第1章 专题2 与直线有关的最值问题-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 2 专题2 与直线有关的最值问题 刷难关 2 1.直线与直线交于点，是实数，为坐标原点，则 的 最大值是( ) B A.2 B. C. D.4 题型1 两点间距离的最值问题 3 解析 因为与的交点坐标为 , 所以 ， 当时，，所以的最大值是 ，故选B. 题型1 两点间距离的最值问题 4 2.［陕西咸阳2025高二月考］点到直线（ 为任意实数）的距离 的最大值是( ) B A.5 B. C.4 D. 题型1 两点间距离的最值问题 5 解析 将直线变形为，令解得 则直 线恒过点，不妨设为，所以点到直线的最远距离为，此时直线 . 又，所以点到直线的距离的最大值是 .故选B. 题型1 两点间距离的最值问题 6 3.［四川成都2024高二月考］已知点，，点在线段 （含端点）上移动， 则 的最小值为___. 5 解析 的几何意义为点与点的距离，由图形可得， 两点的距离最短，则 所求最小值为 . 题型1 两点间距离的最值问题 7 4.［陕西师范大学附属中学2025高二期中］已知点在直线上运动，点 ， ，则 的最大值为( ) A A. B.2 C. D.1 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 8 解析 设点关于直线的对称点为，则有解得 即 ,从而，当且仅当,, 三 点共线时等号成立，所以的最大值为 .故选A. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 9 5.［黑龙江鸡西一中2025高二期中］数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.” 事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数 问题，可以转化为点与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数 的最小值是( ) C A. B.4 C. D. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 10 解析 表示动点到定点和 的距离之和， 因为点在直线 上运动， 作关于直线的对称点，则 ， 故 ， 当且仅当,,三点共线时取等号，故的最小值是 .故选C. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 11 解析 由题可知点,在直线 的同侧， 设点关于直线的对称点为 ，如图所示. 则解得即 .要使将军走过的总路程最短,则 将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线 . 因为，所以直线的方程为,即 ，故A错误. 设将军在河边饮马的地点为，则即为直线与 的交点，联立两直 线方程解得, ，故B正确. 将军从河边回军营的路线所在直线为直线，又，所以直线 的方程 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 12 为,即 ，故C错误. 总路程 ， 所以“将军饮马”走过的总路程为，故D正确.故选 . 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 7.［安徽蚌埠2024高二月考］过定点的直线与过定点 的直线 交于点（与，不重合），则 面积的最大值为( ) C A. B. C.2 D.4 题型3 与面积有关的最值问题 14 解析 动直线化为，可得定点 ， 动直线化为，可得定点 . 因为，所以直线 与直线 垂直，为交点，所以 ,所以 .则 ，当 且仅当时，等号成立.故 面积的最大值为2.故选C. 题型3 与面积有关的最值问题 15 8.［广西南宁2025高二期中］在平面直角坐标系为坐标原点 中，不过原点的两直线 ，的交点为，过点分别向直线， 引垂线， 垂足分别为，，则四边形 面积的最大值为( ) D A.3 B. C.5 D. 题型3 与面积有关的最值问题 16 解析 将直线的方程变形得，由得则直线过定点 ， 同理可知，直线过定点 ， 所以直线和直线的交点的坐标为，由 可知 直线，如图所示，连接 . 所以四边形为矩形，且 . 设，，则，四边形 的面积 ， 当且仅当即时，等号成立，因此，四边形 面积的最大值为 ，故选D. 题型3 与面积有关的最值问题 17 9.［山东烟台2024高二月考］已知定点与定直线，过点的直线与 交于第一象 限的点，与轴正半轴交于点，则使面积最小的直线 的方程为_______________. 题型3 与面积有关的最值问题 18 思路导引 根据题意，画出平面直角坐标系及点的位置，根据直线过点设出直线的方程，分别求出点, 的坐标，从而用代数式表示出 的面积，进而可求出最小值.注意分直线斜率存在和不存在 两种情况讨论. 题型3 与面积有关的最值问题 19 解析 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由得 即 ，又易知，所以的面积 . 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 ，令 ，得，又由消去得 . 由题知解得或 ， 此时的面积 . 题型3 与面积有关的最值问题 20 令，得，则 . 又因为，且或，即或 ，故 或，所以，故 ， 当且仅当,即 时取等号. 因为，所以使面积最小的直线的方程为，即 . 题型3 与面积有关的最值问题 21 $$