3.4 方差（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 3.4 方差 第三章 数据的集中趋势 和离散程度 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解极差的概念，掌握极差的计算公式 理解方差（标准差）的概念， 掌握方差（标准差）的计算公式 知识回顾 当一组数据具有以下特征时，通常用什么来描述这组数据的集中程度： ( 1 ) 当一组数据中所有数据的大小差异不大时； ( 2 ) 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时； ( 3 ) 当一组数据中有较多的重复数据时。 平均数 中位数 众数 解：在实际生产、生活中，我们不仅需要描述一组数据的集中趋势，而且还需要描述一组数据的离散程度。 新知探究 问 题 1. 若某天最高气温是5℃，最低气温是-3℃，则这天的日温差记作多少？ 解：5 - ( -3 ) = 8，故这天的日温差为8℃。 极差 新知探究 问 题 2. 乒乓球的标准直径为40mm。质检部门抽取了A厂生产的10只乒乓球，对其直径进行检测，结果如下 ( 单位：mm )： 40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1。 求这10只乒乓球中直径最大值与最小值的差。 解：最大值为40.2mm，最小值为39.8mm， 最大值与最小值的差为40.2 - 39.8 = 0.4 ( mm )。 极差 新知探究 极差： 一组数据中最大值与最小值的差，叫做这组数据的极差。 极差反映了一组数据的变化范围， 在一定程度上描述了这组数据的离散程度。 知识要点 典例分析 典例1 若一组数据-1，0，2，4，x的极差为6，则x的值是（　　） A．-2 B．2或-5 C．5 D．5或-2 解：① 当x为最大值时，x - ( -1 ) = 6，解得：x = 5； ② 当x为最小值时，4 - x = 6，解得：x = -2。 D 方法技巧 解题关键： 极差为最大值与最小值的差，若数据中含有未知数， 需分类讨论。 新知探究 尝 试 质检部门又抽取了B厂生产的10只乒乓球，对其直径进行检测，结果如下 ( 单位：mm )： 40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，40.1，39.9，40.2，39.8，40.0。 ( 1 ) 求这组数据的极差，并与抽取的A厂生产的乒乓球直径的极差0.4mm对比，你发现了什么？ 解：∵B厂：最大值为40.2mm，最小值为39.8mm， 极差为40.2 - 39.8 = 0.4 ( mm )， ∴抽取的B厂生产的乒乓球直径的极差 和抽取的A厂生产的乒乓球直径的极差相同。 新知探究 尝 试 ( 2 ) 在极差相同的情况下，怎样比较这两组数据的离散程度呢？ 解：将上面的两组数据绘制成下图： 由图可知：抽取的A厂生产的乒乓球直径的离散程度小。 新知探究 尝 试 ( 3 ) 上图直观地反映了这两组数据的离散程度，怎样用数量来描述这两组数据的离散程度呢？ 解：①看各组数据中每个数据与其平均数的偏离程度： A. 分别计算这两组数据的平均数， B. 再计算各组数据中每个数据与其平均数的差； 新知探究 尝 试 ( 3 ) 上图直观地反映了这两组数据的离散程度，怎样用数量来描述这两组数据的离散程度呢？ ② 再将每组数据中每个数据的偏离程度取平均数： 计算这些“差”的绝对值的平均数，或计算这些“差”的平方的平均数。 “差”的平方能更好地拉开两组数据的偏离程度的差异 新知探究 方差： 用一组数据x1、x2、…、xn与它们的平均数的差的平方的平均数， 即s² = 来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大； 一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 知识要点 描述一组数据的离散程度，可以采用多种方法。 在统计中，常采用下面的方法： 新知探究 下面我们计算所抽取的A、B两厂生产的乒乓球直径的方差： 解：A = = 40 ( mm )， s2A = = 0.012 ( mm2 )， B = = 40 ( mm )， s2B = = 0.02 ( mm2 )。 ∵s2A < s2B， ∴可以推断A厂生产的乒乓球直径的离散程度较小， A厂生产的乒乓球质量比较稳定。 注意单位 新知探究 标准差： 在统计中，也用方差的算术平方根， 即s = 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 标准差的单位与原始数据的单位相同。 知识要点 方差较为精准地反映一组数据相对于平均数的平均偏差， 是一个被广泛用来描述数据离散程度的量。 但方差以原始数据的单位的平方作为单位，所以： 新知探究 同样地，一组数据的标准差越大，说明这组数据的离散程度越大； 一组数据的标准差越小，说明这组数据的离散程度越小。 知识要点 新知探究 下面我们计算所抽取的A、B两厂生产的乒乓球直径的标准差： 解：sA = ≈ 0.1095 ( mm )， sB = ≈ 0.1414 ( mm )。 注意单位 典例分析 典例2 对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．方差是4 C．平均数是5 D．中位数是4.5 解：平均数是( 2 + 3 + 6 + 9 + 3 + 7 ) ÷ 6 = 5； 把这组数据从小到大排列为：2，3，3，6，7，9，中位数是 = 4.5； 众数是3； 方差s2 = = 。 B 方法技巧 解题关键： 套方差公式。 新知探究 知识要点 集中趋势 平均数 算术平均数 = 加权平均数 x1· + x2· + + xn· 中位数 数据的个数是奇数 中间位置的数 数据的个数是偶数 中间位置的两个数的平均数 众数 出现次数最多 离散程度 极差 max - min 方差 s² = 标准差 s = 题型探究 求方差 题型一 【例1】已知数据x1，x2，x3，x4的方差是4， 那么数据x1 + 2，x2 + 2，x3 + 2，x4 + 2的方差为________。 解：设x1，x2，x3，x4的平均数为，方差为s21， 则x1 + 2，x2 + 2，x3 + 2，x4 + 2的平均数为 + 2，方差为s22， ∵x1，x2，x3，x4的方差是4， ∴s21 = = 4， ∴s22 = = = 4。 4 方差不变 题型探究 【例2】已知数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是5， 那么数据3x1 - 2，3x2 - 2，3x3 - 2，3x4 - 2，3x5 - 2的方差为________。 解：设x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，方差为s21， 则3x1 - 2，3x2 - 2，3x3 - 2，3x4 - 2，3x5 - 2的平均数为3 - 2，方差为s22， ∵x1，x2，x3，x4，x5的方差是5， ∴s21 = = 5， 求方差 题型一 题型探究 【例2】已知数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是5， 那么数据3x1 - 2，3x2 - 2，3x3 - 2，3x4 - 2，3x5 - 2的方差为________。 45 求方差 题型一 ∴s22 = = = 32 × = 9 × 5 = 45。 题型探究 求方差 题型一 方法技巧 特定题型小结论： 已知数据x1，x2，x3，…，xn的方差是m，那么数据ax1 + b，ax2 + b，ax3 + b，…，axn + b的方差为a2m。 题型探究 根据方差公式确定数据 题型二 【例3】白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下： s2 = ，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法 错误的是（　　） A．中位数是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．方差是 D 解：平均数是 ( 3 + 4 + 4 + 5 ) ÷ 4 = 4， 这组数据按照从小到大排列是：3、4、4、5，中位数是4， 众数是4， 方差s2 = = 。 题型探究 根据方差判断稳定性 题型三 【例4】甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：s2甲 = 2.1，s2乙 = 3.5，s2丙 = 9，s2丁 = 0.7，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解：∵0.7 < 2.1 < 3.5 < 9， ∴s2丁 < s2甲 < s2乙 < s2丙。 D 课堂小结 极差： 一组数据中最大值与最小值的差，叫做这组数据的极差。 极差反映了一组数据的变化范围，在一定程度上描述了这组数据的离散程度。 方差： 用一组数据x1、x2、…、xn与它们的平均数的差的平方的平均数， 即s² = 来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大； 一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 课堂小结 标准差： 在统计中，也用方差的算术平方根，即s = 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 同样地，一组数据的标准差越大，说明这组数据的离散程度越大； 一组数据的标准差越小，说明这组数据的离散程度越小。 课堂小结 感谢聆听! $$