第二十五章概率初步单元练习2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十五章 概率初步 单元练习 一、单选题 1．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数n是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形．任意旋转这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 3．下列成语描述的事件属于随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 4．临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 5．小福每天早上七点在站台等候搭乘公共汽车，他把每天等待上车的时间整理如下： 等候次数 10 20 50 100 200 300 等待上车的时间少于的次数 5 13 38 79 162 240 等待上车的时间少于的频率 0.50 0.65 0.76 0.79 0.81 0.80 小福再等一次公共汽车，等待上车的时间少于概率是（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 6．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 7．盒子里有8个黄球，5个红球，每次摸出1个球(不放回)，至少摸（   ）次一定会摸到红球． A．8 B．5 C．9 D．6 8．儿童节，乐乐的爸爸买了一个如图所示的圆形飞镖盘（飞镖盘被平均分成8个大小相同的扇形），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 9．数学课上，张老师与同学们做“用频率估计概率”的试验．不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 10．向上抛掷质地均匀的骰子（如图），落地时向上的面点数为（的可能取值为1，2，3，4，5和6），则关于的不等式有不大于2的整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 11．小王和小李两人只有一张电影票，两人想通过摸球的方式来决定谁去看电影，规则如下：第一个盒子内装入标有数字1，2，3，4的四个完全相同的小球，第二个盒子内装入标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． (1)用树状图或列表法求出小王去的概率； (2)小李说这种规则不公平，因此将规则做了如下调整：如果数字之和小于6得分，不小于6得分，、满足什么关系时，才能确保规则公平？ 12．某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据统计图（如图）的信息回答下列问题： (1)本次调查的学生总数为______人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是______小时； (2)补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是______； (3)若学校需要从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，请用画树状图法或列表法，求恰好是一男一女的概率． 13．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)频数分布直方图中______，所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 14．一个不透明的口袋内装有红球和蓝球共5个，它们除颜色外完全相同． (1)小知想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验．下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（） 100 200 400 500 600 1000 取出红色球的次数（） 42 88 166 200 246 402 取出红色球的频率 0.43 0.44 0.415 0.4 0.41 0.402 由表格中的信息可得：口袋中有________个红球； (2)从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率（蓝色和红色可配成紫色）． 15．为了提高同学们的文学鉴赏能力，某读书社全体成员在一段时间内开展阅读经典名著活动，活动结束后，把结果进行统计并制成如图1和图2所示的条形统计图和不完整的扇形统计图． (1)该读书社一共有_____名成员，“2本”所在扇形的圆心角度数是_____； (2)若阅读1本经典名著的成员中，有两名是女同学，一名是男同学，从中任意抽取两名同学，求恰好抽到的同学均为女同学的概率； (3)若在同一时间段内，读书社之外某同学阅读经典名著本，把与读书社全体成员阅读经典名著本数的数据组成一组新的数据，发现平均数增大了，则的值至少为多少？ 三、填空题 16．掷一枚正六面体骰子，点数 4 朝上的概率是 17．一个不透明的袋子中装有4张一模一样的卡片，上面分别写着数字3、4、5、6，从袋中随机摸出两张卡片，那么摸到两张卡片上写的数字之和为偶数的概率是 ． 18．排队时，小亮和2位同学站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性 小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 19．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 20．一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个与红球除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章 概率初步 单元练习2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D D C D B A 1．C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握利用频率估计概率． 根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，再根据概率公式计算n的值． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率． 【详解】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占1份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了事件的分类，熟悉定义是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； B、画饼充饥是不可能事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； C、守株待兔属于随机事件，故该选项符合题意； D、竹篮打水是不可能事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在，由此即可得解． 【详解】解：由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在， 故这批石榴树移栽成活的概率约为， 故选：B ． 5．D 【分析】本题考查的是用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，观察表格中试验次数与对应频率的变化趋势，随着次数增加，频率逐渐趋近于，即可得出结论． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐接近其概率， 试验次数分别为10、20、50、100、200、300时，对应频率依次为0.50、0.65、0.76、0.79、0.81、0.80， 当试验次数从200增加到300时，频率从0.81略微下降到0.80，但整体波动较小，表明频率趋于稳定， 最大试验次数（300次）对应的频率0.80最接近真实概率， 故选：D． 6．D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 7．C 【分析】此题考查事假发生的可能性大小，考虑最不利情况，即先摸出所有黄球后再摸一个必为红球 【详解】解：盒中有8个黄球和5个红球，最不利情况下，前8次均摸到黄球，此时黄球已全部摸完，剩余均为红球， 因此第9次摸球必定为红球， 至少需摸次， 故选C 8．D 【分析】本题考查了几何概率．熟练掌握几何概率是解题的关键．根据阴影部分的面积占圆面积的即可求解． 【详解】解：由题意知，阴影部分的面积占圆面积的， ∴恰好扎中阴影区域的概率是， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键． 利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可． 【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 故，，，， 根据图象，得该球频率稳定在， 故其概率约为． 即则该球的颜色最有可能是红球 故选：B 10．A 【分析】将为1，2，3，4，5和6分别代入不等式中求出对应不等式的解集，判断是否有不大于2的整数解即可； 【详解】当时，不等式变为：， 解得该不等式的解为：，没有不大于2的整数解，不符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为： ，没有不大于2的整数解，不符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合； 当时，不等式变为： 解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合； 综上，取值为3，4，5，6时满足要求，故概率为：， 答案为：； 【点睛】本题考查了概率计算以及不等式解答，熟练掌握不等式解法是解答该题的关键 11．(1) (2) 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可； （2）根据（1）的结论，要使得游戏公平，则两种情况的得分一样，据此，即可求解． 【详解】（1）解：列表如下 和 共有12种等可能结果，其中和小于6的有9种， 故小王去的概率为； （2）解：∵数字之和小于6的有9种，不小于6的有种， 要使得游戏公平，要得分相等，则， 即． 12．(1)； (2)补图见解析， (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． （1）用阅读时间为小时的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后根据中位数的定义求解； （2）先利用阅读时间为小时的男生人数补全条形统计图，然后用乘以阅读时间为小时的人数所占的百分比得到课外阅读时间为小时的扇形的圆心角度数； （3）用列表法展示所有种等可能的结果数，找出恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次调查的学生总数为(人)。 将被调查的名学生的课外阅读时间按照从小到大的顺序排列，排在第和名的时间为小时、小时， ∴被调查学生的课外阅读时间的中位数是小时， 故答案为: ;． （2）解：课外阅读时间为小时的男生人数为人， 补全条形统计图如图所示. 在扇形统计图中，课外阅读时间为小时的扇形的圆心角度数是， 故答案为：． （3）解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为8， 所以恰好是一男一女的概率为． 13．(1)60；D；补全学生成绩频数分布直方图见解答 (2)1680人 (3) 【分析】 本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、中位数、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 用频数分布直方图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比可得抽取的学生人数，用抽取的学生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得m的值；根据中位数的定义可得答案；求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可． 根据用样本估计总体，用3000乘以样本中D，E组的人数所占的百分比之和，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1） 解：由题意得，抽取的学生人数为（人）， 将抽取的400名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第200和201名的成绩均落在D组， 所抽取学生成绩的中位数落在D组． E组的人数为人， 补全学生成绩频数分布直方图如图所示． 故答案为：60；D； （2）解： （人） 答：估计该校成绩优秀的学生约有1680人； （3）解：列表如下： 男 男 女 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种， 抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 14．(1)2 (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，也考查了利用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键． （1）根据频率估计概率可得摸到红球的概率，再用球的总个数乘以红球的概率即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当实验次数足够多时，取出红色球的频率为， ∴红球个数为， 故答案为：2； （2）解：将2个红球分别记为“红1”、“红2”，3个蓝球分别记为“蓝1”、“蓝2”、“蓝3” 是否为紫色 红1 红2 蓝1 蓝2 蓝3 红1 否 是 是 是 红2 否 是 是 是 蓝1 是 是 否 否 蓝2 是 是 否 否 蓝3 是 是 否 否 共有20种等可能的结果，其中“配成紫色”有12种 ∴（配成紫色） 15．(1)， (2) (3)4 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，理解题意，根据两个统计图获取相关信息是解题关键． （1）根据条形统计图得出总人数，再由条形统计图和扇形统计图求角度即可； （2）利用表格或树状图得出所有可能结果，然后求概率即可； （3）先求出原先的平均数，然后根据题意即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：成员总数为：， ， 故答案为：，； （2）将两名女同学分别记为女1、女2，列表如下： 男 女1 女2 男 − （男，女1） （男，女2） 女1 （女1，男） − （女1，女2） 女2 （女2，男） （女2，女1） − 一共有6种等可能的结果，其中均为女同学的结果有2种， ． （3）读书社全体成员阅读经典名著本数的平均数为 添加一个后，平均数增大了， ． 又是正整数， 的值至少为4． 16． 【分析】根据简单地概率公式列出分式方程解答即可； 本题考查了简单地概率公式，正确计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点数 4 朝上的概率是， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球上所标数字之和为偶数的情况数即可求出其概率． 【详解】解：画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球上所标数字之和为偶数的情况数为4， ∴摸到两张卡片上写的数字之和为偶数的概率是， 故答案为：． 18．小于 【分析】本题主要考查了事件可能性大小的判断，掌握概率的计算公式是解题的关键； 用字母A，B，C分别表示小亮和他的2位同学，列举出3人站成一横排的所有可能结果， 再求“小亮站在正中间”与“小亮站在两端”这两个事件的概率，根据二者的概率大小即可判断． 【详解】用字母A，B，C分别表示小亮和他的2位同学，则他们3人站成一横排的有6种等可能性，列举如下： 、、、、、． 其中小亮“站在中间”有2种可能，其概率为， 小亮“站在两边”有4种可能，其概率为， ， 其中小亮“站在中间”的可能性小于小亮“站在两边”的可能性． 故答案为：小于． 19． 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 根据利用频率估计概率得到随试验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为． 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当试验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是． 故答案为：． 20．17 【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 【详解】解：设红球的个数为x个，根据题意得： ∴ 解得：， 经检验是原方程的解， 则红球的个数为17个． 故答案为：17． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$