2025年中考数学一轮复习 一次函数专题练习

中考数学一轮复习 一次函数 一．选择题（共10小题） 1．（2024•湖北模拟）清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度（米与登山时间（分之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是　　 A．乙提速后每分钟攀登30米 B．乙攀登到300米时共用时11分钟 C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟 D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米 2．（2024•铁东区二模）对于一次函数，根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是　　 A．随的增大而增大 B．函数图象与轴的交点位于轴下方 C． D． 3．（2024•喀什地区一模）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 4．（2024•宝鸡二模）在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 5．（2024•右玉县四模）一列动车从地开往地，一列普通列车从地开往地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），如图中的折线表示与之间的函数关系．下列叙述错误的是　　 A．两地相距1000千米 B．两车出发后3小时相遇 C．动车的速度为千米时 D．普通列车行驶小时后，动车到达终点地，此时普通列车还需行驶千米到达地 6．（2024•霍山县三模）在同一平面直角坐标系中，函数和为常数，的图象可能是　　 A． B． C． D． 7．（2024•乌鲁木齐一模）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 8．（2024•海珠区一模）关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 9．（2024•扬州三模）已知点，，在一次函数的图象上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 10．（2024•东海县一模）函数的图象如图所示，下列说法正确的是　　 A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 二．填空题（共10小题） 11．（2024•龙岗区三模）如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是 　　． 12．（2024•永昌县三模）如图，函数的图象过点，则不等式的解集是 　　． 13．（2024•新北区一模）若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则　　． 14．（2024•湖北）铁的密度为，铁块的质量（单位：与它的体积（单位：之间的函数关系式为，当时，　　． 15．（2024•西藏）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 　　． 16．（2024•确山县二模）请写出一个随的增大而减小的一次函数的表达式：　　． 17．（2024•西青区一模）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是 　　． 18．（2024•日照）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为 　　． 19．（2024•保德县三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则平移后的一次函数的表达式为 　　． 20．（2024•八步区三模）已知一次函数，函数值随的值增大而减小，那么的取值范围是 　　． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•阳泉模拟）“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． （1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ （2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 22．（2024•大兴区二模）在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”． （1）如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是 　　； （2）如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； （3）当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 23．（2024•北京）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图． 当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：和2号杯的水面高度单位：，部分数据如下： 0 40 100 200 300 400 500 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 　　（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 　　（结果保留小数点后一位）． 24．（2024•东城区一模）在平面直角坐标系中，一次函数为常数，的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与轴交于点． （1）求这个一次函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 25．（2024•德州模拟）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨 交费总数（元 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量的值； （2）写出交费总数（元与用水量（吨的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 中考数学一轮复习 一次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•湖北模拟）清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度（米与登山时间（分之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是　　 A．乙提速后每分钟攀登30米 B．乙攀登到300米时共用时11分钟 C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟 D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米 【答案】 【考点】一次函数的应用 【专题】待定系数法；一次函数及其应用；应用意识 【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后和之间的函数关系式，进而判断、． 【解答】解：甲的速度为：（米分）， （米分）， 即乙提速后每分钟攀登30米，故选项不符合题意； 乙攀登到300米时共用时：（分钟），故选项不符合题意； 设，， 由函数图象得：， 解得， ， 乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍， 乙提速后的速度为：30米分， 乙从到的时间为：， ， ， ， 解得， ， （3）当时， 则， 解得， 即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故选项不符合题意； 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：（米，故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及两直线交点问题，读懂题意，理解图象中每个拐点的意义是解题的关键． 2．（2024•铁东区二模）对于一次函数，根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是　　 A．随的增大而增大 B．函数图象与轴的交点位于轴下方 C． D． 【答案】 【考点】一次函数与一元一次不等式 【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组或不等式；推理能力 【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限， 一次函数的图象经过第二、四象限或第一、二、四象限， ， 随的增大而减小，故错误，不合题意； 又函数图象经过点， 函数图象与轴的交点位于轴上方，故错误，不合题意； ，， ，故选项正确，符合题意； 不一定大于0，故选项错误，不合题意． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 3．（2024•喀什地区一模）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数的图象 【专题】一次函数及其应用；几何直观 【分析】先根据一次函数的图象判断出，的符号，进而可得出结论． 【解答】解：由一次函数的图象可知，，， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 4．（2024•宝鸡二模）在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象 【专题】一次函数及其应用；几何直观 【分析】可先根据正比例函数的图象判断的符号，再判断一次函数的图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限． 5．（2024•右玉县四模）一列动车从地开往地，一列普通列车从地开往地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），如图中的折线表示与之间的函数关系．下列叙述错误的是　　 A．两地相距1000千米 B．两车出发后3小时相遇 C．动车的速度为千米时 D．普通列车行驶小时后，动车到达终点地，此时普通列车还需行驶千米到达地 【答案】 【考点】一次函数的应用 【专题】应用题 【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图可得， 两地相距1000千米，故选项正确，不符合题意； 两车出发3小时相遇，故选项正确，不符合题意； 动车的速度为：千米时，故选项错误，符合题意； 普通列车行驶小时后，动车到达终点地，此时普通列车还需行驶千米到达地，故选项正确，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2024•霍山县三模）在同一平面直角坐标系中，函数和为常数，的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】正比例函数的图象；一次函数的图象 【专题】一次函数及其应用；推理能力 【分析】根据判断正比例函数的图象和一次函数图象即可． 【解答】解：和为常数，， 函数经过二、四象限，一次函数的图象经过一，三、四，故、、不合题意， 选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键． 7．（2024•乌鲁木齐一模）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数的图象 【专题】推理能力；一次函数及其应用 【分析】由，得图象经过第一、三、四象限． 【解答】解：一次函数中，， 图象经过第一、三、四象限． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与，符号的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（2024•海珠区一模）关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】 【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象与几何变换 【专题】一次函数及其应用；推理能力 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【解答】解：、当时，， 一次函数的图象经过点，选项错误，不符合题意； 、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项错误，不合题意 、， 随的增大而减小，选项错误，不符合题意； 、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 9．（2024•扬州三模）已知点，，在一次函数的图象上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【专题】一次函数及其应用；推理能力 【分析】由根据一次函数的性质可得出结论． 【解答】解：一次函数中， 该一次函数随的增大而增大， 点，，在一次函数的图象上，且， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的正负得出该函数的增减性是关键． 10．（2024•东海县一模）函数的图象如图所示，下列说法正确的是　　 A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 【答案】 【考点】一次函数与一元一次不等式 【专题】一次函数及其应用；推理能力 【分析】利用时，可对选项进行判断；根据一次函数的性质可对、选项进行判断；由于直线与轴的正半轴的交点坐标为，根据三角形面积公式得到，解方程求出，从而可对选项进行判断． 【解答】解：直线经过点， 当时，，所以选项不符合题意； 一次函数图象经过第一、三象限， ，所以选项不符合题意； 一次函数与轴的交点坐标为，与轴的正半轴的交点坐标为， ， 解得，所以选项符合题意； 若点和点在直线上， 而随的增大而增大， ，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 二．填空题（共10小题） 11．（2024•龙岗区三模）如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是 　　． 【考点】一次函数与一元一次不等式 【专题】函数及其图象 【分析】直线落在直线下方的部分对应的的取值范围即为所求． 【解答】解：函数与函数的图象交于点， 不等式的解集是． 故答案为． 【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 12．（2024•永昌县三模）如图，函数的图象过点，则不等式的解集是 　　． 【考点】一次函数与一元一次不等式 【专题】用函数的观点看方程（组或不等式；几何直观 【分析】先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解． 【解答】解：观察图象可知，随的增大而增大，且图象经过点， 的解集是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根据图象的增减性求解． 13．（2024•新北区一模）若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则　3　． 【答案】3． 【考点】一次函数图象与几何变换 【专题】运算能力；应用意识；一次函数及其应用 【分析】根据直线的平移规律：上加下减可得平移后的直线为，再将点代入求解即可． 【解答】解：将一次函数的图象向上平移2个单位长度后得， 将点代入，得， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握直线的平移规律是解题的关键． 14．（2024•湖北）铁的密度为，铁块的质量（单位：与它的体积（单位：之间的函数关系式为，当时，　79　． 【答案】79． 【考点】一次函数的应用 【专题】一次函数及其应用；应用意识；运算能力 【分析】将代入，求出对应的值即可． 【解答】解：当时，． 故答案为：79． 【点评】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键． 15．（2024•西藏）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 　　． 【答案】． 【考点】一次函数图象与几何变换 【专题】运算能力；几何直观；一次函数及其应用 【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可． 【解答】解：根据题意得：将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 16．（2024•确山县二模）请写出一个随的增大而减小的一次函数的表达式：　，或等，答案不唯一　． 【考点】一次函数的定义；一次函数的性质 【专题】一次函数及其应用；推理能力 【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数小于0即可． 【解答】解：例如：，或等，答案不唯一． 故答案为：，或等，答案不唯一． 【点评】此题比较简单，考查的是一次函数的性质： 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 17．（2024•西青区一模）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是 　　． 【考点】一次函数图象与几何变换 【专题】一次函数及其应用；应用意识；运算能力 【分析】根据直线向上平移3个单位可知新的解析式为，再根据新函数解析式经过点即可解答． 【解答】解：直线解析式为：， 向上平移3个单位后新的函数解析式为， 即向上平移3个单位后新的解析式为， 将直线向上平移3个单位长度后经过点， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面直角坐标系与平移，掌握平移的规律是解题的关键． 18．（2024•日照）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【考点】一次函数与一元一次不等式 【专题】一次函数及其应用；运算能力 【分析】依据题意，由当时，函数的图象在函数的图象上方，从而当时，总有，即，进而分类讨论即可判断得解． 【解答】解：由题意，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，总有． ． ①当，且时， ． ． ，与矛盾，故此时不成立． ②当时， ，符合题意． ③当时， ． ． 又， ． ． 综上，． 故答案为：． 【点评】本主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 19．（2024•保德县三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则平移后的一次函数的表达式为 　　． 【答案】． 【考点】一次函数图象与几何变换 【专题】运算能力；一次函数及其应用 【分析】根据“上加下减”知将一次函数的图象向下平移2个单位长度得，再将代入算出，从而可得答案． 【解答】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度得， ， 解得， 平移后的一次函数的表达式为； 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减”的平移口诀． 20．（2024•八步区三模）已知一次函数，函数值随的值增大而减小，那么的取值范围是 　　． 【答案】． 【考点】一次函数图象与系数的关系 【专题】运算能力；符号意识；一次函数及其应用 【分析】根据一次函数的增减性列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：一次函数的函数值随的增大而减小， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 三．解答题（共5小题） 21．（2024•阳泉模拟）“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． （1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ （2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）45元，60元； （2）购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个，2800元． 【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用 【专题】一次函数及其应用；运算能力 【分析】（1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可． 【解答】解：（1）设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元． 根据题意，得， 解得， 甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元． （2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个． 根据题意，得， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，，此时（个， 购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元． 【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． 22．（2024•大兴区二模）在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”． （1）如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是 　　； （2）如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； （3）当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）； （2）点坐标为，； （3）点的横坐标的取值范围为． 【考点】一次函数综合题 【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力 【分析】（1）根据已知条件得到，，如图，由点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，得到，求得是等腰直角三角形，于是得到结论； （2）过点作轴，轴，垂足分别为，，得到．根据全等三角形的性质得到，．求得点坐标为点坐标为．点坐标为．于是得到结论； （3）解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为，求得点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：，得到线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线，推出是等腰直角三角形，根据正方形的性质得到，得到的横坐标为，当点，，三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以，，作矩形，根据全等三角形的性质得到，，得到，即点的横坐标大于，求得，，求得，由是的垂直平分线，得到的横坐标为3，于是得到结论． 【解答】解：（1）（1）当，，时，，， ，， 如图，点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合， ， 是等腰直角三角形， 的中点的坐标为， ，， 旋转中心在线段的垂直平分线上， ， 点与点重合， 线段的“完美等直点”坐标是， 故答案为：； （2）过点作轴，轴，垂足分别为，， ． ， ． ， ． ，． 点在直线上，不妨设点坐标为． ． 解得：， 点坐标为， 点坐标为． 点坐标为． ． ． ； （3）解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ， 点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由（1）可知，线段的中点坐标为， 过点作线段的垂直平分线， 由“完美等直点”的定义，旋转的性质得到，中心对称点在线段的垂直平分线上，且， ，， 是等腰直角三角形， 由（1）可证得四边形是正方形， ， 的横坐标为， 当点，，三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以，，作矩形， ，，， ， ，， ， ， 即点的横坐标大于， 当时，，如图所示，作轴于， ，，， ， ， ， 即， 是的垂直平分线， 的横坐标为3， 综上所述，点的横坐标的取值范围为． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了平面直角坐标系中图形的变换规律，新定义“完美等直点”，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论，数形结合思想是解题的关键． 23．（2024•北京）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图． 当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：和2号杯的水面高度单位：，部分数据如下： 0 40 100 200 300 400 500 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 　1.2　（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 　　（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）1.0；（2）详见解析；（3）①1.2，②8.6． 【考点】一次函数的应用 【专题】函数及其图象；应用意识 【分析】（1）观察表格数据可知，和是正比例函数关系，设解析式，代入求解即可． （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）由图象观察可得出①②的答案． 【解答】解：（1）设，将代入得：，解得， ， ， ， 故答案为：1.0． （2）如图所示， （3）①当时，，由图象可知相差约为，如图所示． 故答案为：1.2． ②解法一：在①的条件下两杯相差，此时大约是8.0，加上0.6约为． 解法二：观察图象可知，当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为． 故答案为：8.6． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、函数的图象与性质、描点法画函数图象，正确理解题意熟练掌握知识点是解题关键． 24．（2024•东城区一模）在平面直角坐标系中，一次函数为常数，的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与轴交于点． （1）求这个一次函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为；的坐标为； （2）的取值范围是． 【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系 【专题】运算能力；平移、旋转与对称；一次函数及其应用；一元一次不等式（组及应用 【分析】（1）根据一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，可得，即可解得一次函数的解析式为；从而求出的坐标为； （2）当时，，，根据当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，可得，可解得答案． 【解答】解：（1）一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ， 解得， 一次函数的解析式为； 在中，令得， 解得， 的坐标为； （2）当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ， 解得， 的取值范围是． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式解决问题． 25．（2024•德州模拟）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨 交费总数（元 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量的值； （2）写出交费总数（元与用水量（吨的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用 【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以判断出的取值范围，然后即可列出关于的方程，从而可以求得的值； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出交费总数（元与用水量（吨的函数关系式，然后将代入相应的函数关系式，即可得到当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元． 【解答】解：（1），， ， 解得，（舍去）， 答：该市规定标准用水量的值为100； （2）由（1）可得， 当时，， 当时，， 即交费总数（元与用水量（吨的函数关系式是； 当时，， 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$