专题5 14.2全等三角形的判定7种题型举一反三训练2025-2026学年八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练（人教版）

专题5 14.2全等三角形的判定7种题型举一反三训练 题型一 添加条件判定三角形全等 【典例1】（2023秋•东莞市期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．BC＝EF C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE 【举一反三】 1．（2025春•沈阳期中）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE与△ACD全等的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．∠AEB＝∠ADC 2．（2025春•建平县月考）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 3．（2025春•达川区月考）如图，∠ABC＝∠DCB，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠A＝∠D，④∠ACB＝∠DBC，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（2025春•宝丰县期末）如图，点F、A、D、C在同一直线上，FA＝DC，AB∥DE，添加一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．BC∥EF B．AB＝DE C．BC＝EF D．∠B＝∠E 题型二 利用三角形全等说明线段相等 【典例2】（2023•张店区自主招生）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE． 求证：AC＝CD． 【举一反三】 1．（2025•乐山）如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE．求证：AB＝DC． 2．（2024春•碑林区月考）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，问AE与DB的数量关系如何？并说明理由． 题型三 全等三角形的判定与性质综合运用 【典例3】（2024春•振兴区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连结CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E （1）求证：△BCE≌△CAD； （2）已知BE＝7，AD＝12，求ED的长． 【举一反三】 1．（2024秋•莘县期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE． （1）证明：△ADC≌△BCE； （2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积． 2．（2025春•惠济区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 3．（2025•姑苏区二模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 题型四 “倍长中线法”构造全等三角形 【典例4】（2025春•垦利区期末）【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ 　 　 ）． （2）探究得出AD的取值范围是 　 　 ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 【举一反三】 1．（2023秋•大丰区月考）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 　 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图3，△ABD和△ACE是两个等腰直角三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，CD与BE交于F．取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量和位置关系． 2．（2023秋•清河区月考）如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE＝AC，AF＝AB，求证：． 3．（2025春•齐河县月考）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图1，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，求AB的取值范围．方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE；方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明△ECD≌△ABD，并直接写出AB的取值范围； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，求证：DM⊥BM． 题型五 “截长补短法”构造全等三角形 【典例5】（2024秋•高安市期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 【举一反三】 1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D，若AD＝4，BC＝6，则AB的长为 　 ． 2．（2025春•皇姑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 3．（2024秋•大洼区期中）（1）阅读理解：在一节数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 老师提示：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．小组讨论后，小明和小刚举手发言，讲述了他们的思路： 小明：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 小刚：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在小明和小刚中任选一种思路进行证明． （2）问题解决： 如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展： 如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系． 题型六 应用全等三角形的性质解决实际问题 【典例6】（2021•龙岩模拟）小淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝25米，请根据上述信息求标语CD的长度． 【举一反三】 1．（2025春•宣汉县期末）如图，小刚站在河边的点A处，在河正对岸（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他先向正西方向走了20步到达一棵树（点C）处，接着又向前走了20步到达点D处，然后再左转90°直行35步到达点E处，此时，电线塔、树与小刚现在所处的位置在同一条直线上．若小刚走一步的长度约为0.6m，则A，B两点间的距离约为 　 　 m． 2．（2025春•历下区期中）数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影．如图2，小荷和小柳在花灯围栏旁的点B处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离． 小荷先沿AB方向走2.5米至点C，又沿着与BC垂直的方向走了3米至点D并放置了一个标记物，接着往前再走相同的距离至点E，最后从点E处向左沿着与EC垂直的方向走了一定距离至点F．此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，EF＝4米，请你帮小荷求出AB的长． 3．（2025•旬邑县模拟）西安火车站是西安铁路枢纽的主要客运站之一，在全国铁路运输网中具有极为重要的地位．如图，小华和小明对西安火车站南广场候车楼（AB）顶部，站名“西安”两字中“安”字的高度（即线段BC所代表部分）很感兴趣，想知道其具体高度．小华和小明在候车楼前方的广场上正对着站名，小华在距离A点37m的D处用测角仪测得“安”字底部B的仰角为α，小明在小华前面2.3m的E处用测角仪测得“安”字的顶部C的仰角为β，并发现α与β互余．已知该火车站候车楼AB的高度为36.4m，测角仪EG，DF的高度均为1.7m，A，E，D三点共线，A，B，C三点共线，且AC⊥AD，EG⊥AD，DF⊥AD，求站名“西安”中“安”字的高度BC． 题型七 全等三角形在探究性问题中的应用 【典例7】（2024秋•邹城市期末）（1）问题：如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是14，求△ABD与△CEF的面积之和． 【举一反三】 1．（2022春•埇桥区期末）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD． （1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； （2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由； （3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论． 2．（2021春•罗湖区期末）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC＝90°，BD＝CD，DM是BC边上的中线．过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交线段BD于点F，交DM于点N，连接AF． （1）求证：△ABD≌△NCD； （2）试探索线段AF，AB和CF之间数量关系，并证明你的结论； （3）当∠BAD等于多少度时，点E恰好为AB的中点？ 3．（2022秋•肥西县期末）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO． （1）求证：AC＝BC； （2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且AD＝DE，求BC+EC的长； （3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 14.2全等三角形的判定7种题型举一反三训练 题型一 添加条件判定三角形全等 【典例1】（2023秋•东莞市期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．BC＝EF C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE 【分析】根据AF＝DC求出AC＝DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵AF＝DC， ∴AF+FC＝DC+FC， 即AC＝DF， A．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； B．BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； C．∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； D．∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 【举一反三】 1．（2025春•沈阳期中）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE与△ACD全等的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．∠AEB＝∠ADC 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由ASA判定△ABE与△ACD全等，故A不符合题意； B、∠BAE和∠CAD分别是BE和CD的对角，不能判定△ABE与△ACD全等，故B符合题意； C、由SAS判定△ABE与△ACD全等，故C不符合题意； D、由AAS判定△ABE与△ACD全等，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 2．（2025春•建平县月考）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 【分析】根据“HL”的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝AB， ∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，根据“HL”可判断Rt△ABC≌Rt△ABD． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 3．（2025春•达川区月考）如图，∠ABC＝∠DCB，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠A＝∠D，④∠ACB＝∠DBC，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①由SAS判定△ABC≌△DCB，故①符合题意； ②由OB＝OC得到∠ACB＝∠DBC，由ASA判定△ABC≌△DCB，故②符合题意； ③由AAS判△ABC≌△DCB，故③符合题意； ④由ASA判定△ABC≌△DCB，故④符合题意． ∴能证明△ABC≌△DCB的是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 4．