精品解析：福建省厦门市海沧区北附学校2024－2025学年八年级下学期3月月考数学试卷

厦门市海沧区北附学校教育集团 2024-2025学年第二学期适应性练习（一） 八年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 25米 D. 30米 8. 已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，第11题8分，其余每题4分，共28分） 11. __________；__________； _________； _________． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 13. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___． 15. 如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是________． 16. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为________． 三、解答题（本大题有9小题，共82分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简再求值：，其中 19. 已知：如图，点C是线段AE的中点，AB=CD，BC=DE． 求证：AB∥CD． 20. 如图，已知在中，于D，，，． （1）求CD的长； （2）判断的形状并说明理由． 21. 如图，在中， （1）尺规作图：在线段上找一点M，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，若，，求． 22. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 23. （1）用“”“”或“”填空： ________；________；________． （2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题：某农户计划用篱笆围一个面积为，高度为2m的长方形菜园，若每平方米的篱笆造价为50元，求该农户至少要花多少钱？ 24. 本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． （1）【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； （2）【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； （3）【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 25. 已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰． （1）如图1，，连接，求证：； （2）如图2，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值； （3）如图3，四边形中，，连接，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市海沧区北附学校教育集团 2024-2025学年第二学期适应性练习（一） 八年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得， ， 故选：A． 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答； 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】A、，故不符合题意， B、，故不符合题意， C、，故不符合题意， D、属于最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 3. 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】D 【解析】 【分析】首先得出的取值范围，进而得出两个整数的值． 【详解】解：， ∴， ∴， 这两个整数是：4和5． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，合并同类项以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：不是同类项，不可进行计算，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选C． 5. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是掌握：“满足的三个正整数、、称为勾股数，勾股数即三角形的三边长是满足勾股定理的逆定理，且三边长都是正整数的一组数”．根据勾股数的定义求解即可． 【详解】解：A、，，，不是勾股数，不符合题意； B、，，，不是勾股数，不符合题意； C、、、，不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意； D、，，，是勾股数，符合题意． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点到原点的距离求法，利用勾股定理结合坐标计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是． 故选：B． 7. 如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 25米 D. 30米 【答案】B 【解析】 【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°， ∴AB=2AC， 而CA=5米， ∴AB=10米， ∴AB+AC=15米． 所以这棵大树在折断前的高度为15米． 故选B． 【点睛】本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题． 8. 已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键． 依次判断出四个选项中三角形的形状即可． 【详解】当时， ， ． 是直角三角形． 故A选项不符合题意； ， ， 即． 是直角三角形． 故B选项不符合题意； ， ． 又， ， 则， 是钝角三角形． 故C选项符合题意； ， 则令， ， 即， 是直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 9. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 根据代入求解即可． 【详解】 原式 ． 故选：D． 10. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，解题的关键是证明 ，得到四边形的面积的面积，得出空白部分的面积正方形的面积的面积，①，，②，由①和②得，即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 空白部分的面积正方形的面积的面积， ①， ， ， ， ， ②， 由①和②得， （舍去负值）． 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，第11题8分，其余每题4分，共28分） 11. __________；__________； _________； _________． 【答案】 ①. 7 ②. 3 ③. ④. 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的除法法则，乘法法则，等化简即可求解． 【详解】解：7；；；． 故答案为：7；3；；． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘除等知识，熟知二次根式的性质和乘除法则是解题关键． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“利用同类二次根式的定义求解字母参数的值”是解本题的关键．由同类二次根式的定义可得，再解方程即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：8． 13. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是_____． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值． 【详解】解：∵＝2， ∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___． 【答案】（4，0） 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC-AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）， ∴AO=6，BO=8．∴根据勾股定理，得AB=10． ∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧， ∴AB=AC=10．∴OC=AC﹣AO=4． ∵交x正半轴于点C， ∴点C的坐标为（4，0）． 故答案为：（4，0） 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长． 15. 如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用——最短路径问题，根据圆柱侧面展开图，利用勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：圆柱体的底面周长为，高， 把圆柱侧面沿展开，得到长方形，如图， ， ， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据面积的变化找出变化规律进行计算即可． 【详解】解：正方形的边长为2，如图，连接、相交于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2，其面积标记为， ， ， ， ． ， ； 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共82分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，熟记二次根式相关运算法则是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式、二次根式乘除运算法则化简，再进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分，再将m的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 已知：如图，点C是线段AE的中点，AB=CD，BC=DE． 求证：AB∥CD． 【答案】 证明：∵点C是线段AE的中点， ∴AC=CE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（SSS）． ∴∠BAC=∠DCE. ∴AB∥CD． 【解析】 【分析】根据线段中点定义可得AC=EC，再利用SSS定理判定△ABC≌△CDE，再根全等三角形的对应角相等得到∠BAC=∠DCE,然后根据同位角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，全等三角形的性质，平行线的判定方法.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 20. 如图，已知在中，于D，，，． （1）求CD的长； （2）判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由如下： ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）由垂直可得，利用勾股定理可得，； （）由（1）可得，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可判断求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵，， ∴， 【小问2详解】 略 21. 如图，在中， （1）尺规作图：在线段上找一点M，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，若，，求． 【答案】（1） 如图所示，点M就是所要找的点． （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理： （1）作的中垂线交于点即可，根据中垂线的性质得到，勾股定理得到，即可得到； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵的垂直平分线交于点M， ． 设，则． 在中，， 由勾股定理得：， 解得， 即的长为． 22. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 23. （1）用“”“”或“”填空： ________；________；________． （2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题：某农户计划用篱笆围一个面积为，高度为2m的长方形菜园，若每平方米的篱笆造价为50元，求该农户至少要花多少钱？ 【答案】（1），， （2）猜想：． 理由是：，， ． ； （3）4800元 【解析】 【分析】本题考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键，同时注意已证明结论的迁移应用． （1）将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方式的非负性对猜想进行证明即可； （3）设长方形菜园的长和宽，根据面积列出等式，再根据篱笆的周长和高度求出篱笆的面积，从而表示出总费用，最后利用（2）的结论求出费用的最小值． 【详解】解：（1）， ． ． 同理得：；． 故答案为：，，； （2）略 （3）由题意，设长方形菜园的长为，宽为， ∴面积 ∴总费用为 由（2）可知， ∴总费用为（元）． 答：该农户至少要花4800元． 24. 本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． （1）【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； （2）【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； （3）【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 【答案】（1） 解：，， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键是利用运用这些知识． （1）利用梯形面积公式和图形由三个直角三角形拼成表示出面积，再简单计算即可； （2）先证明，进而可得，由可证明，在中，求即可解答； （3）由是边的中线，可得，设，则，，由勾股定理得：，，即，可得，进而得到，，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 过点作于点， 是边的中线， ， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即， 得：， ， ， ， ， 即， ． 25. 已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰． （1）如图1，，连接，求证：； （2）如图2，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值； （3）如图3，四边形中，，连接，已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）1 （3）5 【解析】 【分析】（1）利用证明，结合全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）取中点，连接，结合全等三角形的性质易得，由“垂线段最短”的性质可知当时，最短，即此时最短，证明为等腰直角三角形，在中，设，利用勾股定理列方程并解得的值，即可获得答案； （3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，在中，设，利用勾股定理列方程并解得的值，易得，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 由①可得， ∵点是中点， ∴， ∴当时，最短，即此时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，设， ∴， 解得， ∴，即的最小值为1； 【小问3详解】 过点作交的延长线于点，过点作交于点，如下图， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，设， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线最短等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $