第1章 直线与圆 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 1 第一章素养检测 刷速度 2 1.［湖北黄冈2025高二期中］已知点,，若，则直线 的倾斜角 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 3 解析 由题设知，则直线 的倾斜角的取值范围为 .故选B. 4 2.已知点，点在直线上.若直线垂直于直线，则点 的 坐标是( ) C A. B. C. D. 5 解析 利用排除法.由点在直线上,排除A,B.由 ,排除D.故选C. 6 3.已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是， ，则这个圆的方程 为( ) B A. B. C. D. 7 解析 由题意得，该圆的圆心为，圆的直径为，半径为 ,所以 圆的方程为，即 ，故选B. 8 4.［安徽阜阳2025高二月考］已知直线过点，且与直线及 轴围成等腰三角 形，则 的方程为( ) D A. B.或 C. D.或 9 解析 因为直线的斜率为，所以倾斜角为 . 因为直线过点，且与直线及 轴围成等腰三角形， 所以当等腰三角形的腰在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为 ，当等腰三角形的底边 在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为 ， 所以由点斜式方程可得直线的方程为或 ， 整理得直线的方程为或 .故选D. 10 5.［中国人大附中2025高二月考］若直线与直线交于点 ， 则点 到坐标原点距离的最大值为( ) B A. B. C. D. 11 解析 由直线与直线，知 ，所以两直 线垂直，又直线过定点，直线过定点 ， 所以，故交点的轨迹是以为直径的圆（去掉点 ）， 如图所示，其中圆心，半径为1，所以 的最大值为 ，此时点 存在，符合题意.故选B. 12 6.［广东东莞2025高二联考］若一束光线从点处出发，经过直线上一点 反射 后，反射光线与圆交于点，则光线从点到点 经过的最短路线长为 ( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 13 解析 由题意可知，圆的圆心为，半径 ， 设点关于直线的对称点的坐标为 ， , , 解得 即对称点，则 . 因为反射光线与圆交于点，则 ， 当且仅当,,三点共线时等号成立.又因为，所以光线从点 到点 经过的最短路线长为7.故选C. 则 14 7.已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆 的切线. 若切线长的最小值为，则直线 的斜率为( ) C A.4 B. C. D. 15 解析 由圆，得圆心，过直线 上任意一点作 圆的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线上的点的距离最小，最小值为圆心到直线 的 距离，根据题意作图，如图所示. 圆的半径为1，切线长的最小值为， 圆心到直线的距离等于 . 由点到直线的距离公式得，解得.此时直线的斜率为 .故选C. 16 8.［江西抚州2025高二月考］直线与轴、轴分别交于,两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是( ) A A. B. C. D. 17 解析 直线与轴、轴分别交于，两点， 令 ， 得，令，得，， ，则 . 点在圆上， 设 ， 点到直线 的距离 . ， ， 的面积为， 面积的 取值范围是 ．故选A． 18 多种解法 同上求得，则点到直线的距离决定了 面积的范围.设圆心为 ，，则圆心到直线的距离为.分析可得点到直线的距离减去圆 的 半径为点到直线的距离的最小值，点到直线的距离加上圆的半径为 的最大值，因此 ，即, 的面积为 .故选A. 19 9.［吉林东北师大附中2024高二期中］已知直线 ，动直线 ，则下列结论错误的是( ) AC A.不存在，使得的倾斜角为 B.对任意的，与 都有公共点 C.对任意的，与都不重合 D.对任意的，与 都不垂直 20 解析 对于A，存在，使得的方程为，其倾斜角为 ，选项A错误； 对于B，直线过点 ，直线 过定点 ，选项B正确； 对于C，当时，直线的方程为，即，与 重合，选项C错误； 对于D，若两直线垂直，则，方程无解，故对任意的，与 都不垂 直，选项D正确.故选 . 21 10.［陕西汉中2025高二期中］若点在圆上，点 在圆 上，则下列说法正确的有( ) BC A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C.两个圆心所在直线的斜率为 D.两个圆的相交弦所在直线的方程为 22 解析 根据题意，圆，其圆心，半径 . 圆，即，其圆心，半径 . 圆心距,两圆外离，则的最小值为 ，最大值为 ，故A错误，B正确. 对于C，已知圆心，圆心，则两个圆心所在直线的斜率 ，C正确. 对于D，因为两圆外离，所以不存在相交弦，D错误.故选 . 23 11.［广西部分名校2025高二联考］古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名， 他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆，后来，人们 将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，，点满足，设点所构成的曲线为 ，则下列结论正确的是( ) ABD A.的方程为 B.在上存在点，使得点到点 的距离为3 C.在上存在点，使得 D.上的点到直线 的最小距离为1 24 解析 对于A，设点，由，， ， 可得 ，两边同时平方可得 ， 整理得 ，故A正确； 对于B，圆的圆心，半径 ， 点到圆心的距离 ， 圆上一点到点的距离的取值范围为 ，而 ，故在上存在点，使得点到点 的距离为3，故B正确； 25 对于C，设点，， ，整理得 ， 点的轨迹方程为，是以为圆心，半径 的 圆，又，则两圆内含，没有公共点， 在上不存在点 ，使得 ，故C不正确； 对于D,由点到直线的距离公式，可得圆心到直线 的距离 ， 圆上的点到直线的最小距离为 ，故D 正确.故选 . 26 12.［天津西青区2025高二月考］已知直线恒过点，为坐标原点，则点 的坐标为______;当点到直线的距离最大时，直线 的方程为_______________. 解析 由，得 ， 令解得所以直线恒过定点 . 当点到直线的距离最大时，直线与垂直，因为，所以直线的斜率 ，所以其 方程为，即 . 27 13.［江苏常州2025高二期中］在平面直角坐标系中，已知点，，点 为圆 上任意一点，记和的面积分别为和，则 的最小值是________. 解析 , 显然，当与圆相切且切点在 轴上方时，比值最小. 在中，， ， ，结合， 两点坐标， 易知 ， ， . 28 14.著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为,, 的三个圆两两外切，同 时又都与半径为的圆外切，则 .已知 ，,，若圆,,两两外切，且都与圆外切，其中圆, 的半径相等， 则圆 的标准方程为_ ________________. 解析 设圆,,,的半径分别为,,, ， 由题意可得 解得 29 又因为 ，即 ，解得 . 由，可知点在线段的垂直平分线上，即轴上，设 ，则由题意可 得解得，即圆的圆心,，半径，所以圆 的标准 方程为 . 30 15.（本小题满分13分）［河南郑州外国语学校2025高二期中］已知直线 的方程为 ，若直线在轴上的截距为，且 . （1）求直线和 的交点坐标； 【解】因为直线的方程为，所以斜率为.若直线在轴上的截距为 ，且 ，则直线的斜率为1，故直线的方程为.由得 故直线 和的交点坐标为 . 31 （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线 的方程. [答案] 由（1）知直线与的交点为，由题意知直线 的斜率存在且不为0，设为 ，则直线的方程为，与两坐标轴的交点分别为， ， 且，，则.因为直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ，所 以，解得或，故直线的方程为 或 ，即直线的方程为或 . 32 16.（本小题满分15分）［浙江宁波2024高二期中］已知圆的圆心为，且圆 ________.在 下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答. ①与直线 相切； ②与圆 相外切； ③经过直线与直线 的交点. （1）求圆 的方程. 33 【解】设圆的半径为 . 若选条件①，圆与直线 相切， 则圆心到直线的距离是圆的半径，即，所以圆 的方程为 . 若选条件②，圆与圆相外切，圆的圆心为 ，半径为2， 所以，所以，所以圆的方程为 . 若选条件③，圆经过直线与直线 的交点， 由得所以 ， 所以圆的方程为 . 34 （2）圆，是否存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2?若 存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 圆的圆心为，半径为 ， 两个圆有公共弦，则，即，解得 . 由得,两圆公共弦所在直线的方程为 , 又两圆的公共弦长为2，则圆心 到公共弦所在直线的距离 ，且，解得或 ， 又，所以 .经检验符合题意. 故存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2. 35 17.（本小题满分15分）［四川德阳2025高二期中］已知圆关于轴对称，圆心在直线 上，与 轴相交的弦长为4. （1）求圆 的方程； 【解】因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上，又圆心在直线 上， 所以圆心为直线与轴的交点，即 . 又因为圆与轴相交的弦长为4，所以，则圆的方程为 . 36 （2）若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求 的最 大值和最小值. [答案] 设动点，因为动点与两个定点， 的距离之比为2， 所以，所以 , 化简得，圆心为，半径 ， 由（1）知圆的方程为，所以圆心，半径 . 两圆心的圆心距 ，所以两圆外离， 如图，的最大值为 ， 最小值为 . 37 18.（本小题满分17分）［广西南宁2025高二期中］为了保证我国东海油气田海域 海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西 方向 处设立观测点 ，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过,, 三点的圆以及其内 部区域为安全预警区.如图所示，以为坐标原点，的正东方向为 轴正方向，建 立平面直角坐标系. （1）试写出,的坐标，并求两个观测点, 之间的距离. 【解】由题意知，，， ， ，， . 38 （2）试求经过,, 三点的圆的标准方程. [答案] 设经过,,三点的圆的方程为 ， 解得 所求圆的一般方程为 ， 则经过,,三点的圆的标准方程为 . 39 （3）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以 的速度沿北 偏东 方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由； 如果进入，那么它在安全预警区内会行驶多长时间？ [答案] 由题意知，则轮船航行所在直线的方程为，即 . 由（2）知，经过,,三点的圆的圆心为，半径 ， 圆心到直线的距离 ， 直线与圆 相交，即轮船会进入 安全预警区. 设直线与圆的交点为,，则 ， 则轮船在安全预警区内会行驶 . 40 19.（本小题满分17分）［湖北多校2025高二联考］在平面直角坐标系中，已知圆 经过原点和点 ，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为 . （1）求圆 的标准方程； 【解】设圆的标准方程为 ， 由已知可得 解得 所以圆的标准方程为 . 41 （2）设为圆的动弦，且不经过点，记，分别为弦， 的斜率. ①若，求 面积的最大值. [答案] 由（1）知，因为，所以 ， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且 ， 设，，则，又，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 . 42 ②若，请判断动弦 是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. [答案] 由已知得,直线 的斜率必存在， 设直线的方程为，， ， 由消去并化简得 ， 易知，，， 又 ， 即，把 代入得， ，即，解得或 . 当时，此时直线的方程为，过定点 ，不符合要求，舍去； 当时，此时直线的方程为，过定点 ，符合要求. 故当时，动弦过定点 . 43 $$