精品解析：四川省乐山市市中区乐山市嘉州学校（中央民族大学附属中学乐山共美实验学校）2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

乐山市嘉州学校2024-2025学年下期九年级学月数学检测 本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数，，0，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（　　） A. 5.035×10﹣6 B. 50.35×10﹣5 C. 5.035×106 D. 5.035×10﹣5 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( ) A. 直线x＝1 B. 直线x＝－1 C 直线x＝－2 D. 直线x＝2 5. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A B. C. D. 6. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是 A. B. C. D. 7. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（　　） A. π B. C. 2π D. 3π 9. 函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4＜x＜2 C. x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 10. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 注意事项 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________． 12. 分解因式：_____________． 13. 若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为______． 14. 若一个圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为_____． 16. 二次函数(a、b、c实常数，且a≠0)的函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … -1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程的负实数根在和0之间；④P1(t-1，y1)和P2(t+1，y2)在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是___________． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 如图，在中，弦的延长线交于点P，且．求证：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 频率分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A B C D E 合计 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，________、________： （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． 22. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 23. 抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线解析式； （2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积. 24. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接． （1）求证：为的切线； （2）筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到，参考值：）． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 26. 如图1，抛物线交轴于A、B两点(点A位于点B的左侧)，交y轴于点C．直线交y轴于点E，交抛物线于A、D两点． P为直线下方抛物线上一动点，点M、点N为直线上的两个动点． （1）求S△ACD； （2）如图2，当PMy轴时，求PM+PN的最大值及对应的点P的坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线AD平移一定的距离得到新的抛物线，使得新抛物线过点D，点F为新抛物线的顶点，点G为抛物线上的一动点．当以F、G、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市嘉州学校2024-2025学年下期九年级学月数学检测 本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数，，0，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：在实数，，0，中， ，为正数大于0， 为负数小于0， 最小的数是：． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数比较大小，解题的关键是：根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，可以直接判断出来． 2. 某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（　　） A. 5.035×10﹣6 B. 50.35×10﹣5 C. 5.035×106 D. 5.035×10﹣5 【答案】A 【解析】 【详解】0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6， 故选A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 抛物线y＝x2＋2x＋3对称轴是( ) A. 直线x＝1 B. 直线x＝－1 C. 直线x＝－2 D. 直线x＝2 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式：计算即可． 【详解】解：抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是直线 故选B． 【点睛】此题考查的是求抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴公式是解决此题的关键． 5. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键． 6. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0，∴b＞0, 一次函数的图象有四种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限, ∴由函数y=ax+b的a＜0，，故它的图象经过第一、二、四象限,故选C. 7. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得的纵坐标为，代入求得的解析式即可求得的坐标，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的顶点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线为， ∵点， ∴点， ∴， ∵绕点顺时针旋转，得到， ∴点点在y轴上，且， ∴， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标为， 令，得， 解得：， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为：， 故选：． 8. 如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（　　） A. π B. C. 2π D. 3π 【答案】C 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD＋∠A＝180°， ∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD， ∴2∠A＋∠A＝180°， 解得：∠A＝60°， ∴∠BOD＝120°， ∴弧BD的长＝＝2π； 故选C． 【点睛】本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD＝120°是解决问题的关键． 9. 函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4＜x＜2 C. x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】抛物线y=ax2+2ax+m对称轴为直线x=-=-1， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜-4或x＞2时，y＜0． 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明，利用相似比得到，所以，然后在中利用正弦定义计算出的长． 【详解】连接，如图， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”是解题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 注意事项 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案：为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 12. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式．直接提取公因式5分解因式得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点的横纵坐标的积相等，等于反比例函数的系数解答． 【详解】解：点、在同一个反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象上点的横纵坐标的积都等于反比例函数的系数，是解决本题的关键． 14. 若一个圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可 【详解】∵圆锥的底面圆的周长是， ∴圆锥的侧面扇形的弧长为 cm， ， 解得： 故答案为． 【点睛】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长，然后根据S阴=S半-S△ABO求解即可. 【详解】连接， ∵， ∴是直径， 根据同弧对的圆周角相等得， ∵， ∴，，即圆的半径为2， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键. 16. 