1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1.4.1 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 2 1.4.1 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示 刷基础 3 1.若，在直线上，则直线 的一个方向向量为 ( ) C A. B. C. D. 题型1 直线的方向向量的理解 4 解析 依题意，直线的一个方向向量为 ，其他三个均不符合 要求.故选C． 题型1 直线的方向向量的理解 5 2.两条直线,的方向向量分别为, ，则这两条直线( ) D A.平行 B.垂直 C.异面 D.相交或异面 题型1 直线的方向向量的理解 6 解析 因为,，所以，故直线, 不垂直. 又，故直线, 不平行，所以两条直线相交或异面.故选D. 题型1 直线的方向向量的理解 7 3.[河南省实验中学2025高二期中] 在空间直角坐标系中，直线过点且以 为 方向向量，为直线上的任意一点，则点 的坐标满足的关系式是( ) C A. B. C. D. 题型1 直线的方向向量的理解 8 解析 依题意，， ，则，所以点 的坐标满足的关 系式是 .故选C. 题型1 直线的方向向量的理解 9 4.（多选）如图，在正方体中，为棱上不与， 重合 的任意一点，则能作为直线 的方向向量的是( ) ABD A. B. C. D. 题型1 直线的方向向量的理解 10 解析 由题图易知，可作为直线的方向向量，又，所以，， 都能作为直线的方向向量.故选 . 题型1 直线的方向向量的理解 11 5. [重庆2025高二期中] 已知空间中点,,，则平面 的 一个法向量为( ) B A. B. C. D. 题型2 平面的法向量的理解 12 解析 由题知，，设平面的法向量为 ，则 令，得 .故选B. 题型2 平面的法向量的理解 13 链接教材 本题是教材第28页例1的变式，考查平面法向量的求法： （1）设平面的法向量为 ; （2）在平面内任意找出两个不共线的向量， ; （3）由平面的法向量的定义，推导出两个不共线向量，和法向量 的数量积为0，建立两 个三元一次方程，利用赋值法求得一个法向量 . 特别地，也可利用题目中已有的垂直条件，找出与平面垂直的向量，即为该平面的法向量. 题型2 平面的法向量的理解 14 6.[广东广州2025高二期中] 已知平面 的一个法向量为，点在平面 内，若点在平面 内，则 的值为( ) A A. B.0 C.1 D.2 题型2 平面的法向量的理解 15 解析 因为点,点，所以 . 因为点，都在平面 内，且平面 的一个法向量为 ， 所以，解得 .故选A. 题型2 平面的法向量的理解 16 7.[江苏镇江多校2025高二联考] 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面 直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线 的点法式方程为： ，化简得 .类比以上做法，在空间直角坐标系中， 经过点的平面的一个法向量为 ，则该平面的方程为( ) B A. B. C. D. 题型2 平面的法向量的理解 17 解析 根据题意可得所求平面的方程为 ，化简得 ，故选B. 题型2 平面的法向量的理解 18 规律方法 已知平面中一点和法向量，可以根据平面的法向量和平面内的任意直线的方向向量垂 直，求出平面方程. 题型2 平面的法向量的理解 19 8.[山东部分学校2025高二联考] 如图，四棱柱 为正方体. ①直线的一个方向向量为 ； ②直线的一个方向向量为 ； ③平面的一个法向量为 ； ④平面的一个法向量为 . 则上述结论正确的是________.（填序号） ①②③ 题型2 平面的法向量的理解 20 解析 不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知，，, , ,于是, ,故①②正确； 因为 平面，，所以为平面 的一个法向量，故③正确； 在正方体中，因为 平面, 平面 ， 所以，易得，又，, 平面,故 平面 ， 而，即可作为平面的一个法向量，又向量与向量 不平行，故④ 错误.故答案为①②③. 题型2 平面的法向量的理解 21 1.4.1 课时2 空间线面位置关系的判定 刷基础 22 1.[河南南阳2024高二期末] 在空间直角坐标系中，已知，， ， ，则直线与 的位置关系是( ) B A.异面 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 题型1 平行关系的判定与应用 23 解析 由，，， ， 得，，则，即 ， 而，显然向量,不共线，即点不在直线 上， 所以直线与 平行.故选B. 题型1 平行关系的判定与应用 24 2.[湖南衡阳2025高二期中] 已知直线的方向向量是，平面 的一个法向量是 ，则与 的位置关系是( ) D A. B. C.与 相交但不垂直 D. 或 题型1 平行关系的判定与应用 25 解析 ，， 或 .故选D. 题型1 平行关系的判定与应用 26 3.[广东实验中学2024高二期中] 已知,,为空间内三个不共面的向量，平面 和平面 的法 向量分别为和，若 ，则 ( ) B A.5 B. C.3 D. 题型1 平行关系的判定与应用 27 解析 因为,,为空间内三个不共面的向量，所以{,, 可以作为空间的一个基底， 又平面 和平面 的法向量分别为和且 ，所以 ，则，即，所以 解得 所以 .故选B. 题型1 平行关系的判定与应用 28 4.[吉林省实验中学2025高二月考] 两个不重合的平面 与平面，若平面 的法向量为 ，， ，则( ) A A.平面平面 B.平面 平面 C.平面 、平面 相交但不垂直 D.以上均有可能 题型1 平行关系的判定与应用 29 解析 设平面的法向量为,则设，则 ， ，即,由，得平面平面 .故选A. 题型1 平行关系的判定与应用 30 5.[北京四中2025高二期中] 如图，在正方体中，， 分别 为， 的中点，则( ) B A.平面 B.平面 C.平面 D.平面 题型1 平行关系的判定与应用 31 解析 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴建立如 图所示的空间直角坐标系，设，则，， ， ，，，，， ， . 设平面的法向量为，， ， 则取，可得 . 设平面的法向量为，， ， 则取，则 . 题型1 平行关系的判定与应用 32 对于A选项， ，A错误； 对于B选项，，，且 平面，则平面 ，B正确； 对于C选项， ，C错误； 对于D选项，， ，D错误.故选B. 题型1 平行关系的判定与应用 33 6.（多选）[辽宁沈阳二中2024高二段考] 已知,分别为直线,的方向向量（, 不重合）， ,分别为平面 ， 的法向量（ ， 不重合），则下列说法中正确的是( ) ACD A. B. C. D. 题型2 垂直关系的判定与应用 34 解析 选项A,由题设 ，故A正确； 选项B，由题设 或 ，故B错误； 选项C,由题设 ，故C正确； 选项D,由题设 ，故D正确.故选 . 题型2 垂直关系的判定与应用 35 规律方法 证明同类型平行（线线平行、面面平行）即证对应的方向向量或法向量平行； 证明不同类型平行（线面平行）即证对应的方向向量和法向量垂直（线在平面外）; 证明不同类型垂直（线面垂直）即证对应的方向向量和法向量平行. 题型2 垂直关系的判定与应用 36 7.[山东济南一中2025高二期中] 已知,分别是平面 , 的法 向量，若 ，则 ( ) D A. B. C.1 D.7 题型2 垂直关系的判定与应用 37 解析 由 ，得，所以，解得 .故选D. 题型2 垂直关系的判定与应用 38 8.在空间直角坐标系中，平面 的法向量为，直线的方向向量为 ，直 线的方向向量为 ，则下列结论中正确的是( ) C A. 且 B. 且 C.且 D.且 题型2 垂直关系的判定与应用 39 解析 ，，， ， ，即，，所以 ， .故选C. 题型2 垂直关系的判定与应用 40 9.[内蒙古部分学校2025高二联考] 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且 侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知图①②③都为堑堵，，，， ， 分别是所在棱的中点，则满足 的有( ) C 图① 图② 图③ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型2 垂直关系的判定与应用 41 解析 设，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴， 轴建立空间直 角坐标系，则.在题图①中，，， ， 则，，所以，满足 ; 在题图②中，，，，则， ，所以 ，满足 ; 在题图③中，，，，则， ，所以 ，不满足 .故选C. 题型2 垂直关系的判定与应用 42 10.已知正方体中，点在棱上，直线 平面，则点 的位置是 ( ) A A.点 B.点 C. 的中点 D.不存在 题型2 垂直关系的判定与应用 43 解析 如图，以为坐标原点，分别以,,所在直线为,, 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，,，则,,, ， , . 直线 平面， 平面，， ，即 ，解得，此时点与点重合．又 , ,,又,, 平面, 平面 ,符合题意. 故选A． 题型2 垂直关系的判定与应用 44 11.如图所示，在直三棱柱中，,,,分别为棱 ， 的中点.证明：平面 平面 . 题型2 垂直关系的判定与应用 45 【证明】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， 所以，，， . 设平面的法向量为，则即 令 ,可得平面的一个法向量 . 设平面的法向量为，则即 令 ,可得平面的一个法向量 . 因为，所以 ， 所以平面 平面 . 题型2 垂直关系的判定与应用 46 12.[安徽六安2025高二期中] 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直， ， ，，，为 的中点. （1）求证：平面 ； 题型2 垂直关系的判定与应用 47 【证明】根据题意可知平面 平面，平面 平面 ， 又四边形是正方形，所以.因为 平面，所以 平面 ，从而可 得，，两两垂直.以为原点，以，，的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系.则,,,,, . 又为的中点，所以，则，且易知平面 的一个法向量为 ， 因为，所以.又 平面，所以平面 . 题型2 垂直关系的判定与应用 48 （2）求证： 平面 . [答案] 由（1）可得,,,所以 ， ，所以,.又，, 平面，所以 平面 . 题型2 垂直关系的判定与应用 49 13.[江西宜春上高二中2025高二月考] 如图，在四棱锥中， 平面, 与底面 所成角为 ，四边形是梯形，,,, . （1）证明：平面 平面 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 50 【证明】由 平面,与底面所成角为 ，可知 ，所以 . 又，所以 . 因为四边形是梯形，，，所以 . 由,，可得 ， 则，所以 . 由 平面， 平面，可得 . 又,, 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ， 所以平面 平面 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 51 （2）点是线段上的动点，在线段上是否存在点，使 平面，若存在，求 的 值；若不存在，请说明理由. 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 52 【解】根据题意可知,,两两垂直，所以以为坐标原点，,, 所 在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则, , ,,，连接 , 由点是线段上的动点，可设， , 即，所以 . 因此 . 设，，由 ， 可得 ， 所以 . 又 , 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 53 若 平面 ，则 解得,，符合题意，可得 ， 即存在点，当时，有 平面 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 14.[江西南昌一中2024高二月考] 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为,,为底面圆 内两条 互相垂直的直径，是底面圆周上的动点（异于,），且,在直径的两侧.已知 . （1）若，求证： ； 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 55 【证明】因为 平面, 平面，所以 ， 当时，，如图，连接，则 . 因为，, ， 所以，则,故，所以 . 又因为,, 平面，所以 平面 ， 又因为 平面，所以 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 56 （2）若在线段上存在点（异于,），使得平面，求 的取值范围. 【解】以为坐标原点，分别以,,的方向为,, 轴的正方向，建 立如图所示的空间直角坐标系， 设，则,,, , ，所以, . 设平面的法向量为 ， 则即取，则, ，所以 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 57 设，因为， ,所以 ，所以 . 因为平面，所以 ， 即， , 所以,又，所以 . 即的取值范围为 . 题型3 空间线面位置关系的探索性问题 58 $$