（2025春•宝丰县期末）如图，点F、A、D、C在同一直线上，FA＝DC，AB∥DE，添加一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．BC∥EF B．AB＝DE C．BC＝EF D．∠B＝∠E 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：∵FA＝DC， ∴FD＝CA， ∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠EDF， A、由平行线的性质推出∠C＝∠F，由ASA判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意； B、由SAS判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意； C、∠BAC和∠EDF分别是BC和EF的对边，不能判定△ABC≌△DEF，故C符合题意； D、由AAS判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 题型二 利用三角形全等说明线段相等 【典例2】（2023•张店区自主招生）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE． 求证：AC＝CD． 【分析】根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论； 【详解】解：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠3+∠4＝∠4+∠5， ∴∠3＝∠5， 在△ABC和△DEC中，， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AC＝CD； 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 【举一反三】 1．（2025•乐山）如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE．求证：AB＝DC． 【分析】由SAS可证△ABE≌△DCE，可得AB＝DC． 【详解】证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（2024春•碑林区月考）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，问AE与DB的数量关系如何？并说明理由． 【分析】可利用SAS证明△ACE≌△DCB，即可求解AE与DB的关系． 【详解】解：∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACE＝∠DCB， 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝DB． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． 题型三 全等三角形的判定与性质综合运用 【典例3】（2024春•振兴区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连结CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E （1）求证：△BCE≌△CAD； （2）已知BE＝7，AD＝12，求ED的长． 【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAD； （2）由全等三角形的性质可得BE＝DC，AD＝CE，即可求解． 【详解】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA， 在△BCE和△CAD中， ， ∴△BCE≌△CAD（AAS）； （2）解：∵△BCE≌△CAD， ∴BE＝CD＝7，AD＝CE＝12， ∴ED＝CE﹣CD＝12﹣7＝5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 【举一反三】 1．（2024秋•莘县期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE． （1）证明：△ADC≌△BCE； （2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积． 【分析】（1）根据AD∥BE，可以得到∠A＝∠B，然后根据SAS即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积． 【详解】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ACD和△BEC中， ， ∴△ACD≌△BEC（SAS）； （2）解：由（1）知△ADC≌△BCE， ∴DC＝CE， 又∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE，DF＝EF， ∴CF垂直平分DE， ∵CF＝3，DF＝4． ∴DE＝2DF＝8， ∴S△DCE12， 即△DCE的面积是12． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出△ACD≌△BEC需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 2．（2025春•惠济区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【分析】（1）由AB∥DE得∠B＝∠DEF，根据BE＝CF得BC＝EF，可证明△ABC≌△DEF（SAS），根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证得结论； （2）由全等三角形的性质得到∠DEF＝65°，∠ACB＝35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC． 【详解】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得△ABC≌△DEF是解决问题的关键． 3．（2025•姑苏区二模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 【分析】（1）证出∠AED＝∠AEF，由角平分线的性质可得出结论； （2）证明Rt△ABF≌△RtACD（HL），由全等三角形的性质可得出BF＝CD＝7，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴AD⊥DE， ∵EA平分∠DEF， ∴∠AED＝∠AEF， 又∵AF⊥EF， ∴AF＝AD； （2）解：在Rt△ABF和△RtACD中， ， ∴Rt△ABF≌△RtACD（HL）， ∴BF＝CD＝7， ∵DE＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型四 “倍长中线法”构造全等三角形 【典例4】（2025春•垦利区期末）【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ 　SAS　 ）． （2）探究得出AD的取值范围是 　1＜AD＜7　 ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 【分析】（1）根据对顶角相等可得理由，再结合三角形的判定方法可得答案； （2）根据全等三角形的性质可得AC＝BE＝6，再结合三角形的三边关系可得答案； （3）延长AD交EC于点F，证明△ABD≌△FCD，根据全等性质得CF＝BA，AD＝DF，利用∠ADE＝90°，结合线段的垂直平分线的性质即可求得答案． 【详解】证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（SAS）； （2）由题意可得：AC＝BE＝6， ∴8﹣6＜AE＜8+6， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7． （3）延长AD交EC于点F，如图： ∵∠B＝90°，CE⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCF 在△ABD和△FCD中． ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴CF＝BA＝3，AD＝DF， ∴AE＝FE， ∴AE＝CE+CF＝9． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是作辅助线． 【举一反三】 1．（2023秋•大丰区月考）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　B　 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 　C　 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图3，△ABD和△ACE是两个等腰直角三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，CD与BE交于F．取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量和位置关系． 【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可； 【问题解决】延长AM至H，使MH＝AM，连接BH，由“SAS”可证△AMC≌△HMB，可得BH＝AC，∠H＝∠CAM，由“SAS”可证△DAE≌△ABH，可得DE＝AH，可得结论． 【详解】解：（1）∵在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：B； （2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：C； 【问题解决】DE＝2AM，DE⊥AM，理由如下： 如图3，延长AM至H，使MH＝AM，连接BH，延长MA交DE于G， ∵点M是BC中点， ∴BM＝MC， 又∵AM＝MH，∠AMC＝∠BMH， ∴△AMC≌△HMB（SAS）， ∴BH＝AC，∠H＝∠CAM， ∴BH＝AC＝AE， ∵∠DAE+∠BAC+∠DAB+∠CAE＝360°， ∴∠DAE+∠BAC＝180°， ∵∠BAH+∠H+∠ABH＝180°＝∠BAH+∠H+∠ABH， ∴∠ABH+∠BAC＝180°， ∴∠DAE＝∠ABH， 又∵AD＝AB，BH＝AE， ∴△DAE≌△ABH（SAS）， ∴DE＝AH，∠BAH＝∠ADE， ∴DE＝2AM． ∵∠BAH+∠DAG＝90°， ∴∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠DGA＝90°，即DE⊥AM． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2023秋•清河区月考）如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE＝AC，AF＝AB，求证：． 【分析】延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG，证明△CDG≌△BDA得到∠3＝∠B，CG＝BA，则CG∥AB，进而推出∠ACG＝∠EAF，再证明CG＝AF，进而证明△ACG≌△EAF，得到AG＝EF，即可得到． 【详解】证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG． ∵AD是△ABC的中线， ∴DC＝DB． 在△CDG和△BDA中， ， ∴△CDG≌△BDA（SAS）， ∴∠3＝∠B，CG＝BA， ∴CG∥AB， ∴∠ACG+∠BAC＝180°， ∵AE⊥AC，AF⊥AB， ∴∠CAE+∠BAF＝180° ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∴∠ACG＝∠EAF， ∵AF＝AB， ∴CG＝AF， 在△ACG和△EAF中， ， ∴△ACG≌△EAF（SAS）， ∴AG＝EF， ∵AG＝AD+DG＝2AD， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2025春•齐河县月考）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图1，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，求AB的取值范围．方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE；方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明△ECD≌△ABD，并直接写出AB的取值范围； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，求证：DM⊥BM． 【分析】方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE，根据三角形中线的定义得CD＝BD，进而依据“SAS”判定△ECD和△ABD全等得EC＝AB，根据AD＝7得AE＝14，然后根据三角形三边之间的关系得AE﹣AC＜EC＜AE+AC，则9＜EC＜19，由此可得AB的取值范围； 方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E，则∠DCE＝∠B，∠E＝∠BAD，进而依据“AAS”判定△ECD和△ABD全等得EC＝AB，同方法一可得AB的取值范围； （2）延长BM到H，使MH＝MB，连接GH，DH，BD，先依据“SAS”判定△FMH和△EMB全等得FH＝BE，∠FHM＝∠EBM，进而得FH∥BC，则∠CFH＝∠C，根据四边形内角和定理得∠A+∠C＝180°，及∠DFH+∠CFH＝180°得∠A＝∠DFH，由此依据“SAS”判定△ABD和△FHD全等得BD＝HD，然后即可得出结论． 【详解】解：方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE，如图1①所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ECD和△ABD中， ， ∴△ECD≌△ABD（SAS）， ∴EC＝AB， ∵AC＝5，AD＝7， ∴AE＝AD+DE＝2AD＝14， 在△ACE中，由三角形三边之间的关系得：AE﹣AC＜EC＜AE+AC， ∴14﹣5＜EC＜14+5， 即9＜EC＜19， ∵EC＝AB， ∴AB的取值范围是：9＜AB＜19； 方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E，如图1②所示： ∴∠DCE＝∠B，∠E＝∠BAD， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ECD和△ABD中， ， ∴△ECD≌△ABD（AAS）， ∴EC＝AB， ∵AC＝5，AD＝7， ∴AE＝AD+DE＝2AD＝14， 在△ACE中，由三角形三边之间的关系得：AE﹣AC＜EC＜AE+AC， ∴14﹣5＜EC＜14+5， 即9＜EC＜19， ∵EC＝AB， ∴AB的取值范围是：9＜AB＜19； （2）证明：延长BM到H，使MH＝MB，连接GH，DH，BD，如图2所示： ∵点M为EF的中点， ∴FM＝EM， 在△FMH和△EMB中， ， ∴△FMH≌△EMB（SAS）， ∴FH＝BE，∠FHM＝∠EBM， ∴FH∥BC， ∴∠CFH＝∠C， 在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠DFH+∠CFH＝180°， ∴∠A＝∠DFH， ∵AB＝BE，BE＝FH， ∴AB＝FH， 在△ABD和△FHD中， ， ∴△ABD≌△FHD（SAS）， ∴BD＝HD， ∵HM＝BM， ∴DM⊥BM． 【点睛】此题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，理解三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 题型五 “截长补短法”构造全等三角形 【典例5】（2024秋•高安市期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 【分析】（1）在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠DAC，利用SAS证明△ABD≌△AED，从而可得∠B＝∠AED，BD＝DE，再利用三角形外角的性质可得∠AED＝∠C+∠EDC，从而可得∠C＝∠EDC，推出DE＝CE，进而得出BD＝EC，即可得证； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF，由三角形内角和定理可得∠DAC＝30°，证明△DAC≌△FAC（SAS）得出∠AFC＝∠D＝110°，再证明△CEF≌△CEB（AAS）得出EF＝BE，求出BF＝2BE＝4，即可得解． 【详解】（1）证明：在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AD＝AD， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵AE+EC＝AC， ∴AB+BD＝AC； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF， 由题意可得： ∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝30°， ∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠FAC＝30°， ∵AC＝AC， 在△DAC和△FAC中， ， ∴△DAC≌△FAC（SAS）， ∴∠AFC＝∠D＝110°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°， ∴∠B＝∠CFE， ∵CE⊥AB， ∴∠CEF＝∠CEB＝90°， ∴CE＝CE， 在△CEF和△CEB中， ， ∴△CEF≌△CEB（AAS）， ∴EF＝BE， ∴BF＝2BE＝4， ∴AB＝AF+BF＝10+4＝14， ∴AB的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【举一反三】 1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D，若AD＝4，BC＝6，则AB的长为　10　 ． 【分析】首先在AB上截取AF＝AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB＝∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC＝BF，继而证得AD+BC＝AB． 【详解】解：在AB上截取AF＝AD， ∵AE平分∠PAB， ∴∠DAE＝∠FAE， 在△DAE和△FAE中， ， ∴△DAE≌△FAE（SAS）， ∴∠AFE＝∠ADE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE+∠C＝180°， ∵∠AFE+∠EFB＝180°， ∴∠EFB＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF＝∠EBC， 在△BEF和△BEC中， ， ∴△BEF≌△BEC（AAS）， ∴BC＝BF， ∴AB＝AF+BF＝AD+BC＝4+6＝10． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 2．（2025春•皇姑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE＝EF，AD＝CF，由于AB＝BC+AD，等量代换得到AB＝BC+CF，即AB＝BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【详解】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； 【点睛】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质．解决此类问题，前面的结论可作为后面的条件． 3．（2024秋•大洼区期中）（1）阅读理解：在一节数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 老师提示：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．小组讨论后，小明和小刚举手发言，讲述了他们的思路： 小明：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 小刚：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在小明和小刚中任选一种思路进行证明． （2）问题解决： 如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展： 如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系． 【分析】（1）小明的方法：在BC上截取BM＝BA，连接DM，证明△ABD≌△MBD（SAS），由全等三角形的性质得出∠A＝∠BMD，AD＝MD，则可得出结论； 小刚的方法：延长AB到N，使BN＝BC，连接DN，证明△NBD≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质得出∠BND＝∠C，ND＝CD，证出DN＝DA，则可得出结论； （2）延长CB到P，使BP＝BA，连接AP，证明△PAC≌△BAD（SAS），由全等三角形的性质得出PC＝BD，则可得出结论； （3）连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，证明△DFA≌△DEC（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DE，AF＝CE，证明Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL），由全等三角形的性质得出BF＝BE，则可得出结论． 【详解】解：（1）小明的方法：如图1，在BC上截取BM＝BA，连接DM， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△MBD中， ， ∴△ABD≌△MBD（SAS）， ∴∠A＝∠BMD，AD＝MD， ∵∠BMD+∠CMD＝180°，∠C+∠A＝180°， ∴∠C＝∠CMD， ∴DM＝DC， ∴DA＝DC； 小刚的方法：如图1.1，延长AB到N，使BN＝BC，连接DN， ∵BD平分∠ABC， ∴∠NBD＝∠CBD， 在△NBD和△CBD中， ， ∴△NBD≌△CBD（SAS）， ∴∠BND＝∠C，ND＝CD， ∵∠NAD+∠BAD＝180°，∠C+∠BAD＝180°， ∴∠BND＝∠NAD， ∴DN＝DA， ∴DA＝DC； （2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC＝BD． 理由：如图2，延长CB到P，使BP＝BA，连接AP， 由（1）知AD＝CD， ∵∠DAC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AC＝AD，∠ADC＝60°， ∵∠BCD+∠BAD＝180°， ∴∠ABC＝360°﹣180°﹣60°＝120°， ∴∠PBA＝180°﹣∠ABC＝60°， ∵BP＝BA， ∴△ABP为等边三角形， ∴∠PAB＝60°，AB＝AP， ∵∠DAC＝60°， ∴∠PAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC， 即∠PAC＝∠BAD， 在△PAC和△BAD中， ， ∴△PAC≌△BAD（SAS）， ∴PC＝BD， ∵PC＝BP+BC＝AB+BC， ∴AB+BC＝BD； （3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC﹣AB＝2CE． 连接BD，过点D作DF⊥AB于点F， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°， ∴∠FAD＝∠C， 在△DFA和△DEC中， ， ∴△DFA≌△DEC（AAS）， ∴DF＝DE，AF＝CE， 在Rt△BDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL）， ∴BF＝BE， ∴BC＝BE+CE＝BA+AF+CE＝BA+2CE， ∴BC﹣BA＝2CE． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型六 应用全等三角形的性质解决实际问题 【典例6】（2021•龙岩模拟）小淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝25米，请根据上述信息求标语CD的长度． 【分析】利用平行线的性质和题意证明△ABO≌△CDO，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO． ∵OD⊥CD， ∴∠CDO＝90°． ∴∠ABO＝90°． 即OB⊥AB． ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OB＝OD． 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）． ∴CD＝AB＝25（m）． 答：标语CD的长度为25m． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用已知条件判定△ABO≌△CDO是解题的关键． 【举一反三】 1．（2025春•宣汉县期末）如图，小刚站在河边的点A处，在河正对岸（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他先向正西方向走了20步到达一棵树（点C）处，接着又向前走了20步到达点D处，然后再左转90°直行35步到达点E处，此时，电线塔、树与小刚现在所处的位置在同一条直线上．若小刚走一步的长度约为0.6m，则A，B两点间的距离约为 　21　 m． 【分析】依题意得：∠A＝∠D＝90°，AC＝DC＝20步，DE＝35步，点E，C，B在同一条直线上，进而得∠ACB＝∠DCE，由此依据“ASA”判定△ABC和△DEC全等得AB＝DE＝35步，再根据小刚走一步的长度约为0.6m即可得出A，B两点间的距离． 【详解】解：依题意得：∠A＝∠D＝90°，AC＝DC＝20步，DE＝35步，点E，C，B在同一条直线上， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE＝35步， ∵小刚走一步的长度约为0.6m， ∴AB＝0.6×35＝21（m）． 答：A，B两点间的距离约为21m． 故答案为：21． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 2．（2025春•历下区期中）数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影．如图2，小荷和小柳在花灯围栏旁的点B处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离． 小荷先沿AB方向走2.5米至点C，又沿着与BC垂直的方向走了3米至点D并放置了一个标记物，接着往前再走相同的距离至点E，最后从点E处向左沿着与EC垂直的方向走了一定距离至点F．此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，EF＝4米，请你帮小荷求出AB的长． 【分析】依题意得：CD＝DE＝3米，EF＝4米，BC＝2.5米，∠C＝∠E＝90°，点A，D，F在同一条直线上，由此可依据“ASA”判定△ACD和△FED全等，进而得AC＝EF＝4米，然后根据AB＝AC﹣BC即可得出答案． 【详解】解：依题意得：CD＝DE＝3米，EF＝4米，BC＝2.5米，∠C＝∠E＝90°，点A，D，F在同一条直线上， 在△ACD和△FED中， ， ∴△ACD≌△FED（ASA）， ∴AC＝EF＝4米， ∴AB＝AC﹣BC＝4﹣2.5＝1.5（米）． 答：AB的长是1.5米． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 3．（2025•旬邑县模拟）西安火车站是西安铁路枢纽的主要客运站之一，在全国铁路运输网中具有极为重要的地位．如图，小华和小明对西安火车站南广场候车楼（AB）顶部，站名“西安”两字中“安”字的高度（即线段BC所代表部分）很感兴趣，想知道其具体高度．小华和小明在候车楼前方的广场上正对着站名，小华在距离A点37m的D处用测角仪测得“安”字底部B的仰角为α，小明在小华前面2.3m的E处用测角仪测得“安”字的顶部C的仰角为β，并发现α与β互余．已知该火车站候车楼AB的高度为36.4m，测角仪EG，DF的高度均为1.7m，A，E，D三点共线，A，B，C三点共线，且AC⊥AD，EG⊥AD，DF⊥AD，求站名“西安”中“安”字的高度BC． 【分析】连接FG并延长交AB于点H，根据已知易得：四边形FDAH与四边形GEAH都为矩形，再根据同角的余角相等可得β＝∠FBH，然后利用线段的和差关系可得：GH＝BH，从而利用ASA证明△CGH≌△FBH，最后利用全等三角形的性质可得CH＝FH＝AD＝37m，从而进行计算即可解答． 【详解】解：连接FG并延长交AB于点H， ∵FD⊥AD，GE⊥AD，AC⊥AD， ∴四边形FDAH与四边形GEAH都为矩形， ∵α与β互余， ∴α+β＝90°， ∵α+∠FBH＝90°， ∴β＝∠FBH， ∵AH＝FD＝GE＝1.7m，AB＝36.4m， ∴BH＝AB﹣AH＝34.7（m）， ∵AD＝37m，DE＝2.3m， ∴GH＝AE＝AD﹣DE＝37﹣2.3＝34.7（m）， ∴GH＝BH， 在△CGH和△FBH中 ， ∴△CGH≌△FBH（ASA）， ∴CH＝FH＝AD＝37m， ∴CB＝CH﹣BH＝37﹣34.7＝2.3（m）． ∴站名“西安”中“安”字的高度BC为2.3m． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型七 全等三角形在探究性问题中的应用 【典例7】（2024秋•邹城市期末）（1）问题：如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是14，求△ABD与△CEF的面积之和． 【分析】（1）证明△ADB≌△CEA（AAS），则AD＝CE，BD＝AE，DE＝AD+AE＝BD+CE； （2）证明△ADB≌△CEA（AAS），则AE＝BD，AD＝CE，DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）同理（2）可知，∠CAE＝∠ABD，△ABD≌△CAE（AAS），则S△ABD＝S△CEA，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，则，，由BC＝2CF，可得S△ACF＝6，根据S△ABD+S△CEF＝S△CEA+S△CEF＝S△ACF，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵∠BAD+∠ABD＝90°＝∠BAD+∠CAE， ∴∠ABD＝∠CAE， 又∵∠ADB＝90°＝∠CEA，AB＝AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， ∴DE＝BD+CE； （2）解：DE＝BD+CE仍然成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，即∠CAE＝∠ABD； ∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，AB＝AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE， ∴DE＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， 同理（2）可知，∠CAE＝∠ABD，△ABD≌△CAE（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴，， ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∴S△ABD+S△CEF＝S△CEA+S△CEF＝S△ACF＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【举一反三】 1．（2022春•埇桥区期末）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD． （1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； （2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由； （3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论． 【分析】（1）根据SAS证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据SAS证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据SAS证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）AC＝BD，AC⊥BD． 理由如下：延长BD交AC于E， ∵△OAB和△OCD是有公共顶点O的等腰直角三角形， ∴∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（ SAS ）， ∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， ∵∠ADE＝∠BDO， ∴∠AED＝∠BOD＝90°， ∴AC⊥BD； （2）线段AC与BD还存在（1）中的关系， 理由如下： 延长BD交AC 于点F，交AO于G， ∵△OAB和△OCD是有公共顶点O的等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD， ∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（ SAS ）， ∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， ∵∠AGF＝∠BGO， ∴∠AFG＝∠BOG＝90°， ∴AC⊥BD； （3）AC＝BD，AC⊥BD． 若AC与BD交于G，OA与BD交于点H， 同（1）（2）可证明△AOC≌△BOD（ SAS ）， ∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， ∵∠AHD＝∠BHO， ∴∠AGB＝∠BOH＝90°， ∴AC⊥BD． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2021春•罗湖区期末）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC＝90°，BD＝CD，DM是BC边上的中线．过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交线段BD于点F，交DM于点N，连接AF． （1）求证：△ABD≌△NCD； （2）试探索线段AF，AB和CF之间数量关系，并证明你的结论； （3）当∠BAD等于多少度时，点E恰好为AB的中点？ 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB＝∠DBC＝∠CDM＝∠BDM＝45°，DM⊥BC，利用ASA定理证明△ABD≌△NCD； （2）根据全等三角形的性质得到AD＝ND，AB＝NC，证明△FDA≌△FDN，得到AF＝FN，结合图形证明即可； （3）连接AN，BN，根据线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定定理得到△ABN是等边三角形，得到∠BAN＝60°，证明△ADN是等腰直角三角形，得到∠DAN＝45°，计算即可． 【详解】（1）证明：∵CE⊥AB， ∴∠BEF＝90°， ∴∠CDF＝∠BEF， ∵∠DFC＝∠EFB， ∴∠DCF＝∠EBF， ∵DB＝DC，∠BDC＝90°，DM是BC边上的中线， ∴∠DCB＝∠DBC＝∠CDM＝∠BDM＝45°，DM⊥BC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝45°， 在△ADB和△NDC中， ， ∴△ABD≌△NCD（ASA）； （2）解：数量关系是：CF＝AB+AF， 理由如下：由（1）得△ABD≌△NCD， ∴AD＝ND，AB＝NC， 在△FDA和△FDN中， ， ∴△FDA≌△FDN（SAS）， ∴AF＝FN， ∴CF＝NC+FN＝AB+AF； （3）解：如图2，连接AN，BN， ∵CE⊥AB，E为AB中点， ∴直线CE为AB的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∵AF＝FN，AD＝DN， ∴直线BD为AN的垂直平分线， ∴AB＝NB， ∴AB＝AN＝BN， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠BAN＝60°， ∵AD∥BC，DM⊥BC， ∴AD⊥DN， ∵AD＝DN， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴∠DAN＝45°， ∴∠BAD＝60°+45°＝105°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．（2022秋•肥西县期末）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO． （1）求证：AC＝BC； （2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且AD＝DE，求BC+EC的长； （3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【分析】（1）证明△ACD≌△BCD（AAS），由全等三角形的性质得出AC＝BC． （2）过点D作DM⊥AC于M，证明△BOD≌△AMD（AAS），由全等三角形的性质得出OB＝AM．证明Rt△DOC≌Rt△DMC（HL），由全等三角形的性质得出OC＝MC．求出OC的长，则可得出答案； （3）在GO的延长线上取一点N，使ON＝FH，证明△DON≌△DFH（SAS），由全等三角形的性质得出DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，证明△DGN≌△DGH（SAS），由全等三角形的性质得出GH＝GN，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠AOB＝∠AOC＝90°，∠CAO＝90°﹣∠BDO，∠DBO＝90°﹣∠BDO， ∴∠CAO＝∠DBO， 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（AAS）， ∴AC＝BC； （2）解：如图2，过点D作DM⊥AC于点M， ∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，DM⊥AC， ∴DO＝DM． 在△BOD和△AMD中， ， ∴△BOD≌△AMD（AAS）， ∴OB＝AM． 在Rt△CDO和Rt△CDM中， ， ∴Rt△CDO≌Rt△CDM（HL）， ∴OC＝MC． ∵∠CAO＝∠DBO，∠DBO＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵DM⊥AC， ∴AM＝EM， ∴EM＝OB， ∵C（4，0）， ∴OC＝4， ∴BC+CE＝OB+OC+MC﹣EM＝2OC＝8； （3）解：GH＝OG+FH． 证明：在GO的延长线上取一点N，使ON＝FH， ∵DF⊥AC，OD⊥OC，CD平分∠ACO， ∴DO＝DF． 在△DON和△DFH中， ， ∴△DON≌△DFH（SAS）， ∴∠ODN＝∠FDH，DN＝DH， 又∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH， ∴∠GDH＝∠GDO+∠ODN＝∠GDN， 在△DGN和△DGH中， ， ∴△DGN≌△DGH（SAS）， ∴GN＝GH， 又∵ON＝FH， ∴GH＝GN＝OG+ON＝OG+FH． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定及其性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$