，，,,，， ， ， 50 设平面的法向量为，则 即取，则，， . ， 点到平面的距离 . 51 思路导引 证明出,,两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用点到 平面距离的向量公式求出答案. 52 1.4.2 课时2 用空间向量研究夹角问题 刷基础 53 1. [吉林省实验中学2025高二段考] 在正四棱柱中，， ， ，分别是，，的中点，则直线与 所成角的余弦值为( ) D A. B. C. D. 题型1 用空间向量研究线线角 54 解析 如图，以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角 坐标系， 设,，则,,, ，则 , , 故,，故直线与 所 成角的余弦值为 .故选D. 题型1 用空间向量研究线线角 55 链接教材 本题是教材第38页练习第1题的变式，考查求异面直线所成的角，主要有两种方法：一 是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用 空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线 所成的角，再利用平面几何性质求解. 题型1 用空间向量研究线线角 56 2.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形， 平面，棱， 的中点分 别为，.若直线与所成角的余弦值为，则 ( ) C A.2 B. C.4 D.1 题型1 用空间向量研究线线角 57 解析 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则 ， ，，，,1,，所以， .因为直线 与所成角的余弦值为，所以,，解得 （负值舍去），即 .故选C. 题型1 用空间向量研究线线角 58 3.[福建厦门外国语学校2025高二月考] 已知二面角 的棱上有，两点，直线， 分别在平面 , 内，且它们都垂直于.若,,,，则异面直线 与 所成角为( ) B A. B. C. D. 题型1 用空间向量研究线线角 59 解析 因为 ，所以 .因为 ， ，，，， ， 所以, ， 所以, . 设异面直线与所成角为 ， ， 则,，所以 .故选B. 题型1 用空间向量研究线线角 60 归纳总结 利用数量积求异面直线所成的角的思路 题型1 用空间向量研究线线角 61 4.[上海浦东2025高二期中] 如图，在三棱柱中，侧面， 均为正方 形，， ，点是棱 的中点. 题型1 用空间向量研究线线角 62 （1）求证： 平面 ； 【证明】因为， ， 所以 为等腰直角三角形， 故在三棱柱中, 为等腰直角三角形， 又是棱的中点，则 . 因为侧面，均为正方形，即， ， 又，, 平面，所以 平面，即三棱柱 为直三 棱柱，所以 平面.又 平面，则 . 又且, 平面 ， 所以 平面 . 题型1 用空间向量研究线线角 63 （2）求异面直线与 所成角的大小. 【解】由（1）知 平面，又 ， 所以以为原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以， ， 设异面直线与所成的角为 ，则 . 因为，所以，即异面直线与所成的角为 . 题型1 用空间向量研究线线角 64 5.[山东济宁2024高二期中] 如图，在正四棱锥中，为顶点 在底面内 的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面 所成的角是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究线面角 65 解析 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在 直线为轴，建立空间直角坐标系.设 ， 则，，，，，0， ， 则，，，， . 设平面的法向量为 ， 则， ， 可取 . 设直线与平面所成的角为 ， 则, ， 又 ， .故选C. 题型2 用空间向量研究线面角 66 6.[重庆第十八中学2025高二期中] ，，是从点 出发的三条射线，每两条射线的夹角均 为 ，那么直线与平面 所成角的余弦值是( ) B A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究线面角 67 解析 把，， 放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角 线，则，，的夹角均为 .建立如图所示的空间直角坐标系，设正方 体的棱长为1，则，，， ，所以 ，， ， 设平面的法向量为 ， 则 令，则，，所以 ， 所以, . 设直线与平面所成角为 ，则, ，所以 .故选B. 题型2 用空间向量研究线面角 68 名师点拨 本题将，， 三条射线截取出来放在正方体中进行分析，建系，再利用空间向量 法使问题简单求解. 题型2 用空间向量研究线面角 69 7.[河南许昌2025高二联考] 如图，在正方体中，为 的 中点，为的中点，在线段上，则直线与平面 所成角的最大 值为( ) C A. B. C. D. 题型2 用空间向量研究线面角 70 解析 以为原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 . 设正方体的棱长为2，则,,,, , ，由在线段上，可设, ，则 ,, . 设平面的法向量为，则 即 令，得,，则平面的一个法向量为 ， 题型2 用空间向量研究线面角 71 设直线与平面所成角为 ， 则, ， 因为，所以当 时， 取得最小值 ， 即 取得最大值，由，可得 的最大值为 . 所以直线与平面所成角的最大值为 .故选C. 题型2 用空间向量研究线面角 8.[浙江杭师大附中2024高二期中] 如图，在三棱锥中， 平面，点， 分别是 和的中点，, ，直线与直线所成的角为 . 题型2 用空间向量研究线面角 73 （1）求 的长； 【解】由 平面，且 ，可得,, 两两垂直， 如图，以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标 系. 设，则,,,, , ， 可得, ， 所以,，解得 （负值舍去）， 所以 . 题型2 用空间向量研究线面角 74 （2）求直线与平面 所成角的正弦值． [答案] 由（1）可得,, ， 设平面的法向量为，则 令，则, ， 可得 ， 则,，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 题型2 用空间向量研究线面角 75 归纳总结 求空间角的常用方法 （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结 合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、 直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量）的余弦值，再进行转化求出结果. 题型2 用空间向量研究线面角 76 9.已知向量,分别是平面 和平面 的法向量，若,，则平面 与 的夹角为 ( ) B A. B. C. 或 D. 或 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 77 解析 平面与平面的夹角的范围是 （含 与），由于,，所以 , ,所以平面 与 的夹角为 .故选B. 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 78 10.[贵州遵义2025高二期中] 在棱长为3的正方体中，点,分别在棱, 上， 且满足，，则二面角 的余弦值为( ) A A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 79 解析 分别以射线，，的方向为，， 轴的正方向建立如图所示的 空间直角坐标系， 由，，得，，， ， 则，， ， 设平面的法向量为，则 令，则 ， 设平面的法向量为，则 令，则，所以,，由图可知二面角 为锐角， 则二面角的余弦值为 ，故选A. 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 80 11.[陕西安康2024高二期中] 如图，四边形是边长为1的正方形， 平 面，若，则平面与平面 的夹角为( ) A A. B. C. D. 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 81 解析 因为 平面，且四边形为正方形，所以,, 两两 垂直,建立如图所示的空间直角坐标系，则,, ，所以 ， . 设平面的法向量为，则 取，得 ， 又平面的一个法向量为，设平面与平面 的夹角为 ，则 ， 又 ，所以 .故选A. 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 82 12.（多选）[福建莆田一中2025高二月考] 如图，在直三棱柱中， ， ，，点是棱 的中点，则下列说法正确的是( ) ABD A.异面直线与所成的角为 B.在上存在点，使平面 C. D.二面角的大小为 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 83 解析 对于A，因为，，则，所以 ， 在直三棱柱中， 平面，又 平面，则 ， 又，, 平面，所以 平面，又 平面 ， 所以，则异面直线与所成的角为 ，故A正确； 图① 对于B，如图①,取,的中点分别为,，连接,,，又为 的中点， 所以，，又, 平面，, 平面,所以 平 面,平面,又,, 平面,所以平面 平面 ，又 平面，所以平面，故在上存在点，使 平 面 ，故B正确； 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 84 图② 对于C，以点为坐标原点，以,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立 如图②所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， 所以， ，因为 ，所以与 不垂直， 故C错误； 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 85 图③ 对于D，方法一（几何法——三垂线定理）如图③,在平面内，过点 作 于点，连接，由三垂线定理得，所以 是二面角 的平面角，依题意知，， ，所以 ，所以二面角的大小为 ，故D正确. 方法二（坐标法）易知平面的一个法向量为 ， 设平面的法向量为 ， 因为， ， 所以令，则,，故,, ， 则, , 又二面角为锐二面角，所以二面角的大小为 ，故D正 确.故选 . 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 86 13.[重庆巴蜀中学2025高二期中] 如图，在四棱锥中，侧棱 底面, , 底面为平行四边形,，，分别在棱，上，平面 . （1）若是的中点，求与平面 所成角的余弦值； 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 87 【解】由题意可知，底面是正方形.连接交于点，连接 . 因为平面，平面 平面, 平面，所以 . 又是的中点，所以是的中点.以为原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向建立 如图所示的空间直角坐标系 . 不妨设，则,,, . 由题意，是的中点，则，故,, . 设平面的法向量为，则 令，得 . 记与平面所成角为 ，则 ， 故,故与平面所成角的余弦值为 . 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 88 （2）若，求平面与平面 夹角的余弦值. [答案] 由（1）知,，故，故.又 , , 平面， 平面，故 平面,故平面 的一个法向量 .易知平面的一个法向量为.记平面与平面 的夹 角为 ，则 ，故平 面与平面夹角的余弦值为 . 题型3 用空间向量研究二面角或面面角 89 14.已知直线与平面 相交，且的方向向量为， 的法向量为.若，，则与 所成 角的大小为( ) C A. B. C. D. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 90 解析 如图所示，直线与平面 所成的角 . 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 91 易错警示 求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角才是斜线与 平面所成的角. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 92 15.在三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，.若， ，则二面 角 的大小为( ) C A. B. C.或 D.或 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 93 解析 当二面角为锐角时，其大小为，；当二面角 为钝角时， 其大小为， . 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 94 易错警示 利用空间向量法求二面角有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂 直且从棱上同一点出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小；二是通过平 面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为，，则二面角的大小等于， 或， . 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 95 16.[湖北武汉华中师大一附中2024高二月考] 如图，在正方体 中， ，分别为，的中点，则平面与平面 的夹角的余弦值为( ) B A. B. C. D. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 96 解析 设正方体的棱长为1，以为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示,则,0,,,, ， , . 设平面的法向量为，由于， ， 则 即 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 97 令，解得，，于是 ， 同理可求得平面的一个法向量为，所以, , 设平面与平面的夹角为 ，则,.故所求两平面夹角的余弦值为 . 故选B. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 98 易错警示 面面夹角是平面 与平面 相交形成的四个二面角中不大于 的二面角，故面面夹角 ，因此面面夹角的余弦值一定不小于0，故两平面法向量夹角的余弦值的绝对值就是两 平面夹角的余弦值，不用分情况讨论面面夹角是锐角还是钝角，注意和二面角进行区分. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 99 1.4.2 课时2 用空间向量研究夹角问题 刷提升 100 1.[山东泰安2025高二期中] 已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为 的 中点，则与平面 所成的角的正弦值为( ) B A. B. C. D. 101 解析 取的中点，连接,则，以 为原点，建立如图所示的 空间直角坐标系，则,,,， ， 由图可知，平面的一个法向量为 . 设与平面所成的角为 ，则, ， 故与平面所成的角的正弦值为 .故选B. 102 2.[浙江诸暨中学2025高二月考] 如图，已知在四棱锥中，底面 是边长为2的正方 形，是以为斜边的等腰直角三角形， 平面，点是线段 上的动点 （不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与所成角为 ，则线 段 长度的取值范围是( ) B A. B. C. D. 103 解析 取的中点，连接，因为 平面， 平面，所以平面 平 面.因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以.又 平面 ，且平面 平面，所以 平面 . 如图，以为坐标原点，以,所在直线分别为, 轴建立空间直角坐标系， 则,,,, ， 设,，设, ， 故，则, . 又，且异面直线与所成角为 ， 所以 ，即 ， 即,又,,所以 ，则 ,故 .故选B. 104 3.[四川南充2024高二段考] 两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平 面的夹角.由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中，两个 不重合的“表截面”的夹角大小不可能为( ) A A. B. C. D. 105 解析 在正方体中，平面和平面的夹角为 ，D选项错误. 平面和平面的夹角为 ，B选项错误. 设正方体 的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,，,, ， ， 设平面的法向量为，则 令,可得 . 106 设平面的法向量为，则令 ,可得 . 设平面与平面的夹角为 ，则 ， 由于 ，所以 ，所以C选项错误. 平面与平面的夹角为 ,平面与平面的夹角为 .由图可知两个 不重合的“表截面”的夹角的大小不可能为 .故选A. 107 4.[河北保定2024高二月考] 已知矩形中，，，将沿折起到 的位置.若，则二面角 的余弦值为( ) C A. B. C. D. 108 解析 过点作,过点作，垂足分别为,，过点作交于点 ，则 ，所以即为二面角 的平面角. 由题可得，则，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ,，所以, . 因为，所以.所以二面角的余弦值为 .故选C. 109 5.[北京海淀区2025高二期中] 如图，在四棱柱中，底面 为 正方形，侧棱 底面，，，是侧面 内的动点，且 ，记与平面所成的角为 ，则 的最大值为( ) A A. B. C.2 D. 110 解析 如图，以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐 标系， 则，，，，， ， 所以 ， 设，则，因为 ， 所以，即，则，所以 ，易知 平面的一个法向量为 ， 则, ， 又，所以当时， 取得最大值，为，则 ， 此时 取最大值，为 .故选A. 111 归纳总结 求空间中直线与平面所成的角的常见方法 （1）定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成的角的概念； ③求，利用解三角形的知识求角. （2）向量法：,（其中为直线的方向向量，为平面 的法向 量， 为直线与平面 所成的角）. （3）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到平面的距离，点到平面的距离与斜线段长 的比值即为线面所成的角的正弦值. 112 6.（多选）[辽宁抚顺六校2024高二联考] 如图，正方体的棱长为2，是 的中点，点满足，其中， ，则下列结论正确的有( ) ABD A.当时， B.当时，平面 C.当时，异面直线与所成角的余弦值为 D.若，二面角的大小为，则的面积为 113 解析 以点为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，所以 ， ,,，则 ， 所以，，， ， 所以，当时，，即 ，故A正确； 114 易知是平面的一个法向量，因为当时，，即 ， 又 平面，所以平面 ，故B正确； 当时，,,，则,，则异面直线与 所成角的 余弦值为 ，故C错误； 当时，，，设平面的法向量为 ，则 取，则 ， ，所以，又因为平面 的一个法向量为 ，且二面角的大小为 ， 则,，又，解得，即点，,1, ， 则,，所以,, ， 所以,，故D正确．故选 . 7.[湖南衡阳2024高二期中] 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、 三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖之分．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四 棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为__． 117 解析 设正四棱锥底面的边长为，斜高为，连接,交于点 ， 连接.则，则，．以 为坐标 原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系． 则,,，, . 设平面的法向量为，则 即 118 令，则,,，显然平面 的一个法向量 为,,， 侧面与底面的夹角的余弦值为 ,又夹角的范 围为, 所求夹角的大小为 ． 8.[广东深圳2024高二期中] 如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截后得到的几 何体，截面为．已知， ，，， ． （1）设点是的中点，证明：平面 ； 120 【证明】由题可得 平面，又, 平面，所以 ， ， 又因为 ，所以可以以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图①， 图① 121 则,,,, ， 因为是 的中点， 所以, ， 易知是平面的一个法向量，，又 平面，所以 平 面 . 122 （2）求直线与平面 所成的角的余弦值； 【解】设直线与平面所成的角为 ，, ，设 是平面的法向量，则由得取 ，得 . 又因为，所以， ， 则，，所以直线与平面所成的角的余弦值为 . 123 （3）求此几何体的体积． 图② 【解】分别延长,,至点,,，使,, ，如图②，则 .因此该几何体的体积为 ． 124 9.[河北沧州部分学校2025高二联考] 如图，在四棱台中， 平面 ， 底面为正方形，，点在线段 上运动. （1）证明： ; 125 【证明】因为 平面，, 平面 ， 所以,，又四边形为正方形，所以,所以,, 两两互相垂直， 以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则，,,,, ， 所以, ，则 ，所以 . 126 （2）求异面直线与 所成角的余弦值; 【解】由（1）可得, ， 所以, ， 故异面直线与所成角的余弦值为 . 127 （3）求直线与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【解】设.因为，所以 ， 则 , 由（1）可得, . 设平面的法向量为 ， 则令，则 . 128 设直线与平面所成的角为 ，则, . 令，则 ， 所以 . 当，即,即时， 取得最大值，最大值为1； 当，即,即时， 取得最小值，最小值为 . 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 129 10.[福建三明一中2025高二月考] 如图，在四棱锥中，平面 平面 , ,，,为棱 的中点. （1）证明：平面 . 130 【证明】取的中点，连接,，如图①所示.为棱 的中点， 图① ,,,,， 四边形 是平行四 边形，，又 平面, 平面,平面 . 131 （2）若, ， 【解】,, , , . 平面 平面，平面 平面, 平面， 平面 . 图② 又, 平面,，,而， 以点 为坐标 原点，,,所在直线分别为，， 轴建立如图②所示的空间直角坐标系， 则,,,, ， 为棱 的中点， . 132 （ⅰ）求二面角 的余弦值. [答案] ,，设平面的法向量为 ， 则令，则,, ， 易知平面的一个法向量为，, ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为 . 133 （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出 的值；若 不存在，说明理由. [答案] 假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是 ， 设,，则, ， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，, . 134 归纳总结 二面角的求法 （1）几何法：找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 求（解三角形）. （2）向量法：首先求出两个半平面的法向量,，再代入公式（其中, 分别是 两个半平面的法向量， 是二面角的大小）求解（注意通过观察二面角的大小选择“ ”）. 135 $$