二次函数(a、b、c实常数，且a≠0)的函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … -1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程的负实数根在和0之间；④P1(t-1，y1)和P2(t+1，y2)在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是___________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】①将点(0，2)与点(1，2)代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断； ②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合时，对应的函数值y<0，即可表示出m+n的取值范围； ③根据点(1，2)与当时，对应的函数值y<0可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围； ④分类讨论，当P1在抛物线的右侧时，P1的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有y1＞y2，求出对应的t即可；当P1与P2在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当P1的横坐标到对称轴的距离小于P2到对称轴的距离时满足y1＞y2，求出对应的t即可． 【详解】①将点(0，2)与点(1，2)代入解析式得：， ∴， ∴abc<0，故①错误； ②由①得二次函数解析式为 将点(-1，m)与点(2，n)分别代入解析式得： ∴m=n=2a+2， ∴m+n=4a+4． ∵当时，对应的函数值y<0， ∴， 解得：， ∴，故②正确； ③∵函数过点(1，2)且当时，对应的函数值y<0， ∴方程的正实数根在1和 之间， ∵抛物线过点(0，2)与点(1，2)， ∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线， ∴结合抛物线的对称性可得关于x的方程的负实数根在和0之间，故③正确； ④∵函数过点(1，2)且当时，对应的函数值y<0， ∴可以判断抛物线开口向下， 当P1在抛物线的右侧时，P2恒在抛物线的右侧，此时恒成立， ∴P1的横坐标大于等于对称轴对应的x，即t−1≥， 解得：t≥ 即t≥时，； 当P1与P2在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当P1的横坐标到对称轴的距离小于P2到对称轴的距离时满足，即当时，满足， ∴解得， 即时，． ∴综上当时，，故④错误． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识．先计算出各式的值，然后进行求和，即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据各不等式的解集确定不等式组的解集成为解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 19. 如图，在中，弦的延长线交于点P，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质．由等腰的性质判定；根据圆周角定理可以推知，则，由“等角对等边”证得结论． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分母有理化、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入运用分母有理化计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 21. 某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 频率分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A B C D E 合计 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，________、________： （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． 【答案】（1）0.26,50；（2）见解析；（3）估计该季度被评为“优秀员工”的人数为名． 【解析】 【分析】（1）根据频率与频数之间的关系，求样本总数，再求. （2）根据频率与频数之间的关系，求频数，补齐频数分布直方图. （3）销量不低于件的销售人员个数即为 组和组频数之和. 【详解】（1）根据频率与频数之间的关系，样本总数，=. （2）=23，频数分布直方图如图所示： （3）销量不低于件的销售人员个数即为 组和组频率之和为，则估计该季度被评为“优秀员工”的人数为（名）. 【点睛】本题考查频数与频率的概念及计算公式. 22. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润2640元． 【解析】 【分析】（1）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式； （2）借助（1）中的解析式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 每本进价40元，且获利不高于， 即最高价为52元，即， 故：， ， 【小问2详解】 解：， 当时，随的增大而增大， 而，所以当时，有最大值，最大值为2640， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得利润元最大，最大利润2640元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 23. 抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用割补法求△ABC的面积. 【详解】（1）抛物线经过、 由上两式解得 抛物线的解析式为：； （2）由（1）抛物线对称轴为直线 把代入，得 则点坐标为， 设线段所在直线为： 解得解析式为： 线段所在直线经过点、 抛物线的对称轴于直线交于点 设点的坐标为 将点代入，解得 点坐标为， 过点作于点 【点睛】本题考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积，解答时注意数形结合. 24. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接． （1）求证：为的切线； （2）筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到，参考值：）． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接 并延长交 于，根据为的直径可以得到 ，继而得到 ，根据可证，可以得到，利用等量代换即可证明为的切线； （2）根据，解出 ，根据 为的直径得到 ，进而得出，，又根据 得出，故可得到 ，过作交于，交PQ于E，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长，进而求出最大深度． 【小问1详解】 证明：连接 并延长交 于，连接BM， 为的直径， ， ， ， ， 又∵∠D=∠D， ， ， 又， ， ， 为的切线； 【小问2详解】 解：如图所示， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过作交于，交PQ于E， 为等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判断，等腰三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握公式定理并且灵活应用是解题的关键． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）设，相交于点M，证明，利用全等三角形性质即可解题； （2）设与交于点G，利用矩形和垂直的性质证明，得到，即可解题； （3）过点C作交的延长线于点H，得到四边形为矩形，利用矩形和垂直的性质证明，利用相似三角形性质即可证明； （4）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，证明，得到，利用锐角三角函数得到，设，则，利用勾股定理建立等式求出的值，得到，，利用等面积法求得，即可解题． 【详解】（1）解：如图1，设，相交于点M， ， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， 即， 故答案为： ； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 即； （4）如图4所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形性质和判定，矩形的性质，相似三角形性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，翻折的性质，等面积法，解题的关键是作辅助线构造相似三角形． 26. 如图1，抛物线交轴于A、B两点(点A位于点B的左侧)，交y轴于点C．直线交y轴于点E，交抛物线于A、D两点． P为直线下方抛物线上一动点，点M、点N为直线上的两个动点． （1）求S△ACD； （2）如图2，当PMy轴时，求PM+PN的最大值及对应的点P的坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线AD平移一定的距离得到新的抛物线，使得新抛物线过点D，点F为新抛物线的顶点，点G为抛物线上的一动点．当以F、G、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 【答案】（1）；（2）当，即时，PM+PN的最大值；（3）， 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线解析式，求坐标，再代入直线求，直线解析式与抛物线解析式联立，求出交点坐标，根据坐标的特点即可求． （2）先证得，即可得，那么，通过设，可得即可知当，即时，PM+PN的最大值． （3）先求原抛物线的顶点为，原抛物线上的点A移动到了点D，，当以F,G,M,N为顶点的四边形为平行四边形时，G与F到l的距离相等，再分在下方，与在上方，两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）如图，连接AC，CD 抛物线解析式： ∴ ∵直线经过点A ∴将点A坐标代入直线,得 ∴直线 ∴，解得 将代入，得 ∴ ∴轴 ∴． （2）∵直线 ∴ ∵轴，轴 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∴当，即时，PM+PN的最大值． （3）原抛物线的对称轴为 ∴原顶点为，原抛物线上的点A移动到了点D，即向右移动3个单位，向下移动2个单位 ∴ ∵以F,G,M,N为顶点的四边形为平行四边形 ∴G与F到l的距离相等 情况一：过点F作，交原抛物线于，设为 将代入，得： ∴：，过点C ∴与原抛物线交点为 情况二：在上方作，交y轴于点H,使到的距离等于到的距离 ∴ ∴ ∴为与联立得： ∴与原抛物线交点为 综上所述，符合条件的G点坐标有，． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合性题目，此外还涉及二元一次方程的极值问题，本题解题管家是利用数形结合法，找到函数图像之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $